浙教版九年级数学上学期【第一次月考卷】（2份，原卷版+解析版）

这是一份浙教版九年级数学上学期【第一次月考卷】（2份，原卷版+解析版），文件包含浙教版九年级数学上学期第一次月考卷原卷版doc、浙教版九年级数学上学期第一次月考卷解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一．选择题（共10小题）
1．将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为与点数3相差2的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为点数3相差2的有2种情况，
∴掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为点数3相差2的概率是：＝．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．抛物线y＝3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（ ）
A．y＝3x2+2x﹣5B．y＝3x2+2x﹣4C．y＝3x2+2x+3D．y＝3x2+2x+4
【分析】利用平移规律“上加下减”，即可确定出平移后解析式．
【解答】解：抛物线y＝3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度的函数解析式为y＝3x2+2x﹣1+4＝3x2+2x+3，
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移规律是解本题的关键．
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ）
A．4B．6C．2D．8
【分析】首先连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得∠AOC的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．
【解答】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝∠AOC，
∴∠COD＝∠B＝60°；
在Rt△COD中，OC＝4，∠COD＝60°，
∴CD＝OC＝2，
∴AC＝2CD＝4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆以及勾股定理的应用，还涉及到圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识，难度不大．
4．已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（ ）
A．y1+y2＞0B．y1﹣y2＞0C．a（y1﹣y2）＞0D．a（y1+y2）＞0
【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：①a＞0时，二次函数图象开口向上，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＞y2，
无法确定y1+y2的正负情况，
a（y1﹣y2）＞0，
②a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＜y2，
无法确定y1+y2的正负情况，
a（y1﹣y2）＞0，
综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞0．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论．
5．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）
A．5cmB．10cmC．20cmD．5πcm
【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．
【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，
则由题意得R＝30，由Rl＝300π得l＝20π；
由2πr＝l得r＝10cm；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是圆锥的表面积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．
6．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2B．y＝ax2+bx+c
C．y＝3x2﹣1D．y＝3x﹣1
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A、该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意；
B、a＝0时，该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
7．如图，△ABC内接于⊙O，BC＝6，AC＝2，∠A﹣∠B＝90°，则⊙O的面积为（ ）
A．9.6πB．10πC．10.8πD．12π
【分析】作直径BD，连接DC、DA，如图根据圆周角定理得∠BAD＝∠BCD＝90°，由于∠CAB﹣∠CBA＝90°，可得到∠CAD＝∠CBA，则可证出∠CAD＝∠CDA，所以CA＝CD＝2，然后在Rt△BCD中根据勾股定理计算出BD，从而可得到圆的半径，得出圆的面积．
【解答】解：作直径BD，连接DC、DA，如图
∵BD为直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵∠CAB﹣∠CBA＝90°，
∴∠CAD＝∠CBA，
而∠CBA＝∠CDA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴CA＝CD＝2，
在Rt△BCD中，∵BC＝6，CD＝2，
∴BD＝＝2，
OB＝，
∴⊙O的面积为＝10π，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．
8．如图，AB是⊙O的弦（非直径），点C是弦AB上的动点（不与点A、B重合），过点C作垂直于OC的弦DE．设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，，则弦DE的长（ ）
A．与r，a，m的值均有关B．只与r，a的值有关
C．只与r，m的值有关D．只与a，m的值有关
【分析】连接AD、BE，如图，根据垂径定理得到CE＝CD，利用得到AC＝，BC＝，再证明△ADC∽△EBC，利用相似比得CD2＝AC•BC，所以DE2＝•，从而可判断弦DE的长只与a、m有关．
【解答】解：连接AD、BE，如图，
∵OC⊥DE，
∴CE＝CD，
∵，
∴AC＝，BC＝，
∵∠D＝∠B，∠A＝∠E，
∴△ADC∽△EBC，
∵CD：BC＝AC：EC，
∴CD2＝AC•BC，
∴DE2＝•，
∴DE2＝，
∴弦DE的长只与a、m有关．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
9．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A．B．1C．D．a
【分析】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE＝OA，从而求出EA的长；
△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB＝AC；由AB＝BD，得＝，可得∠AED＝∠AOB；
四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC＝180°﹣60°﹣∠D＝120°﹣∠D；而∠ECA＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD＝AB＝BC，易证得∠D＝∠BCD，则∠ECA＝∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC＝AB，易证得两个三角形全等，由此得解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝BD＝a，∠CAB＝∠ACB＝60°；
∵AB＝BD，
∴，
∴∠AED＝∠AOB；
∵BC＝AB＝BD，
∴∠D＝∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC+60°+∠D＝180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD＝180°，
∴∠ECA＝∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC＝∠AOB，
∵AC＝AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE＝OA＝1．
故选：B．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．
10．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（ ）
A．﹣2＜BE≤B．﹣2≤BE＜3C．≤BE＜3D．﹣≤BE＜3
【分析】由∠AEC＝90°知E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中E′点），在Rt△BCM中利用勾股定理求得BM＝，从而得BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2；由BE最长时即E与C重合，根据BC＝3且点E与点C不重合，得BE＜3，从而得出答案．
【解答】解：如图，
由题意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中E′点），
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，CM＝2，
则BM＝＝＝，
∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，
当BE最长时，即E与C重合，
∵BC＝3，且点E与点C不重合，
∴BE＜3，
综上，﹣2≤BE＜3，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理、勾股定理等知识点，根据题意得出BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝ 4﹣ ．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE＝ED＝CD＝3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE＝OB﹣OE，即可求出BE的长度．
【解答】解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，
∴CE＝ED＝CD＝3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，
∴OE＝＝，
∴BE＝OB﹣OE＝4﹣．
故答案为4﹣．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．
12．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于 60或120 °．
【分析】根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数．
【解答】解：如图，
∵弦BC垂直平分半径OA，
∴OD：OB＝1：2，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．
故答案为：60或120．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
13．如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠BAO＝60°，弦BC∥OA，则的长为 2π （结果保留π）．
【分析】连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到AB与OB垂直，在直角三角形AOB中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径，由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，进而求出∠BOC度数，利用弧长公式即可求出弧BC的长．
【解答】解：连接OB，OC，
∵AB为圆O的切线，
∴OB⊥AB，
在△AOB中，OA＝2，∠BAO＝60°，
∴∠AOB＝30°，即AB＝，
根据勾股定理得：OB＝3，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝∠AOB＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，
则的长l＝＝2π，
故答案为：2π
【点评】此题考查了切线的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正确的有 3 个．
【分析】①根据抛物线的开口方向和抛物线与y轴的交点坐标即可确定；
②根据抛物线的对称轴即可判定；
③根据抛物线的顶点纵坐标即可判定；
④由a+b＝0，c＞0，即可判定a+b+c＞0．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝，∴x＝﹣＝，∴a+b＝0，故②正确；
③∵抛物线顶点的纵坐标为1，∴＝1，∴4ac﹣b2＝4a，故③正确；
④∵a+b＝0，c＞0，∴a+b+c＞0，故④错误．
其中正确的是①②③．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数的自变量与对应的函数值，顶点坐标的熟练运用．
15．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为 9 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，
∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，
∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，
∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．某校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督察部”的3名学生（2男1女）中随机选两名去督导，则恰好选中两名男学生的概率是 ．
【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好选中两名男学生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中恰好选中两名男学生的结果数为2，
恰好选中两名男学生的概率＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
17．如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为 π ．
【分析】根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解．
【解答】解：∵AB＝BC，CD＝DE，
∴＝，＝，
∴+＝+，
∴∠BOD＝90°，
∴S阴影＝S扇形OBD＝＝π．
故答案是：π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．
18．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝ ．
【分析】连接CF、GF，由△AFD∽△EAD可得正方形边长，再由△AFG∽△DFC即可得到答案．
【解答】解：连接CF、GF，如图：
在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，
∴△AFD∽△EAD，
∴，
又∵DF＝5EF＝5，
∴AD＝＝CD，
在Rt△AFD中，AF＝，
∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF＝180°，
∵∠FGA+∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC，
∴，
∴，
∴AG＝，
∴DG＝AD﹣AG＝，
故答案为：．
【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及正方形的性质、相似三角形的性质及判定等知识，解题的关键是证明△AFG∽△DFC．
三．解答题（共8小题）
19．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；
（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．
【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：
，
解得：x＝1，经检验x＝1是方程的根，
即红球的个数为1个；
（2）画树状图如下：
∴P（摸得两白）＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），再利用第二象限点的坐标特征得到m﹣4＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），
∵抛物线y＝x2+2x+m﹣3顶点在第二象限，
∴m﹣4＞0，
∴m＞4．
故m的取值范围为m＞4．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）．
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．
（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB＝3∠AOB，OC＝2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）
【分析】（1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D＝180°，根据∠ABC＝2∠D得到∠D+2∠D＝180°，从而求得∠D＝60°，最后根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA＝30°；
（2）首先根据∠COB＝3∠AOB得到∠AOB＝30°，从而得到∠COB为直角，然后利用S阴影＝S扇形OBC﹣S△OEC求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠ABC＝2∠D，
∴∠D+2∠D＝180°，
∴∠D＝60°，
∴∠AOC＝2∠D＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°；
（2）∵∠COB＝3∠AOB，
∴∠AOC＝∠AOB+3∠AOB＝120°，
∴∠AOB＝30°，
∴∠COB＝∠AOC﹣∠AOB＝90°，
在Rt△OCE中，OC＝2，
∴OE＝OC•tan∠OCE＝2•tan30°＝2×＝2，
∴S△OEC＝OE•OC＝×2×2＝2，
∴S扇形OBC＝＝3π，
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OEC＝3π﹣2．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差．
22．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．
（1）求证：DE＝AB．
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF＝FC＝1，试求的长．
【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，BC＝AD，AD∥BC，得出∠EAD＝∠AFB，由AAS证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可；
（2）连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF＝AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE＝60°，∠ADE＝30°，由AE＝BF＝1，根据三角函数得出DE，由弧长公式即可求出的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，BC＝AD，AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED＝90°，
在△ADE和△FAB中，，
∴△ADE≌△FAB（AAS），
∴DE＝AB；
（2）解：连接DF，如图所示：
在△DCF和△ABF中，，
∴△DCF≌△ABF（SAS），
∴DF＝AF，
∵AF＝AD，
∴DF＝AF＝AD，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∵DE⊥AF，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∵△ADE≌△FAB，
∴AE＝BF＝1，
∴DE＝AE＝，
∴的长＝＝．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中：
（1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1．
（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2．
（3）求△CC1C2的面积．
【分析】（1）根据平移的定义将三顶点平移后顺次连接即可得；
（2）根据位似变换的定义作图可得；
（3）根据三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2BC2即为所求；
（3）△CC1C2的面积为×3×6＝9
【点评】本题主要考查作图﹣平移变换和位似变换，解题的关键是熟练掌握平移变换和位似变换的定义及性质．
24．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．
【分析】（1）先求出C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0），再利用配方法得y＝﹣（x﹣1）2+4，则抛物线对称轴为直线x＝1，于是可确定D（2，3），则可利用待定系数法求直线AD的解析式；
（2）由E（0，1）可判断△OAE为等腰直角三角形，则∠EAO＝45°，由于FH∥OA，则可得到△FGH为等腰直角三角形，过点F作FN⊥x轴交AD于N，如图，则△FNH为等腰直角三角形，所以GH＝NG，于是得到△FGH周长等于△FGN的周长，由于FG＝GN＝FN，则△FGN周长＝（1+）FN，所以当FN最大时，△FGN周长的最大，设F（x，﹣x2+2x+3），则N（x，x+1），则FN＝﹣x2+2x+3﹣x﹣1，利用二次函数的最值问题可得当x＝时，FN有最大值，于是△FGN周长的最大值为；
（3）直线AM交y轴于R，M（1，4），利用待定系数法求出直线AM的解析式为y＝2x+2，则R（0，2），然后分类讨论：当AQ为矩形AMPQ的对角线，如图1，利用Rt△AOR∽Rt△POA，可计算出OP＝，则P点坐标为（0，﹣），接着利用平移可得到Q（2，），于是由点T和点Q关于AM所在直线对称，根据线段中点坐标公式易得T点坐标为（0，）；当AP为矩形APQM的对角线，反向延长QA交y轴于S，如图2，同理可得S点坐标为（0，﹣），易得R点为AM的中点，则R点为PS的中点，所以PM＝SA，P（0，），加上PM＝AQ，则AQ＝AS，于是可判断点Q关于AM的对称点为S，即T点坐标为（0，﹣）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
而点D和点C关于直线x＝1对称，
∴D（2，3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（2，3）分别代入得，解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1；
（2）当x＝0时，y＝x+1＝1，则E（0，1），
∵OA＝OE，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴∠EAO＝45°，
∵FH∥OA，
∴△FGH为等腰直角三角形，
过点F作FN⊥x轴交AD于N，如图，
∴FN⊥FH，
∴△FNH为等腰直角三角形，
而FG⊥HN，
∴GH＝NG，
∴△FGH周长等于△FGN的周长，
∵FG＝GN＝FN，
∴△FGN周长＝（1+）FN，
∴当FN最大时，△FGN周长的最大，
设F（x，﹣x2+2x+3），则N（x，x+1），
∴FN＝﹣x2+2x+3﹣x﹣1＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，FN有最大值，
∴△FGN周长的最大值为（1+）×＝，
即△FGH周长的最大值为；
（3）直线AM交y轴于R，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则M（1，4）
设直线AM的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣1，0）、M（1，4）分别代入得，解得，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2x+2＝2，则R（0，2），
当AQ为矩形APQM的对角线，如图1，
∵∠RAP＝90°，
而AO⊥PR，
∴Rt△AOR∽Rt△POA，
∴AO：OP＝OR：OA，即1：OP＝2：1，解得OP＝，
∴P点坐标为（0，﹣），
∵点A（﹣1，0）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到M（1，4），
∴点P（0，﹣）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到Q（2，），
∵点T和点Q关于AM所在直线对称，
∴T点坐标为（0，）；
当AP为矩形AMPQ的对角线，反向延长QA交y轴于S，如图2，
同理可得S点坐标为（0，﹣），
∵R点为AM的中点，
∴R点为PS的中点，
∴PM＝SA，P（0，），
∵PM＝AQ，
∴AQ＝AS，
∴点Q关于AM的对称点为S，
即T点坐标为（0，﹣）．
综上所述，点T的坐标为（0，）或（0，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数与x轴的交点问题和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活运用相似三角形的性质计算线段的长；记住坐标系中点平移的规律．
25．已知二次函数 y＝a（x﹣1）2﹣4 的图象经过点（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的函数解析式；
（2）当x取何值时，函数y的值随着 x 的增大而增大；
（3）当x取何值时，函数的值为 0．
【分析】（1）二次函数 y＝a（x﹣1）2﹣4 的图象经过点（0，﹣3），可以求得a的值，从而可以求得这个二次函数的解析式；
（2）根据（1）中的结果可以求得当x取何值时，函数y的值随着 x 的增大而增大；
（3）将y＝0代入（1）中的解析式，可以求得x的值．
【解答】解：（1）因为二次函数 y＝a（x﹣1）2﹣4 的图象经过点（0，﹣3），
∴﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，得a＝1，
即这个二次函数的解析式是：y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；
（3）将y＝0代入y＝（x﹣1）2﹣4，得
0＝（x﹣1）2﹣4，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
即当x＝﹣1或x＝3时，函数的值为 0．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
26．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．
（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；
（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．
【分析】（1）代入y＝c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S＝﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值；
（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x轴正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，由DO＝DP可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解．
【解答】解：（1）当y＝c时，有c＝﹣x2+bx+c，
解得：x1＝0，x2＝b，
∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c）．
∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），
∴OB＝3，OA＝1，BC＝c﹣3，CP＝b．
∵△PCB≌△BOA，
∴BC＝OA，CP＝OB，
∴b＝3，c＝4，
∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）当y＝0时，有﹣x2+3x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴点F的坐标为（4，0）．
过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示．
∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），
∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），
∴ME＝﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）＝﹣m2+6m+1，
∴S＝S梯形OEMB﹣S△OEB﹣S△AEM＝OA•ME＝﹣m2+3m+＝﹣（m﹣3）2+5．
∵﹣＜0，0≤m≤4，
∴当m＝0时，S取最小值，最小值为；当m＝3时，S取最大值，最大值为5．
（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，
∴当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，
∴点M的坐标为（0，4）；
②当点M在线段OP下方时，在x轴正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA．
设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，
∴n2＝（n﹣3）2+16，
解得：n＝，
∴点D的坐标为（，0）．
设直线PD的解析式为y＝kx+a（k≠0），
将P（3，4）、D（，0）代入y＝kx+a，
，解得：，
∴直线PD的解析式为y＝﹣x+．
联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，．
∴点M的坐标为（，）．
综上所述：满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b、c的值；（2）利用三角形的面积公式找出S＝﹣（m﹣3）2+5；（3）分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标．