四川省2024届高三数学上学期九月测试试题含解析

这是一份四川省2024届高三数学上学期九月测试试题含解析，共13页。试卷主要包含了 已知集合 ， ，则， 定义在 上的函数 满足等内容，欢迎下载使用。
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的求解方法，结合集合的交集，可得答案.
【详解】由不等式 ，分解因式可得 ，解得 ，则 ，
所以 .
故选：A.
2. 已知 ，二项式 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）
A. 36B. 30C. 15D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】先根据“所有项的系数和”求得 ，然后利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】令 ，则可得所有项的系数和为 且 ，解得 ，
∵ 的展开式中的通项 ，
∴当 时，展开式中的常数项为 .
故选：C
3. 已知 ， 是实数，且满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取特殊值验证，可判断A，B，D；利用不等式性质结合基本不等式可判断C.
【详解】对于A，取 ，则 ，A错误；
对于B，取 ， ，B错误‘
对于C，因为 ，故 ， ，
，故 ，C正确；
对于D，取 ，则 ，D错误；
故选：C
4. 定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，当 时， ，则 （）
A. 336B. 338C. 337D. 339
【答案】B
【解析】
【分析】由 得到函数 的周期为6，只需求出 ，再结合函数的周期性求解.
【详解】因为当 时， ，所以 ， ， ， ，
又因为 ，所以 ，即函数的周期为6， ，
当 时， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故 .
故选：B
5. 已知函数 ，设数列 的通项公式为 ，则 （）
A. 36B. 24C. 20D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】先根据解析式求出对称中心，再结合等差数列项的性质计算求解即可.
【详解】 ，所以曲线 的对称中心为 ，即 ，
因为 ，易知数列 为等差数列， ， ，
所以

，
所以 .
故选:D.
6. 定义在 上的函数 满足:对任意 ，都有 ，且 为奇函数，则下列选项正确的是（）
A. B.
C. 为偶函数D. 为奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件推出 是周期为4，关于 、 对称的偶函数，再结合 、 与 的平移伸缩关系判断各项的正误.
【详解】由 为奇函数，则 ，即 ，B错；
所以 关于 对称，
由 ，令 ，则 ，即 ，
所以 关于 对称，则 关于 ，即y轴对称，C对；
所以 ，则 ，故 ，
则 ，即 的周期为4，则 ，
综上， 是周期为4，关于 、 对称 偶函数，
将 所有横坐标缩短为原来的一半得到函数 ，
所以 是周期为2，关于 、 对称的偶函数，D错；
则 ，A错；
故选：C
7. 在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：先求出事件A包含的基本事件个数，再根据古典概型的公式计算即可．
【详解】方法一：设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高为事件A．
则6必在后排，1在前排，
因此，分为1-6相对和1-6不对两种情况（相对的意思是前后相邻），
（1）1-6相对：5必在后排，2必在前排，
因此，又可分为2-5相对和2-5不对两种情况，
①2-5相对时，3-4相对且4在后排，所以有 种情况；
②2-5不对，有 种情况．
（2）1-6不对：可分为5在前排和5在后排两种情况，
（ⅰ）5在前排，则5-6相对且4在后排，又可分为1-4相对和1-4不对两种情况，
1-4相对：有 种；
1-4不对：有 种．
（ⅱ）5在后排，又可分为1-5相对和1-5不对两种情况，
①1-5相对：2必在前排，又分为2-6相对和2-6不对两种，
2-6相对：有 种；
2-6不对：有 种．
②1-5不对，有 种．
所以 .
故选：C．
方法二：将设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高为事件A，所以，
.
故选：C．
【点睛】本题的解题关键是合理分类，首先根据题意知6必在后排，1必在前排，所以根据1，6的位置关系分为两种情况，接下来就是根据每种情况，把能定下来的位置先定下来，不能定的就继续分类讨论，直至求出所有适合的基本事件个数．两个计数原理在解题时发挥了关键作用．
8. 已知双曲线 ，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，由题意可得 ，设 ， ，根据对称性可得 ， ，根据双曲线的定义可得 ， ， ，整理可得关于 ， 的齐次方程，再由离心率公式即可求解.
【详解】解：设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，
因为以 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ，
所以 ，圆心为 ，半径为 ，
根据双曲线的对称性可得四边形 是矩形，设 ， ，
则 ，由 可得 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：B.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 等差数列 的公差为 ，前 项和为 ；等比数列 的各项均为正数，公比为 ，前 项和为 ，下列说法正确的是（）
A. 是等比数列，公比为
B. 是等差数列，公差为
C. 若 ，则 ， ， 成等差数列，公差是
D. 若 ，则 ， ， 成等比数列，公比是
【答案】ABD
【解析】
【分析】由等差数列和等比数列的概念可以判断AB正确；由前 项和的概念与等差数列的概念以及等比数列的概念可以判断C错误，D正确.
【详解】A：因为等差数列 的公差为d，所以 ，故A正确；
B：因为等比数列 的各项均为正数，公比为 ，所以 ， ，故B正确；
C：当 时， ，


又

但是 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ， ， 成等差数列，公差是 ，故C错误；
D：当 时， ，



，
又等比数列 的各项均为正数，
，
且
所以 ，同理
即 ， ， 成等比数列，公比是 ，故D正确；
故选：ABD.
10. 已知函数 ，则“对 ，使得 成立”的充分不必要条件可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先求命题成立的充要条件，然后利用取值范围的真包含关系，得充分不必要条件.
【详解】由复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，
所以 时， ，
函数 在 单调递增，所以 时 ，
对 ，使得 成立，则有 ，
即 ，得
对 ，使得 成立的充要条件为 ，
各选项中，有 


则“对 ，使得 成立”的充分不必要条件可以是BCD选项.
故选：BCD
11. 已知定义在 上的函数 满足 ，则下列结论正确的是（）
A.
B.
C. 若 ，则
D. 若对任意的实数 ， ，则 是单调增函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法即可判断AB，结合基本不等式即可判断C，由单调性的定义即可判断D.
【详解】 时， ，∴ 或 ，A错.
取 ， ，B对.
，由B知： 所以 ，C对.
由 可知：当 时， ，此时 ，∴ ，
故对任意的 有 ，所以不存在 使 ，故对 ， ，
当 时， ，故 ，
∴ 在 上单调递增，D对.
故选：BCD.
12. 已知函数 ，下列关于函数 的零点个数的说法中，正确的是（）
A. 当 ，有1个零点B. 当 时，有3个零点
C. 当 ，有2个零点D. 当 时，有7个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】将函数 的零点个数问题转化为 解的个数问题，设 ，即有 ，然后结合每个选项中t的范围作出函数 图象，数形结合，即可求解相应方程的解，进而确定函数零点个数.
详解】令 ，则 ，设 ，则 等价于 ，
则函数 的零点个数问题即为 解的个数问题；
二次函数 ，其图象开口向上，过点 ，对称轴为 ，
对于A，当 时，作出函数 的图象如图：

由图象可知 有一个根 ，
则由 可知此时方程只有一个解 ，
此时函数 的零点个数为1，A正确；
对于B，当 时， ，
作出函数 的图象如图：

由图象可知 有一个根 ，
令 ，令 ，
则 有3个解，即 和 ，
此时此时函数 有3个零点，B正确；
对于C，当 时，分析同A，函数 有1个零点，C错误；
对于D，当 时， ，
作出函数 的图象如图：

由图象可知 有3个根，
当 时， ；
当 时， ，
则对于 ，
当 时， ，当 时， ，此时共有3个解；
对于 ，此时 有1个解，
即 有2个解，
对于 ，此时 有1个解，
即 无解，
故此时函数 有7个零点，D正确；
故选：ABD
【点睛】方法点睛：本题是关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设函数 ,若 ，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】分段讨论求出 和 的解析式，代入 可求出结果.
【详解】（i）当 ，即 时， ， ，
由 得 ，即 ，
因为 ，所以 恒成立，所以 ；
（ii）当 ，即 时， ， ，
由 得 ，即 ，即 恒成立，
所以 ；
（iii）当 ，即 时， ， ，
由 得 ，即 ，所以 ，
综上所述： 的取值范围是 .
故答案为：
14. 某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系．
身高体重
超重不超重总计
偏高415
不偏高31215
总计71320
附表：
0.10.050.010 005
2.7063.8416.6357.879
【答案】0.05
【解析】
【分析】根据给定的列联表求出 的观测值，再与临界值表比对作答.
【详解】由列联表知， ，
所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关．
故答案为：0.05
15. 是直线 上的第一象限内的一点， 为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当 面积最小时，点 的坐标是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，设出点 的坐标，并表示出点 的横坐标，再列出三角形面积的关系式，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，设 ， ，则 ，
而 ，则有 ，显然 ，于是 ，
由点 在x轴正半轴上，得 ， 面积
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 面积最小时，点 的坐标是 .
故答案为：

16. 如图抛物线 的顶点为A，焦点为F，准线为 ，焦准距为4；抛物线 的顶点为B，焦点也为F，准线为 ，焦准距为6． 和 交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是______

① ；②四边形MNST的面积为 ；③ ；④ 的取值范围为 .
【答案】①②③④
【解析】
【分析】根据抛物线的定义可得 判断①，以 为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线 的方程为 ，可得 ，进而判断②，利用抛物线的定义结合条件可得 可判断③，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断④.
【详解】设直线 与直线 分别交于 由题可知 ，
所以 ， ，故①正确；
如图以 为原点建立平面直角坐标系，则 ， ，
所以抛物线 的方程为 ，

连接 ，由抛物线的定义可知 ，又 ，
所以 ，代入 ，可得 ，
所以 ，又 ，故四边形 的面积为 ，故②正确；
连接 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
故 ，故③正确；
根据抛物线的对称性不妨设点 在封闭曲线 的上部分，
设 在直线 上的射影分别为 ，
当点 在抛物线 ，点 在抛物线 上时， ，
当 与 重合时， 最小，最小值为 ，
当 与 重合，点 在抛物线 上时，因为 ，
直线 ，
与抛物线 的方程为 联立，可得 ，
设 ，则 ， ，
所以 ；
当点 在抛物线 ，点 在抛物线 上时，设 ，
与抛物线 的方程为 联立，可得 ，
设 ，则 ， ，
当 ，即 时取等号，故此时 ；
当点 在抛物线 ，点 在抛物线 上时，根据抛物线的对称性可知， ；
综上， ，故④正确.
故答案为：①②③④.
【点睛】构建平面直角坐标系，结合抛物线定义可求解长度和角度问题，判断①②，
根据抛物线的对称性，判断 ，
从而 ，从而判断③，
分别讨论 的位置，然后判断 的取值范围，判断④，是本题的难点.
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知数列 的前 项和为 ， 且
（1）求 及数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数，使得这 个数依次组成公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 的关系，相减可得 为等比数列，即可求解，
（2）利用错位相减法即可求解.
【小问1详解】
， ，
, ，
两式详解得 ，又因 ， ，
故数列 为等比数列，且公比为2，首项为 ，
故
【小问2详解】
由题意得 ，解得
所以
，
，
相减得
解得
18. 如图，在五面体 中， 平面 ， ， ， ．

（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，五面体 的体积为 ，求平面 与面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明线面垂直，来证得平面 平面 .
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面 与面 所成角的余弦值，再转化为正弦值.
小问1详解】
取 的中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 .
取 的中点 ，连接 ，则 ，
由于 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
在等腰三角形 中， ，
过 作 ，垂足为 ，
则 ，
由于 平面 ， 平面 ，所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
设 ，则 ,
.
由（1）可知 两两相互垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
所以 ，
，
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以 .

19. 已知函数 ．
（1）若 是 的极值点，求 的单调性；
（2）若 恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）增区间为 ；减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）由 求得 的值，再由 求得 的单调区间.
（2）代入 可得 ，再结合函数单调性确定最值后即可得解.
【小问1详解】
的定义域为 ， ，
若 是 的极值点，则 ，解得 ，
此时 ，
在区间 上 单调递增；
在区间 上 单调递减.
此时 是 的极小值点，符合题意.
综上所述， 的增区间为 ；减区间为 .
【小问2详解】
，
由 ，得 ①，
设
，
所以当 时， ，①不成立，故 ，
，
所以 在区间 上 单调递减；
在区间 上， 单调递增，
所以 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】利用导数研究函数的极值点，除了 以外，还需要 在 左右两侧的单调性相反.利用导数研究含参数的不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法，也可以直接构造函数，然后利用导数进行研究.
20. 2023年游泳世锦赛于7月14日—30日在日本福冈进行，甲、乙两名10米跳台双人赛的选手，在备战世锦赛时挑战某高难度动作，每轮均挑战3次，每次挑战的结果只有成功和失败两种.
（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为 .设甲在3次挑战中成功的次数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望；
（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，由于教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，改变规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.15.求乙在第三次成功的概率.
【答案】（1）分布列见解析，2
（2）0.85875.
【解析】
【分析】（1）由已知 服从二项分布，即 ，然后列出相应的分布列即可.
（2）根据条件概率公式以及互斥事件的和事件的概率公式，列出相应的计算公式即可求解.
【小问1详解】
由题意得 ，则 ，其中 ，
则 的分布列为：
0123

则 .
【小问2详解】
设事件 为“乙在第 次挑战成功”，其中 .
所以 ；
；
；
；
故

.
即乙在第三次成功的概率为0.85875.
21. 已知圆 ，圆上有一动点P，线段PF的中垂线与线段PE交于点Q，记点Q的轨迹为C．第一象限有一点M在曲线C上，满足 轴，一条动直线与曲线C交于A、B两点，且直线MA与直线MB的斜率乘积为 ．
（1）求曲线C的方程；
（2）当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，求直线AB的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义判断Q点轨迹为椭圆，求出 的值，即得答案；
（2）讨论AB的斜率是否存在，存在时，设出直线方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合直线MA与直线MB的斜率乘积化简可得参数之间的关系，进而确定直线过定点，结合圆的几何性质，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得 ，

故Q点轨迹为椭圆，焦点为 ,
且 ，
故椭圆方程为 ；
【小问2详解】
由题意可知 ，
当直线AB斜率不存在时，设方程为 ，代入 ，
可得 ，不妨设 ，
此时 ，
化简得 ，解得 或 ，
时，直线 斜率不存在，不合题意，舍去，
故 ，则直线AB的方程为 ；

当直线AB斜率存在时，设 ，直线方程设为 ，
联立 得 ，
则需满足 ，
，
，
由 ，
可得 ，
化简得 ，即 ，
即 ，
当 时，直线AB的方程为为 ，过定点 ，
此时，不合题意，舍去；
当 时，直线AB的方程为为 ，
此时直线过定点，不妨设为 ，
直线 也过 ，由于点N满足 ，故在椭圆内，
所以 成立，
又因为 在椭圆内，所以当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，
应满足 ，而 ，故 ，故 ，
故此时直线AB的方程为 ，即 .
【点睛】难点点睛：本题考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系的应用问题，难点在于第二问的求解，解答时注意设直线方程并联立椭圆方程，利用根与系数的关系进行化简，困难的是计算十分复杂，计算量也大，几乎都是字母参数的运算，因此要求思路清晰，计算准确.
22. 已知函数 ， ，若曲线 与 相切.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若曲线 上存在两个不同点 ， 关于y轴的对称点均在 图象上.
①求实数m的取值范围；
②证明： .
【答案】（1）递减区间为 ，递增区间为
（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）设切点坐标,利用导数得出切线斜率，写出处切线方程，又切线方程为 ，对照得出方程，结合导数求出参数 ，再利用导数求出单调区间；
（2）①设 ， ，根据对称关系得出 有两个不等的实根，令 ，通过导数求出函数 的单调性及最值，得出结果.
②不妨设 ，要证明 ，即证 ，故只需证 ，设 ，利用导数求出函数 的单调区间得出结果.
【小问1详解】
设曲线 与 的切点坐标为 ，
由 ，得 .
故切线方程为： ，
即 ，又切线方程为 ，
所以 ，①且 ，②
设 ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
最大值为 ，
由②可得： 代入①得： ，
故 ，
所以 递减区间为 ，递增区间为 .
【小问2详解】
由（1）知 ，故 ， ，
① ， 关于y轴的对称点为 ， ，
由已知得： ， ，即 有两个不等的实根 ， ，
令 ， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
，
又 ， ， ， ，且 ，
故实数m的取值范围是 ；
②不妨设 ，要证明 ，即证 ，
因为当 时， 单调递减，故只需证 ，
又 ，即证明 ，
令 ，

因为 ，故 ，故 ， 在 单调递减，
所以 .
故 ，即 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧,许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.