重庆市2024届高三数学上学期9月月考试题含解析

这是一份重庆市2024届高三数学上学期9月月考试题含解析，共22页。试卷主要包含了 设命题甲， 函数的部分图象大致是， 已知，且，则， 设，，，则， 已知函数，则， 下列命题中的真命题有等内容，欢迎下载使用。
（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式可得集合B，然后由交集定义可得.
【详解】集合，
解不等式可得集合，
所以.
故选：B
2. =（）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式与两角和的正弦公式化简求值.
【详解】
故选：B
3. 已知直线是曲线的切线，则（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.
【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为，
于是且，所以.
故选：B
4. 设命题甲：，是真命题；命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么甲是乙的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出命题甲和命题乙对应的的范围，然后根据充分性和必要性的概念求解即可.
【详解】对于命题甲：因为是开口向上的二次函数，
所以对于，是真命题，则与轴无交点，
从而，解得；
对于命题乙：函数在上单调递减是真命题，
由对数函数单调性可知，，解得，
因为，所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
5. 函数的部分图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数，有，可得，
所以，函数的定义域为，
，，
所以，函数为偶函数，排除AB选项；
当时，，则，
此时，排除D选项.
故选：C.
6. 已知，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倍角公式可得，进而可得，利用诱导公式逐项分析判断.
【详解】因为，可得，解得或，
又因为，则，可得.
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确；
故选：D.
7. 李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（取）
A. 31B. 32C. 33D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】依题意知，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果.
【详解】∵经过t天后，用户人数，
又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴，
即，可得，∴①
当用户超过50000名时有，
即，可得，∴②
联立①和②可得，即，故，
∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.
故选：D.
8. 设，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】要比较的大小只需比较与的大小，故考虑构造函数，利用函数的单调性比较其大小，要比较的大小，只需比较与的大小，故考虑构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
【详解】因为，又
由函数，，
可得，
所以函数在上为减函数，
所以，
所以，故，所以，
因为，，
故要比较的大小只需比较与的大小，
故只需比较与的大小，
故考虑构造函数，其中，
由求导可得，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于观察被比较的数的结构特征，确定两者的结构上的共性，考虑构造函数，利用函数的单调性确定被比较的数的大小.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则（）
A. 函数的最小正周期为
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 函数是偶函数
D. 函数的递减区间为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
详解】由函数，
对于A中，由三角函数的性质，可得的最小正周期为，所以A正确；
对于B中，当时，可得，
所以是函数图象的一条对称轴，所以B正确；
对于C中，由，
此时函数为奇函数，所以C错误；
对于D中，令，解得，
即函数的递减区间为，所以D正确.
故选：ABD.
10. 下列命题中的真命题有（）
A. 当时，的最小值是3
B. 的最小值是2
C. 当时，的最大值是5
D. 若关于的不等式的解集为，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A、C：根据基本不等式分析判断；对于B：根据对勾函数分析判断；对于D：根据三个二次之间的关系分析判断.
【详解】对于选项A：因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；
对于选项B：因为，
等号成立的条件是，所以等号不成立，不能使用基本不等式，
令，则在上单调递增，所以时取得最小值，
故选项B错误；
对于选项C：因为，则
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D：因为关于的不等式的解集为，
所以的根为2,3，
则，解得，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，下列说法正确的是（）
A. 在处的切线方程为
B.
C. 若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则
D. 有唯一零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程判断A；计算即可判断B；利用对称关系求出解析式判断C；利用导数探讨单调性结合零点存在性定理判断D作答.
【详解】对于A，函数，求导得，有，
所以在处的切线方程为，即，A正确；
对于B，函数，有，
而，所以，B正确；
对于C，函数，函数的图象与的图象关于坐标原点对称，
所以，C错误；
对于D，函数的定义域为R，求导得，令，
，当时，当时，，则函数在上递增，在上递减，
于是，函数在上单调递增，而，
由零点存在性定理知在内存在唯一零点，所以有唯一零点，D正确.
故选：ABD
12. 已知函数，的定义域均为，且满足对任意实数，，，若是偶函数，，则（）
A. 是周期为2的周期函数B. 为奇函数
C. 是周期为4的周期函数D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，①，②，
以替换②中的得③，
由①③得④，
令得，A选项错误.
由④得⑤，
以替换⑤中的得，
所以为奇函数，B选项正确，且，
以替换②中的得⑥，
由①⑥得⑦，
以替换⑦中的得，
所以，
所以是周期为4的周期函数，所以C选项正确.
由，令，得，
令，得，
由，
令，得，
令，得，
所以，
所以，所以D选项正确.
故选：BCD
【点睛】求解抽象函数奇偶性、周期性等题目，关键点就是牢牢把握函数的性质进行分析，记住一些常见的结论是最好的办法，如这是对称性，并且是轴对称；这也是对称性，且是中心对称.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 设函数，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的运算法则，求得，代入即可求解.
【详解】由导数的运算法则，可得，
所以.
故答案为：.
14. 已知，则______.
【答案】##-0.8
【解析】
【分析】根据正切的差角公式得出，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.
【详解】由，
又，
代入得.
故答案为：
15. 已知函数的图象经过定点，若为正整数，那么使得不等式在区间上有解的的最大值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由可得出，由已知不等式结合参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解.
【详解】由已知可得，则，解得，故，
由得，
因为，则，可得，
令，，则函数在上单调递减，
所以，，.
因此，正整数的最大值为.
故答案为：.
16. 已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导，函数有两个极值点，，则，化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出，结合将参数分离出来，构造函数，即可得出.
【详解】
所以，令，所以
令，则
令，则
所以在上单调递减，所以
所以在上单调递减，
所以
令，则恒成立
所以在上单调递增，即
【点睛】已知函数有零点，求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值城问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，求在上的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数，得到，进而求得函数的最小正周期；
（2）根据三角函数的图象变换，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，
则，
所以该函数的最小正周期;
【小问2详解】
解：将函数的图象向右平移个单位长度
可得函数，
由，可得，
所以当，即时，函数取得最大值，最大值为.
18. 某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下的两个等高条形图，其中被调查的男女学生比例为.
（1）求m，n的值（结果用分数表示）；
（2）完成以下表格，并根据表格数据，依据小概率值的独立性检验，能否判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关？
（3）在抽取的样本女生中，按有无飞天宇航梦用分层抽样的方法抽取5人.若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有飞天宇航梦的女生人数X的分布列及数学期望.
附临界值表及参考公式：
，.
【答案】（1），；
（2）列联表见解析，不能
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据得到被调查的男女上的人数，以及有飞天宇航梦和无飞天宇航梦的男生和女生的认识，进而求得的值；
（2）根据（1）中的数据列出的列联表，求得的值，结合题意，即可得到结论；
（3）根据题意，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题可知被调查的男女学生分别为600人，400人，
男生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，
女生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，
所以，.
【小问2详解】
解：根据（1）中数据填表，
可得
根据小概率的独立性检验，
所以没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即不能判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关.
【小问3详解】
解：根据题意，在抽取的5名女生中，有3名女生有飞天宇航梦，2名女生无飞天宇航梦，则X的可能取值为1，2，3，
可得，，，
故随机变量的分布列为
所以的数学期望.
19. 已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴和周期可求和的值．
（2）由题设可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用诱导公式和两角和的正弦可求的值．
【详解】（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为，
所以，故．
又图象关于直线，故，
所以，因为，故．
（2）由（1）得，
因为，故，
因为，故，故．
又
．
【点睛】方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
20. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元：若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
附：相关系数公式，参考数据．
【答案】（1），可用线性回归模型拟合与的关系；（2）为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．
【解析】
【分析】
（1）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；
（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪，安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；安装2台或3台光照控制仪的情况，分别列出分布列算出期望，然后作比较可得答案.
【详解】（1）由已知数据可得，，
因，，，
所以相关系数，
因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．
（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．
①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元
②安装2台光照控制仪的情形
当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元，
当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元，
故的分布列为：
所以元．
③安装3台光照控制仪的情形
当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元，
当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元，
当时，3台光照控制仪都运行，此时周总利润元，
故的分布列为：
所以元．
综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，分布列的求法，利润的计算，属于中档题．
21. 已知函数，.
（1）若在处取得极值，求的的单调区间；
（2）若在上没有零点，求的取值范围.
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
【分析】（1）若在处取得极值，则，求出，再代入求单调区间；
（2）因为，所以只需证明在满足，对进行分类讨论即可.
【详解】（1）的定义域，
，
，
，递增区间为，
，递减区间，
所以递增区间为，递减区间为.
（2），，
因为，所以只需证明在满足.
当时，在恒成立，在上递减，
，得，与矛盾；
②当时，，递减，
，递增，
，所以
③，在恒成立，在上递增，
，满足题意，
综上有，.
【点睛】考查求函数的单调区间以及根据函数的零点情况求参数的范围，函数的零点情况转化为研究函数的值域，进一步确定参数范围；属于较难题.
22. （1）求证：当时，；
（2）若关于的方程在内有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导后，再构造函数，求导后在上为增函数，再由，得在上为增函数，从而可证得结论；
（2）先证得，则令，原问题等价于在内有零点，由（1）可知当时，函数没有零点，当时，连续两次求导结合零点存在性定理求出的单调区间，再判断函数的零点，从而可求得结果.
【详解】（1）证明：令，则，
令，则，
因为，所以，即在上为增函数，
所以，故在上为增函数，
所以，即成立
（2）解：设，由于，则，
所以在上为增函数，所以，即.
方程等价于.
令，原问题等价于在内有零点，
由，得.
由（1）知当时，，
此时，当时，函数没有零点，不合题意，故舍去.
当时，因为，所以，
令，则.
当时，恒成立，所以单调递增.
当时，令，则.
因为，，所以，所以单调递增.
又，，
因此在上存在唯一的零点，且.
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
又，，，
因此在上存在唯一的零点，且.
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
又，，
由（1）知，所以，
所以在上没有零点，在上存在唯一零点，因此在上有唯一零点.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题有关键是对方程化简变形后构造函数，将原问题转化为在内有零点，然后利用导数和零点存在性定理求解，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
有飞天宇航梦
无飞天宇航梦
合计
男
女
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2706
3.841
6.635
7.879
10.828
有飞天宇航梦
无飞天宇航梦
合计
男
420
180
600
女
240
160
400
合计
660
340
1000
1
2
3
周光照量x（单位：小时）
光照控制仪最多可运台数
3
2
1
2000
6000
0.2
0.8
9000
5000
1000
0.1
0.7
0.2