河南省信阳市淮滨县2023-2024学年八年级上学期1月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份河南省信阳市淮滨县2023-2024学年八年级上学期1月月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2. 在下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）．
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：∵三角形的两边为，，
∴第三边长的取值范围为，
即，
只有D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边．
3. 图中的两个三角形全等，则等于( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解；∵两个三角形全等，
∴是边a和边c的夹角，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算；根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
5. 已知点与关于轴成轴对称，则的值为（ ）
A. B. 1C. 7D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用关于x轴对称的点的坐标特点得出a，b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵点与关于轴成轴对称，
故：A．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，关于x轴对称的点的坐标特点是：横坐标相同，纵坐标互为相反数，正确得出对应点横纵坐标的关系是解题关键．
6. 等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．
【详解】解：①当顶角是时，它的底角；
②底角是．
所以底角是或．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
7. 若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的性质化简即可；
【详解】解：A、，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；
B、，分式的值保持不变，故此选项符合题意；
C、，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；
D、，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．
8. 小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程，线路二全程，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则在线路二上行驶的平均速度为，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
【详解】设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则在线路二上行驶的平均速度为，
由题意得：，
故选：A．
9. 如图，在中，，，为的角平分线，若中边上的高为5，则长为（ ）
A. 15B. 12C. 10D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质得到，求出，再结合含的直角三角形的性质推出，进而求出AC即可．
【详解】解：过点D作于E，如图，
则DE为中边上的高，即，
∵，，BD平分，
∴，
∵，，
∴，
∵BD平分，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质、角平分线的性质和等角对等边的性质，正确的作出辅助线是解决本题的关键．
10. 如图，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】利用分类讨论的思想，结合线段垂直平分线，等腰三角形的性质，对称的性质，画出图形，即可找出符合题意的P点．
【详解】①如图，作AB或CD的垂直平分线交l于点P，P点即满足条件；
②在l上作点P，使PA=AB，如图1，同理在l上作点P使PB=AB，如图2，P点即满足条件；
③在l上作点P，使PA=AB，如图3，同理在l上作点P使PB=AB，如图4，P点即满足条件；
综上，可知满足条件的P点有5点．
故选：A．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，对称的性质．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
二填空题（每题3分，共15分）
11. 若分式有意义，则满足的条件是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于零求解即可．
【详解】若分式有意义，则，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题的关键．
12. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．
【答案】5
【解析】
【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，
(n-2) ×180°=540°，解之得，n=5．
13. 已知，，则=________
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先将变形为，再利用幂的乘方得出，接下来将，代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的运算，解答本题的关键是掌握幂的运算法则．
14. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘cm，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为________cm．
【答案】65
【解析】
【分析】过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F，
∵，，
∴，
由对称性可知：，
∴通过闸机的物体最大宽度为cm，
故答案为：65 cm．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．
15. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，D是线段AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A'处，当A'D平行于Rt△ABC的直角边时，∠ADC的大小为_____．
【答案】112.5°或67.5°
【解析】
【分析】由折叠的性质可得，分两种情况讨论，利用平行线的性质和三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵Rt△ABC中，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，∠ACB=90°，
∵把△ACD沿直线CD折叠，
∴，
如图，若， ∴，
∴，
∴∠ACD=22.5°，
∴∠ADC=180°-45°-22.5°=112.5°，
如图，若，
∴
∴，
∴∠ADC=67.5°，
故答案为：112.5°或67.5°．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
三、解答题（共75分）
16. 解答下列各题
（1）计算：
（2）分解因式：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用整式乘法中的单项式乘以多项式法则、完全平方公式、平方差公式进行计算，去掉括号后进行合并同类项即可得出答案．
（2）首先提取公因式，再对后面的多项式因式利用完全平方公进行分解即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
【点睛】本题考查了整式混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17. 解方程．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x＋1）（x−1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．
【详解】解：方程两边乘，得.
解得.
检验：当时，.
所以，原分式方程的解为.
【点睛】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
18. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．
19. 如图，点B，F，C，E在一条直线上BF＝CE，AC＝DF．
（1）在下列条件①∠B＝∠E；②∠ACB＝∠DFE；③AB＝DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是 ．
（2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A＝∠D．
【答案】（1）②③④；（2）添加条件∠ACB＝∠DFE，理由详见解析．
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的判定方法即可得出答案；
（2）答案不唯一，添加条件∠ACB＝∠DFE，证明△ABC≌△DEF（SAS）；即可得出∠A＝∠D．
【详解】解：（1）①在△ABC和△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，∠B＝∠E，
不能判定△ABC和△DEF全等；
②∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
③在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
④∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
故答案为：②③④；
（2）答案不唯一．添加条件∠ACB＝∠DFE，理由如下：
∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF．
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
∴∠A＝∠D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
（1）在图中画出关于y轴的对称图形，并写出（ ， ）；
（2）的面积为 ；
（3）请在y轴上找一点，使的最小，并出点的位置．
【答案】（1）见解析；，
（2）9 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查轴对称、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称把最短问题转化为两点之间线段最短．
（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的关于y轴的对称点，，,顺次连接即可得到所求作图形；
（2）利用长方形的面积减三个直角三角形的面积即可；
（3）利用轴对称性质，把问题转化为两点之间线段最短解决．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，的坐标是，
的坐标是，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：的面积．
故答案为：9；
【小问3详解】
解：点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接，此时的值最小，
如图，点P即为所求．
21. 如图，中，为的中点，交的平分线于，，交于，，交的延长线于，试问：与的大小如何？证明你的结论．
【答案】相等，证明见解析
【解析】
【分析】连接、，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质可得、，然后借助“HL”证明，由全等三角形的性质可证明．
【详解】与的大小关系为相等．
证明如下：连接、，如下图，
∵是的平分线，且于，于，
∴，
∵于，是的中点，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及垂直平分线段的性质，正确作出辅助线，熟练掌握相关判定与性质是解题关键．
22. 阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母，可设；
则．
对于任意上述等式成立，
，解得：．
．
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）已知整数使分式的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．
【答案】（1）
（2）满足条件的整数的值为、、、 ．
【解析】
【分析】（1）仿照例题，列出方程组，求出、的值，即可把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）仿照例题，列出方程组，求出、的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，再根据整除运算即可解答．
【小问1详解】
解：由分母，可设
则，
对于任意上述等式成立，
，解得：，
，
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式；
【小问2详解】
解：由分母，可设，
则，
∵对于任意上述等式成立，
，解得：，
，
整数使分式的值为整数，
∴为整数，
满足条件的整数、、、．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键．
23. 在中，，点是直线上一点（不与重合），使．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度；
（2）如图2，如果，则 度；
（3）设．
①如图3，当点在线段上移动，则之间满足怎样的数量关系；
②当点在直线上移动，请直接写出之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②或
【解析】
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，可求的度数；
（2）由条件可得为等边三角形，由“”可证得出，则可得出结论；
（3）①由“”可证得出，再用三角形内角和即可得出结论；
②分两种情况画出图形，由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：；
小问2详解】
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【小问3详解】
①，
理由：∵，
∴．
即．
在与中，
，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
②如图1：当点在射线上时，，
连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即：，
∴，
如图2：当点在射线的反向延长线上时，．
连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴；
综上所述：点在直线上移动，或．