2024-2025学年河北省保定市定州市九年级（上）期中数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年河北省保定市定州市九年级（上）期中数学试卷（含详解），共15页。试卷主要包含了选择题，解答题解答题应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）将方程5x2﹣x＝7x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5，7，﹣1B．﹣5，7，1C．5，﹣7，﹣1D．5，﹣8，0
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0，此方程可化为（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x+3）2＝8C．（x+3）2＝3D．（x﹣3）2＝3
4．（3分）若x＝2关于x的一元二次方程x2﹣ax+2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
5．（3分）将抛物线y＝2x2+1向右平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．y＝2x2+4B．y＝2x2﹣2
C．y＝2（x+3）2+1D．y＝2（x﹣3）2+1
6．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
7．（3分）已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣17x+66＝0的根，则第三边的长为（ ）
A．6B．11C．6或11D．7
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（ ）
A．35°B．70°C．110°D．140°
9．（3分）如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD＝DC，则弦AB的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
11．（3分）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息，可列方程为（ ）
A．10（1+x）2＝12﹣10B．10（1+x）2＝12
C．10（1+x）（1+2x）＝12D．10（1+x）3＝14
12．（3分）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（ ）
A．5m或6mB．2.5m或3mC．5mD．3m
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）把答案直接写在题中的横线上。
13．（3分）一元二次方程3x＝2x2的根为 ．
14．（3分）已知，如图⊙O的半径OA＝5cm，弦CD＝5cm，则弦CD所对圆心角为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+3与x轴正半轴交于点A、B，若AB＝2，则m的值为 ．
16．（3分）已知正方形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边OB上一点，且点M的坐标为（a，b）．将正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转2022秒后，点M的坐标为 ．
三、解答题（本题共8个大题，满分72分）解答题应写出文字说明、解答过程。
17．（8分）选择适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝4；
（2）x2﹣5x+1＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0．
（1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且，求m的值．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'；
（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．
20．（8分）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
21．（8分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，CF，且CG＝AG．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若，求GD的长．
23．（10分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．
（1）求证：FB＝FD；
（2）如图2，连接CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH＝CE，连接AH交BF于点N，判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
2024-2025学年河北省保定市定州市九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）
1．【考点】中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故A错误；
B．是中心对称图形，故B正确；
C．不是中心对称图形，故C错误；
D．不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
2．【考点】一元二次方程的一般形式；合并同类项．
【解答】解：∵方程5x2﹣x＝7x化成一般形式是5x2﹣8x＝0，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为5、﹣8、0，
故选：D．
3．【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【解答】解：x2﹣6x+1＝0，
x2﹣6x＝﹣1，
x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故选：A．
4．【考点】一元二次方程的解．
【解答】解：把x＝2代入x2﹣ax+2＝0，得
22﹣2a+2＝0，
解得a＝3．
故选：A．
5．【考点】二次函数图象与几何变换．
【解答】解：二次函数y＝2x2+1的图象右平移3个单位后所得函数的解析式是 y＝2（x﹣3）2+1
故选：D．
6．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：C．
7．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【解答】解：方程x2﹣17x+66＝0，
分解因式得：（x﹣6）（x﹣11）＝0，
解得：x＝6或x＝11，
当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；
当x＝11时，三边长为4，7，11，不合题意舍去，
则第三边长为6．
故选：A．
8．【考点】圆内接四边形的性质．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故选：D．
9．【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理．
【解答】解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OD＝CD＝9＝3，OC＝OD+CD＝6，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴∠ACO＝90°，AC＝BC，即AB＝2AC，
连接OA，
由勾股定理得：AC＝，
即AC＝BC＝3，
∴AB＝AC+BC＝6．
故选：B．
10．【考点】旋转的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质．
【解答】解：∵将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AEC＝50°，
∴∠ACE＝∠AEC＝50°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BAE＝∠EAC﹣∠BAC＝80°﹣50°＝30°．
故选：C．
11．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；统计表．
【解答】解：依题意得：10（1+x）2＝12．
故选：B．
12．【考点】一元二次方程的应用．
【解答】解：设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m，
根据题意得，（10+1﹣x）x＝15，
解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去），
答：BC长为5m，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）把答案直接写在题中的横线上。
13．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【解答】解：∵3x＝2x2，
∴2x2﹣3x＝0，
∴x（2x﹣3）＝0，
解得x1＝0，，
故答案为：x1＝0，．
14．【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．
【解答】解：连接OC，OD，
∵⊙O的半径OC＝OD＝OA＝5cm，弦CD＝5cm，
∴OC＝OD＝CD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
即弦CD所对圆心角为60°．
故答案为：60°．
15．【考点】抛物线与x轴的交点．
【解答】解：设A（a，0），B（b，0），则a，b是方程x2﹣2mx+3＝0的两个根，
∴a+b＝2m，ab＝3．
∵抛物线y＝x2﹣2mx+3与x轴正半轴交于点A、B，
∴a＞0，b＞0，
∴2m＞0，
∴m＞0．
∵AB＝2，
∴b﹣a＝2．
∴（b﹣a）2＝4．
∴（a+b）2﹣4ab＝4，
∴（2m）2﹣12＝4．
解得：m＝±2（负数不合题意，舍去），
∴m＝2．
故答案为：2．
16．【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．
【解答】解：∵正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，
∴旋转8秒恰好旋转360°．
∵2022÷8＝252……6，
∴旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次．
∵6×45°＝270°，
∴此时点M对应的位置即点M′所在的位置，
如图，过点M，M′分别作ME⊥x轴于点E，M′F⊥x轴于点F，
∴∠M′FO＝∠OEM＝90°，
∴∠EOM+∠EMO＝90°，
∵四边形OBCD是正方形，
∴∠BOD＝90°，
∴∠FOM′+∠MOE＝90°，
∴∠M′OF＝∠OME，
由旋转的性质可知OM＝OM′，
∴△M′OF≌△OME（AAS），
∵点M的坐标为（a，b），
∴M′F＝OE＝a，OF＝ME＝b，
又点M′在第二象限，
∴旋转2022秒后，点M的坐标为（﹣b，a）．
故答案为：（﹣b，a）．
三、解答题（本题共8个大题，满分72分）解答题应写出文字说明、解答过程。
17．【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得：x1＝5，x2＝1；
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝25﹣4×1×1＝21＞0，
∴x＝＝，
则x1＝，x2＝．
18．【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣2（m+3）．
Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣2（m+3）]＝m2+6m+25＝（m+3）2+16．
∵（m+3）2≥0，
∴（m+3）2+16＞0，即Δ＞0，
∴无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2为方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝m﹣1，x1•x2＝﹣2（m+3），
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16，
∴（m﹣1）2﹣2[﹣2（m+3）]＝16，
∴m2+2m﹣3＝0，
∴m1＝﹣3，m2＝1．
19．【考点】作图﹣旋转变换；轨迹．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）∵OC＝＝，
∴点C在旋转过程中所经过的路径的长＝＝π．
20．【考点】二次函数的应用．
【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：
y＝（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]
＝（x﹣20）（1000﹣20x）
＝﹣20x2+1400x﹣20000
＝﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴x＝35时，y有最大值．
所以，销售单价为35元，才能在一个月内获得最大利润．
21．【考点】二次函数的应用．
【解答】解：（1）根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
设抛物线的解析式为y＝ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入
64a+8＝6
解得：a＝﹣．
抛物线的解析式为y＝﹣x2+8．
（2）根据题意，把x＝4代入解析式，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴货运卡车能通过．
22．【考点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质．
【解答】（1）证明：AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，CG＝AG，
∴CE＝DE，＝，AC＝AD，CG＝AG，
∴∠ACD＝∠CAF，
∵∠ACD＝∠AFD，∠CAF＝∠CDF，
∴∠AFD＝∠CDF，
∴AD＝CF，
∴AC＝CF；
（2）解：根据题意，得AC＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠AFD＝∠CAF＝∠CDF＝∠CFA，
∴GD＝GF，
∵DF为⊙O的直径，
∴∠DCF＝90°，
∴∠CAF＝∠CDF＝∠CFA＝30°，
∴，
∴．
23．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，
∴∠BAD＝90°，BA＝AD，
∴∠FAD＝∠FAB＝45°，
在△FAD和△FAB中，
，
∴△FAD≌△FAB（SAS），
∴BF＝DF；
（2）解：结论：AH⊥BF．理由如下：
如图2中，
∵∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝AB＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
在△ABH和△DCE中，
，
∴△ABH≌△DCE（SAS）
∴∠BAH＝∠CDE，
在△CFD和△CFB中，
，
∴△CFD≌△CFB（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF，
∴∠BAH＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAH+∠ABF＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AH⊥BF．
24．【考点】二次函数综合题．
【解答】解：（1）A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，则抛物线和x轴的另外一个交点为：（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2+bx+3，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由题意得﹣1≤x≤t，
当﹣1＜t＜1时，则﹣1≤x≤t，
x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，取得最小值，
则x＝t时，2t﹣1＝﹣t2+2t+3，
解得：t＝﹣2或2，均不符合题意；
当1≤t＜3时，
则抛物线的顶点处取得最大值，
抛物线的顶点坐标为：（1，4），
即2t﹣1＝4，
解得：t＝2.5；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点B（0，3），
①当BC为菱形对角线时，对应菱形为BDCE′，
则BD＝CD，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点C（x，﹣x2+2x+3），点D（x，﹣x+3），
则CD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，BD＝x，BC＝，
∴﹣x2+3x＝x，
解得：x＝3﹣或x＝0（舍去），
则BD＝x＝3﹣2，
即菱形的边长为：3﹣2．
②当BD为菱形的对角线时对应菱形为菱形BCDE，
则CD＝BC，
∴﹣x2+3x＝，
解得：x＝2或x＝0（舍去），
则CD＝﹣x2+3x＝﹣22+3×2＝2，
即菱形的边长为：2．
综上，菱形的边长为：3﹣2或2．
月份
1
2
3
4
5
收入/万元
10

12
14