重庆市2023_2024学年高一数学上学期期末复习试题三含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高一数学上学期期末复习试题三含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列函数中是奇函数且在区间上是增函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义，并结合具体函数讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，为指数函数，是非奇非偶函数，故A选项错误；
对于B选项，函数是对勾函数，由对勾函数性质得函数在区间上是减函数，故B选项错误；
对于C选项，函数为偶函数，故C选项错误；
对于D选项，函数为正弦函数，是奇函数，且在为增函数，故D选项正确.
故选：D.
2. 已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由二倍角公式化简，即可得到结果.
【详解】因为，则，且，则，
故选:B
3. 用二分法求函数在区间上零点的近似值，经验证有，取区间的中点，计算得，则此时零点满足（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】解：由题意，因为，
所以函数在区间上一定存在零点，
即函数的零点满足.
故选：C.
4. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式确定集合后，由交集定义计算．
【详解】由题意得：，，即，
故选：A.
【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握对数函数的性质是解题关键．
5. 函数在区间的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断函数非奇非偶函数，排除选项A、B，在计算时的函数值可排除选项D，进而可得正确选项.
【详解】因为，且，
所以既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A、B，
因为，排除选项D，
故选：C
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出.
【详解】由题意可得：，且，
所以，
所以，
故选：C
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.
7. 实数，满足，则以下结论错误的是（）
A. 取值范围是
B. 取值范围是
C. 取值范围是
D. 取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】利用条件得出，结合选项逐个求解可得答案.
【详解】由，得（），
对于A，，
当时，，当且仅当时取到等号；
当时，由得，当且仅当时取到等号；
所以取值范围是，A正确．
对于B，，由A可得取值范围是，B正确．
对于C，，
当时，，当且仅当时取到等号；
当时，由得，当且仅当时取到等号；C正确．
对于D，，从而D错误．
故选：D
8. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）
A. 2B. 1C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的条件，探讨函数的周期性，再结合函数解析式计算作答.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，则，且，
又为偶函数，则，
于是得，，因此函数是周期为4的周期函数，
当时，，则，
，
所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)或是定义域上的恒等式．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.）
9. 将函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数的图象，若函数为奇函数，则φ的可能值为（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先由平移变换得到，再根据函数为奇函数，由求解.
【详解】解：函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数
的图象，
因为函数为奇函数，
所以，解得，
所以φ的可能值为或，
故选：AC
10. 已知函数，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（）
A. B. C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合图象可知关于的一元二次方程根的分布，根据一元二次根的分布列出不等式求解即可．
【详解】作出函数的图象如下：
因为关于的方程有5个不同的实根，
令，则方程有2个不同的实根，
则，解得或，
若，则或，
令，
或，
解得，得；
当时解得，此时，解得，，不符合题意，故舍去；
综上可得.
故选：ABCD.
11. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A. 函数在单调递减
B. 函数图象关于中心对称
C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB的正误，利用图像变换可判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误.
详解】由图象可得，且，故即，
而，故，
因为，故，故，
对于A，当，，
而在上为减函数，故在为减函数，故A正确.
对于B，，故为函数图象对称轴，
故B错误.
对于C，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C错误.
对于D，当时，，
因为函数的值域为，故，
故，故D正确.
故选：AD.
12. 设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得（为常数），则称函数在上的均值为，下列函数中在其定义域上的均值为的有（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意将问题转化为关于的方程是否存在有解问题，然后逐个分析判断即可
【详解】由题意可得，则，即，将问题转化为关于的方程是否存在有解问题，
对于A，的定义域为，则对于任意，关于的方程为，则，，方程一定有解，所以A正确，
对于B，的定义域为，值域为，则对于任意，总存在，使得，所以B正确，
对于C，的定义域为，值域为，当时，，此时不存在，使，所以C错误，
对于D，，定义域为，值域为，则对于任意，关于的方程为，整理得，则总存在满足上式，所以D正确，
故选：ABD
三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13. 如图，在中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=________.
【答案】
【解析】
【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中，， ，面积为，由题意得，∴，∴，故答案为.
点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论.
14. 已知，，，其中e为自然对数的底数，则实数a，b，c用“”连接的顺序为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数的性质及正弦函数的性质，结合“媒介”数比较大小作答.
【详解】因为，则有，，，
因此，所以.
故答案为：
15. 已知函数的定义域是，则函数的单调增区间为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据定义域求出的值，再结合复合函数求出单调区间.
【详解】因为函数的定义域是，
所以是方程的两个根，
所以，解得，即.
令，，则为减函数，
函数是开口向下，对称轴为的二次函数，且时，为减函数；
所以函数的单调增区间为.
故答案为：.
16. 定义在R上的单调函数满足：，若在上有零点，则a的取值范围是______________
【答案】
【解析】
【分析】利用是奇函数且在R上的单调，转化为在上有解，再进行参数分离求解即可.
【详解】令,则,则；
再令则有
，且定义域为R.
是奇函数.
在上有零点.
在上有解；
在上有解；
又∵函数是R上的单调函数,
在上有解.
，；
；
令,
则；
在上单调递减,
，.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （1）求值：；
（2）若，化简.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可；
（2）先变形得，然后利用同角三角函数的平方关系及三角函数值的符号进行整理化简.
【详解】（1）
;
（2）若，则，
18. 已知函数，其最小正周期为.
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数，求函数在区间上的值域.
【答案】（1），单调递增区间；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简得，再根据最小正周期得，进而整体代换求解得的单调递增区间为；
（2）根据题意得，由于，故，故，，进而得函数值域.
【详解】（1）因为
.
所以，即，
，
令，
得，
所以的单调递增区间为.
（2）向右平移个单位得到，
当时，，
所以，，
所以函数的值域为.
【点睛】本题考查三角函数恒等变换，三角函数的性质等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据三角恒等变换化简得函数，进而根据三角函数的性质求解.
19. 在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产台（，）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）.（以下问题请注意定义域）
（1）求收入函数的最小值；
（2）求成本函数的边际函数的最大值；
（3）求生产台光刻机的这种设备的的利润的最小值.
【答案】19. 48千万元
20.
21. （千万元）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求解函数最小值即可.
（2）求出边际函数解析式，然后利用函数的单调性求解最值.
（3）求出利润函数的解析式，根据二次函数的性质求解最值.
【小问1详解】
∵，，.
∴，当且仅当，即时等号成立.
∴当时，（千万元）.
【小问2详解】
，，.
∴，，.
由函数单调性可知：在，单调递增，
∴当时，.
【小问3详解】
，
∴，，.
当时，即，解得或，
∴当或时，（千万元）.
20. 函数部分图象如图所示，已知.再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知.
（1）求函数的解析式；
（2）求的单调增区间.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）先由求出，分三种情况讨论求解，代入点的坐标求出，从而得到解析式；
（2）先求的解析式，整体代换可求的单调增区间.
【小问1详解】
因为，由图可知，所以.所以.
若选择条件①②，即，.
因为.由图可知，，即.
因为，所以，所以.
又因为，所以，所以.
若选择条件①③，即，.
因为.由图可知，，即.
因为，所以，所以.
又因为，所以，所以.
若选择条件②③，即，.
因为，由图可知，当时，取得最大值，
即，，由，得，，
因为，所以.
又，所以，所以.
【小问2详解】
，
故的单调增区间即为的单调递减区间.
由，，得，.
所以的单调递增区间为，.
21. 已知是偶函数，是奇函数．
（1）求，的值；
（2）用定义证明的在上单调递增；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；
（2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围．
【小问1详解】
解：因为是偶函数，
所以，即，
则，即，
所以，即，解得．
若是奇函数，
又定义域为，则，即，解得；
此时，则，符合题意；
【小问2详解】
设任意的且，
则
，
因为，所以，所以，则，
所以，
即的在上单调递增.
【小问3详解】
解：由（2）知单调递增，
则不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
则，
设，，因为、、在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
∴，
则，
所以实数的取值范围是．
22. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数；
（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；
（2）设，证明：有且只有一个零点，且.
【答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足；（2）当时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当时，证明在上没有零点，再化简，转化为证明不等式.
【详解】解：（1）若是“圆满函数”.取，存在，使得
，即，整理得，但是，矛盾，所以不是“圆满函数”.
（2）易知函数的图象在上连续不断.
①当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.因为，，
所以.根据函数零点存在定理，存在，使得，
所以在上有且只有一个零点.
②当时，因为单调递增，所以，因为.所以，所以在上没有零点.
综上：有且只有一个零点.
因为，即，
所以，.
因为在上单调递减，所以，所以.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在，并且存在，使得，再利用，化简，利用，利用函数的最值证明不等式..