浙教版数学八年级上册期末复习专题第06讲 逆命题和逆定理、直角三角形（2大考点）（2份，原卷版+解析版）

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一、命题与逆命题，定理与逆定理
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.
二、直角三角形的概念
有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.

要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.
三、直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.
含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.
考点精讲
一．反证法（共8小题）
1．（2022春•丽水期末）用反证法证明“∠1＞90°”，应先假设（ ）
A．∠1≠90°B．∠1＝90°C．∠1＜90°D．∠1≤90°
2．（2022春•金水区校级期末）用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角时，下列假设正确的是（ ）
A．三角形中至少有两个角是钝角
B．三角形中没有一个角是钝角
C．三角形中三个角都是钝角
D．三角形中至少有一个角是钝角
3．（2022春•义乌市期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（ ）
A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．∠B＜90°D．AB≠AC
4．（2022春•温州期末）用反证法证明“在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＜90°”时，应假设（ ）
A．∠B≠90°B．∠B＝90°C．∠B＞90°D．∠B≥90°
5．（2022春•镇海区期末）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60°B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°D．有一个内角小于60°
6．（2022春•江北区期末）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时，第一步应假设 ．
7．（2022春•嵊州市期末）用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都 60°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
8．（2022春•鹿城区校级期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设 ．
二．直角三角形的性质（共7小题）
9．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．（2021秋•越城区期末）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
11．（2021秋•温州校级期中）△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
12．（2022•婺城区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41°B．42°C．43°D．44°
13．（2022•长兴县开学）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（ ）
A．2kmB．3kmC．kmD．4km
14．（2022•西湖区校级开学）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为 ．
15．（2021春•长兴县期末）如图1，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，直线a与边AC，AB分别交于D，E两点，直线b与边BC，AC分别交于F，G两点，且a∥b．
（1）若∠AED＝44°，求∠BFG的度数；
（2）如图2，P为边AB上一点，连结PF，若∠PFG+∠BFG＝180°，请你探索∠PFG与∠AED的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠DEB＝m，延长AB交直线b于点Q，在射线DC上有一动点P，连结PE，PQ，请直接写出∠PEQ，∠EPQ，∠PQF的数量关系（用含m的式子表示）．
一、单选题
1．（2021·诸暨市滨江初级中学八年级期中）如图，在ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125°B．145°C．175°D．190°
2．（2020·浙江）下列说法中不正确的是（ ）
A．“对顶角相等”没有逆命题
B．“两个全等的三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”
C．“若，则”的逆命题是“若，则”
D．“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“对应边相等的三角形全等”
3．（2020·浙江八年级期末）已知等边的边长为3，点E在直线上，点D在直线上，且，若，则的长为（ ）
A．6B．9C．3或6D．3或9
4．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图1是一张型站立式琴架，其撑开后示意图如图2所示，支架相交于点，经测量得到，要使琴架高度为，则两支架展开角的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·浙江）某个信封的简易平面示意图如图所示，可看作将与叠放在长方形内，且．已知与的长度之比为，点到边的距离是，则图中阴影部分面积是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·浙江八年级期末）如图，在中，，点在上，且连接，若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2020·浙江八年级期末）“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：_________________．
8．（2020·浙江杭州市·八年级期末）命题若“”，则”的逆命题是_________________．
9．（2019·浙江杭州·）一副三角板拼成如图所示，是的中点，则________．
10．（2019·浙江杭州·）如图，在中，，，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为________．
11．（2020·浙江）等腰三角形一腰上的高线与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的底角为_________．
12．（2020·浙江杭州市·八年级期末）写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”的逆命题____________________．该逆命题是______命题（填“真”或“假”）．
三、解答题
13．（2020·浙江）已知命题“若，则”写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．若是真命题，请给予证明：若是假命题，请举出一个反例．
14．（2020·浙江八年级期末）已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线
（1）若∠B=30°，∠ACD=45°，AB=2，求BC的长．
（2）若点G是线段CE的中点，连接DG，当DG⊥EC时，求证: AB=2CD．
（3）在（2）的条件下，试判断∠AEC与∠B之间的数量关系，并说明理由．
15．（2020·浙江）如图，中，于，于，与相交于点．
（1）如图1，，求的度数；
（2）如图2，，和的平分线相交于点，求的度数；
（3）如图3，点为的中点，连接和，请判断的形状，并说明理由．
16．（2020·浙江八年级单元测试）已知和是等腰直角三角形，，F为的中点，连结．
（1）如图①，当点D在上，点E在上，请判断线段的数量关系，并说明理由．
（2）如图②，在（1）的条件下将绕点A顺时针旋转，请你判断此时（1）中的结论，是否仍然成立，并证明你的判断．
17．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，已知平分，将等边三角形的一个顶点放在射线上，两边分别与交于点．
（1）如图1，当三角形绕点旋转到时，求证：；
（2）如图2，当三角形绕点旋转到与不垂直时，线段与之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）如图3，当三角形绕点旋转到与的反向延长线相交时，线段与之间有什么数量关系？（直接写出它们之间的数量关系，不用说明理由．）