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浙教版数学八年级上册期末复习专题第08讲 不等式的基本性质与解法(7大考点)(2份,原卷版+解析版)
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一、不等式的概念
一般地,用“<”、 “>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
要点:
(1)不等号“<”或“>”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大.
(2)五种不等号的读法及其意义:
(3)有些不等式中不含未知数,如3<4,-1>-2;有些不等式中含有未知数,如2x>5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立.
二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
用式子表示:如果a>b,那么a±c>b±c
不等式的基本性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
用式子表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或).
不等式的基本性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
用式子表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc(或).
要点:
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点:
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会.
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变
三、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式,例如,是一个一元一次不等式.
要点:(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式);
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:
相同点:二者都是只含有一个未知数,未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式.
不同点:一元一次不等式表示不等关系,由不等号“<”、“≤”、“≥”或“>”连接,不等号有方向;一元一次方程表示相等关系,由等号“=”连接,等号没有方向.
四、一元一次不等式的解法
1.解不等式:求不等式解的过程叫做解不等式.
2.一元一次不等式的解法:
与一元一次方程的解法类似,其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为:(或)的形式,解一元一次不等式的一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)化为(或)的形式(其中);(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集.
要点:(1)在解一元一次不等式时,每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用.
(2)解不等式应注意:
①去分母时,每一项都要乘同一个数,尤其不要漏乘常数项;
②移项时不要忘记变号;
③去括号时,若括号前面是负号,括号里的每一项都要变号;
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变.
五、不等式的解及解集
1.不等式的解:
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
2.不等式的解集:
对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集.
要点:
3.不等式的解集的表示方法
(1)用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:不等式x-2≤6的解集为x≤8.
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解.如图所示:
要点:借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”:一是确定“边界点”,二是确定方向.(1)确定“边界点”:若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”:对边界点a而言,x>a或x≥a向右画;对边界点a而言,x<a或x≤a向左画.
注意:在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点.
考点精讲
考点一:不等式的有关定义
一、单选题
1.(2021·浙江·八年级期末)定义:对于任意数,符号表示不大于的最大整数,例如:,,.若,则的取值范围是( ).
A.B.C.D.
2.(2021·浙江·八年级期中)老师在黑板上写了下列式子:①x-1≥1;②-2<0;③x≠3;④x+2;⑤x-y=0;⑥x+2y≤0,其中不等式有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
考点二:不等式的解集
一、单选题
1.(2020·浙江嘉兴·八年级期中)下列各数中,是不等式 x>1的解的是( )
A.﹣2B.0C.1D.3
2.(2020·浙江绍兴·模拟预测)关于的不等式的解集如图所示,则a的值为
A.1B.C.-1D.
考点三:不等式的基本性质
一、单选题
1.(2020·浙江省义乌市廿三里初级中学八年级阶段练习)若m>n,下列不等式不一定成立的是( )
A.m+2>n+2B.2m>2nC.0.5m>0.5nD.
2.(2022·浙江丽水·八年级期末)若x<y,则下列结论成立的是( )
A.x+2>y+2B.-2x<-2yC.3x>3yD.1-x>1-y
3.(2022·浙江丽水·八年级期末)若,两边都除以-2,得( )
A.B.C.D.
4.(2022·浙江丽水·八年级期中)实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )
A.a﹣c>b﹣cB.a+c<b+cC.ac>bcD.
5.(2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中)设“ ”、“ ”、“”表示三种不同的物体.现用天平称两次,情况如图所示,那么、、这三种物体质量从大到小的顺序排列正确的是( )
A.B.C.D.
6.(2023·浙江·八年级专题练习)小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛,小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和;小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和,小华的得分超过小明与小亮的得分和.则这四位同学的得分由大到小的顺序是( )
A.小明,小亮,小华,小英B.小华,小明,小亮,小英
C.小英,小华,小亮,小明D.小亮,小英,小华,小明
二、填空题
7.(2022·浙江绍兴·八年级期末)根据不等式的基本性质,由,两边同乘-1,得______
8.(2021·浙江温州·八年级期中)若则2-3x______2-3y(填“>”或“
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