北师大版数学九上专题1.24 特殊平行四边形折叠专题（基础篇）（专项练习）（含答案）

这是一份北师大版数学九上专题1.24 特殊平行四边形折叠专题（基础篇）（专项练习）（含答案），共32页。
专题1.24 特殊平行四边形折叠专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】菱形折叠问题1．如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（       ）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形2．如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形，若，则的长为（       ）A．2 B． C．4 D．3．如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（       ）．A． B． C． D．4．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是（       ）A． B． C． D．【知识点二】矩形将折叠问题5．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为(     )A．28° B．31° C．62° D．56°6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为（     ）A． B． C．3 D．47．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为（10，8），点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是（　　）A．（0，4） B．（0，5）C．（0，3） D．（0，2）8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN=30°，连接BM，则∠AMB的度数为（　　）A．60° B．75° C．80° D．85°【知识点三】正方形折叠问题9．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G．若，，则AB的长为（       ）A．2 B． C． D．10．如图，AC是正方形ABCD的对角线，E是BC上的点，，将沿AE折叠，使点B落在AC上点F处，则AB的长为（       ）A．2 B．3 C． D．11．把一个面积为4的正方形，通过沿虚线折叠得到一个新正方形，它的边长是（       ）A．2 B． C．1 D．1.41412．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE、CF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠ECF＝21°，则∠B'CD'的度数为（　　）A．35° B．42° C．45° D．48°二、填空题【知识点一】菱形折叠问题13．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为________．14．如图，在菱形中，是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，连接，若，则__________．15．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为_____．16．如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为_________．【知识点二】矩形将折叠问题17．如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC，若S△ABC＝2，则S△ACD＝__．18．如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD>AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE=EF，CE=1，则AD=________．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是__．20．矩形ABCD中，AB=5，AD=3，P为CD上一点，将△ADP沿AP所在的直线折叠，得到△AEP，当B、E、P三点共线时，tan∠DAP=_______【知识点三】正方形折叠问题21．如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，若CH=1cm，则BC= _____cm．22．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____．23．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，经测量，，则的面积为______．24．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，则的度数为______．三、解答题25．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？小西进行了以下操作研究（如图1）：第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：①直接写出BE和BN的数量关系：　 ；②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；③求证：四边形BGHM是菱形．26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE=CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点G处，点D落在点H处，若EH与CB的延长线交于点P．(1)求证：PH=PB；(2)若∠PEA=45°，求AE的长度．27．【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容．如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么?(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD(AD>AB)，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上．求证：四边形ABEF是正方形．(请完成以下填空)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°，∵折叠，∠AFE=∠B=90°，∴四边形ABEF是矩形(       ) ∵折叠，∴AB＝(       )，∴四边形ABEF是正方形(       )(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD(AD>AB)，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边 BC上．①求证：四边形ABEF是菱形．②连结BF，若AE＝5，BF＝10，求菱形ABEF的面积．28．如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将△ABF沿BF折叠，点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点．(1)求证：CE＝BF；(2)若AB＝4，求GF的值．参考答案1．A【分析】将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，可得到BA＝BF，折痕为BE，沿EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形ABFE为正方形．解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，∴BA＝BF，∵折痕为BE，沿EF剪下，∴四边形ABFE为矩形，∴四边形ABEF为正方形．故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故选：A．【点拨】本题考查了正方形的判定定理，关键是根据邻边相等的矩形是正方形和翻折变换解答．2．D【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．解：∵四边形AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt△EBC中，EC=2EB，又∵EC=AE，AB=AE+EB=6，∴EB=2，EC=4，∴Rt△BCE中，，故选：D．【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．3．A【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出，从而得出．又因为，故，，易得解．解：根据菱形的对角相等得．，．根据折叠得．，，．．故选：A．【点拨】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系．在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质．注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等．4．A【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°−（∠CDE＋∠C）＝180°−（45°＋60°）＝75°．故选：A．【点拨】本题考查了折叠问题，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．5．D【分析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．解：∵四边形ABCD为矩形， ∴，∠ADC=90°，    ∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°， ∵， ∴∠CBD=∠FDB=28°， ∵矩形ABCD沿对角线BD折叠， ∴∠FBD=∠CBD=28°， ∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°． 故选：D．【点拨】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，矩形的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用轴对称的性质得到相等的角是解本题的关键．6．A【分析】首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B的长，再设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，再在Rt△A′EB中利用勾股定理可得方程：（12-x）2=x2+82，解出x的值，可得答案．解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴BD==13，根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13-5=8，设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，在Rt△A′EB中：（12-x）2=x2+82，解得：x=．故选：A．【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．C【分析】由题意可得AO=BC=10，AB=OC=8，DE=CD，BE=BC=10，在中，由勾股定理可求得，OE=4，设OD=x，则DE=CD=8-x，然后在中，由勾股定理即可求得OD=3，继而求得点D的坐标.解：∵点B的坐标为（10，8），∴AO=BC=10，AB=OC=8，由折叠的性质，可得：DE=CD，BE=BC=10，在中，由勾股定理得：，∴OE=AO-AE=10-6=4，设OD=x，则DE=CD=8-x，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，∴OD=3，∴点D的坐标是（0，3）.故选：C.【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.8．B【分析】由四边形ABCD是矩形，得∠A=∠ABC=90°，根据矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，得∠NME=∠ABC=90°，ME=BE，而∠DMN=30°，即知∠AME=60°，∠AEM=30°，即∠EMB+∠EBM=30°，可得∠EMB=∠EBM=15°，故∠AMB=∠AME+∠EMB=75°．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，∵矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，∴∠NME=∠ABC=90°，ME=BE，∵∠DMN=30°，∴∠AME=180°-∠NME-∠DMN=60°，∴∠AEM=90°-∠AME=30°，∴∠EMB+∠EBM=30°，∵ME=BE，∴∠EMB=∠EBM=15°，∴∠AMB=∠AME+∠EMB=75°，故选：B．【点拨】本题考查了矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后能够重合的线段相等、能够重合的角相等．9．D【分析】先求出AF和EF的长，再根据翻折变换的知识得到EF=BF， 进而求出AB的长.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A= 90°，AE= 1，∠AFE= 30°∴EF= 2，AF=，∵正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，EF= BF，BF= 2，∴AB= AF+ BF=2+，故选：D．【点拨】本题主要考查了翻折变换以及正方形的性质，解题的关键是根据翻折变换得到EF=BF，此题难度不大．10．C【分析】由正方形的性质得AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，由折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，证出△CEF是等腰直角三角形，则CE＝FE＝，进而得出答案．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，由折叠的性质得：∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，∴∠CFE＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝FE＝，∴BC＝BE＋CE＝1＋，∴AB＝BC＝1＋；故选：C．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质是解题的关键．11．B【分析】由原正方形的面积是 4，可求得原正方形的边长为2，由勾股定理可出新正方形边长．解：∵原正方形的面积是 4，∴原正方形的边长==2，∴由折叠可得四角是等腰直角三角形，其腰长为1，由勾股定理得：新正方形边长=,故选：B．【点拨】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，掌握运用勾股定理是解题的关键．12．D【分析】可以设∠ECB'＝α，∠FCD'＝β，根据折叠可得∠DCE＝∠D'CE，∠BCF＝∠B'CF，进而可求解．解：设∠ECB'＝α，∠FCD'＝β，根据折叠可知：∠DCE＝∠D'CE，∠BCF＝∠B'CF，∵∠ECF＝21°，∴∠D'CE＝21°＋β，∠B'CF＝21°＋α，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠D'CE+∠ECF+∠B'CF＝90°∴21°＋β＋21°＋21°＋α＝90°，∴α＋β＝27°，∴∠B'CD'＝∠ECB'+∠ECF+∠FCD'＝α+21°+β=21°+27°=48°则∠B'CD'的度数为48°．故选：D．【点拨】本题考查了正方形与折叠问题，解决本题的关键是熟练运用折叠的性质．13．75°【分析】连接，先证明为等边三角形，然后根据三线合一定理得到即可得到，则，再根据三角形内角和定理求解即可．解：连接，∵四边形为菱形，∴AD=AB，，AB∥CD，∴，∴∵，∴为等边三角形，∵为的中点，∴为的平分线，即，∴，由折叠的性质得到，在中，．故答案为：75°．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．14．【分析】根据菱形的性质得到AB=BC=CD=DA，AD//BC，∠ADB=∠CBF=∠ABD，再根据折叠的性质得到∠BFC=∠BCF，由三角形内角和与外角的性质得到结果．解：∵四边形是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD//BC，∴∠ADB=∠CBF=∠ABD，∵是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，∴BA=BF，∠A=∠BFE，∴BF=BC，∴∠BFC=∠BCF，∵，∴∠BFC=∠BCF =70°，∴∠ADB=∠CBF=40°，∵∠A=180°-2∠ADB=180°-80°=100°，故答案为：．【点拨】本题主要考查了菱形的基本性质与折叠的基本性质，根据菱形的基本性质与折叠的基本性质得到边相等是解题的关键．15．【分析】根据菱形AECF，得∠FCO＝∠ECO，再利用∠ECO＝∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，∴设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，∴2BE＝CE，∴CE＝2x，∴2x＝3﹣x，解得：x＝1，∴CE＝2，利用勾股定理得出：BC2+BE2＝EC2，BC＝又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，则菱形的面积＝AE•BC＝．故答案为．【点拨】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．16．12【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD＝DE＋CE＝9，ABCD，可得∠ECD'＝90°，由折叠的性质可得D'E＝DE＝5，AD＝AD'，由勾股定理可求CD'的长，AC的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AB＝CD＝DE＋CE＝9，ABCD∴∠BAC＝∠ACD＝90°∴∠ECD'＝90°∵将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD'，∴D'E＝DE＝5，AD＝AD'∴CD'＝＝3∴AD'＝AC＋3＝AD＝BC∵BC2＝AB2＋AC2，∴（AC＋3）2＝81＋AC2，∴AC＝12故答案为：12．【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求出CD'的长是本题的关键．17．4+4【分析】根据折叠的性质可得，分别求出，，求出，即可得出．解：如图：过点作于点，是等腰直角三角形，，，即，，折叠，，，纸片为矩形，折叠后，，是等腰直角三角形，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了折叠问题，矩形的性质，等腰直角三角形，三角形的面积，勾股定理，通过折叠得出是解题的关键.18．##【分析】证明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），推出BF=DB′，再证明DB′=EC=BF=1，想办法求出AB′，可得结论．解：由翻折的性质可知，EB=EB′，∠B=∠AB′E=∠EB′D=90°，在Rt△EBF和Rt△EB′D中，，∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），∴BF=DB′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠CDB′=∠EB′D=90°，∴四边形ECDB′是矩形，∴DB′=EC=1，∴BF=EC=1，由翻折的性质可知，BF=FG=1，∠FAG=45°，∠EGF=∠B=∠AGF=90°，∴AG=FG=1，∴AF=．∴AB=AB′=1+，∴AD=AB′+DB′=2+，故答案为：2+．【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．19．2【分析】如图，当A、G、E共线时，AG最小，先求出AE，根据AG＝AE﹣EG即可解决问题．解：如图，依题意：点G在以点E为圆心，长为半径的圆上运动，当A、G、E共线时，AG最小， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BE＝EC＝3，AB＝4，∴AE＝＝＝5．此时AG＝AE﹣EG＝5﹣3＝2．故答案为2．【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点到圆的距离，明确点和圆的位置关系是解决本题的关键．20．【分析】由翻折可得AD=AE，在Rt△ABE中可求出BE，设DP=EP=，表示出BP和CP，在Rt△BCP中，通过勾股定理即可列出等式，解出方程，从而求出答案．解：矩形ABCD中，AB=5，AD=3，则CD=5，BC=3,△ADP沿AP所在的直线折叠，得到△AEP，且B、E、P三点共线，∴易证△ADP≌△AEP，∴AE=AD，DP=EP，∠ADP=∠AEP=90°，在Rt△ABE中，AB=5，AE=3，∴BE=4；设DP=EP=，则BP=，CP=，在Rt△BCP中，,即，解得，∴DP=1，在Rt△ADP中，tan∠DAP=．故答案为：．【点拨】本题主要考查翻折问题，直角三角函数和勾股定理，找准线段之间的关系，并准确计算是解题的关键．21．【分析】连接CC′，证明△BCC′是等边三角形，再由折叠的性质得到∠HBC=∠HBC′=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可解决问题．解：如图，连接CC′，由折叠的性质知，折痕为EF是BC的垂直平分线，∴BC′=CC′，又由折叠的性质知，BC= BC′，∠HBC=∠HBC′，∴BC′=CC′=BC，∴△BCC′是等边三角形，∴∠C′BC=60°，∴∠HBC=∠HBC′=30°，在Rt△HBC中，∠HBC=30°，CH=1cm，∴HB=2cm，∴BC=（cm），故答案为：．【点拨】本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．22．45°##45度【分析】首先根据正方形的性质可得∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，再根据折叠可得∠1＝∠2＝ ∠ABD，∠3＝∠4＝∠DBC，进而可得∠2+∠3＝45°，即∠EBF＝45°．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，根据折叠可得∠1＝∠2＝∠ABD，∠3＝∠4＝∠DBC，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EBF＝45°，故答案为：45°．【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的．23．##【分析】根据题意，，进而求得，勾股定理求得，即可求得的面积．解：折叠，，，，∵四边形是正方形∴中．．故答案为：【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．24．15°【分析】由翻折的性质AH＝AB，MN垂直平分AD，于是得到DH＝AH＝AB＝AD，故此△ADH为等边三角形，由△ADH为等边三角形可知∠HAB＝30°，在△ABH中可求得∠ABH＝75°，故此可求得∠HBC＝15°．解：∵MN垂直平分AD，∴DH＝AH．由翻折的性质可知：AH＝AB．∵正方形ABCD中，∴AH＝AD＝DH．∴△ADH是一个等边三角形．∴∠DAH＝60°．∴∠HAB＝30°．∵AB＝AH，∴∠ABH＝×（180°−30°）＝75°．∴∠HBC＝∠ABC−∠ABH＝90°−75°＝15°．故答案是：15°．【点拨】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，正方形的性质，证得△ADH是一个等边三角形是解题的关键．25．①BE＝BN；②∠ABM＝30°；③见分析．【分析】（1）根据折叠的性质可得BE＝ AB，从而得到BE＝ BN，即可求解；（2）根据在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，可得∠BNE＝30°，即可求解；（3）由②得∠ABM＝30°，从而得到△BMG是等边三角形，进而得到BM＝BG，再有折叠的性质，即可求证．解：①解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，∴BE＝ AB，∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．∴AB＝BN，∴BE＝ BN；②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，∵BE＝BN，∴∠BNE＝30°，∴∠ABN＝60°，由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°；③证明：由②得∠ABM＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM＝BG，由折叠得BM＝MH，BG＝GH，∴BM＝MH＝BG＝GH，∴四边形BGHM是菱形．【点拨】本题主要考查了图形的变换——折叠，矩形的性质，菱形的判定等，熟练掌握图形折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．26．(1)见分析(2)AE的长度为．【分析】（1）根据∠PEF=∠PFE，证明PE=PF，再根据折叠的性质ED=EH，DE=BF，进一步计算即可证明PH=PB；（2）先证明△AEQ和△BPQ都是等腰直角三角形，设AE=CF=x，则EQ=x，PQ=(5-x) ，利用PE=PF代出方程求解即可．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠PFE，由翻折变换可知，∠DEF=∠PEF，∴∠PEF=∠PFE，∴PE=PF；∵AD=BC，AE=FC，∴ED=BF．由折叠性质得ED=EH，∴BF=EH，∴PE-EH=PF-BF，∴PH=PB；(2)解：设PE交AB于点Q，设AE=CF=x，则DE=BF=8-x，∵∠PEA=45°，∠A=∠ABC=∠ABP=90°，∴∠AEQ=∠AQE=∠PBQ=∠QPB=45°，∴△AEQ和△BPQ都是等腰直角三角形，∴BQ=PB=5-x，由勾股定理得：EQ=x，PQ=(5-x) ，∵PE=PF，∴PQ+EQ=PB+BF，即(5-x)+x=5-x+8-x，解得：x=．∴AE的长度为．【点拨】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．27．(1)有三个角是直角的四边形是矩形；AF；一组邻边相等的矩形是正方形．(2)①证明见详解；②菱形ABEF的面积为25【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD=∠B=90°，再由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，AB=AF，则四边形ABEF是矩形，然后由AB=AF，即可得出结论；（2）①由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠FAE=∠BEA，再证AB=BE，则AF=BE，得四边形ABEF是平行四边形，然后由AF=AB即可得出结论；②由菱形面积公式得S菱形ABEF=AE•BF，即可得出答案．(1)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°，由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，∴四边形ABEF是矩形 （有三个角是直角的四边形为矩形），由折叠的性质得：AB=AF，∴四边形ABEF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形；AF；有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得：AF=AB，∠BAE=∠FAE，∴∠BEA=∠BAE，∴AB=BE，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AF=AB，∴平行四边形ABEF是菱形；②解：如图，∵四边形ABEF是菱形，AE=5，BF=10，∴S菱形ABEF=AE•BF=×5×10=25，故菱形ABEF的面积为25．【点拨】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．28．(1)见分析(2)GF的值为．【分析】（1）先判断出AF=BE，进而得出△FAB≌△EBC（SAS），即可得出结论；（2）连接BG，根据HL证明Rt△BQG≌Rt△BCG，得QG=GC，设QG=b，在Rt△DFG中，根据勾股定理列方程可得b，从而可得结论．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠A=∠ABC=90°，∵E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，∵AF=BE，∴△FAB≌△EBC（SAS），∴CE=BF；(2)解：如图，连接BG，由折叠得：AB=BQ，∠BQF=∠A=90°，∵AB=BC，∴BC=BQ，∵BG=BG，∴Rt△BQG≌Rt△BCG（HL），∴QG=GC，∵AB=4，F是正方形ABCD边AD的中点，设QG=b，则DF=AF=FQ=2，FG=2+b，DG=4-b，在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴，∴b=，即QG=，∴GF=FQ+QG=2+=．∴GF的值为．【点拨】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是本题的关键．