辽宁省鞍山市2024-2025学年八年级上学期期中质量检测数学试卷（解析版）-A4

这是一份辽宁省鞍山市2024-2025学年八年级上学期期中质量检测数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学
（考试时间：90分总；试卷满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边长不可能是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围．
【详解】解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为，
∵三角形的两边长分别为和，
∴，即．
∴第三边可能为，，，不可能为
故选：D．
2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不轴对称图形，故此选项错误．
故选：A．
3. 点关于轴对称的点的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4. 如图，在中，，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线，交边于点D．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键．
由作图方法可得是角平分线，进而根据，求得，根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5. 如图，等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键，设与交于，与交于，与交于，根据三角形的内角和定理分别得到，，，的内角都等于，然后再进行计算即可得到答案．
【详解】解：设与交于，与交于，与交于，如图所示：
中，，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
故选：D．
6. 如图，为了估算河宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，再在河的这一边选定点和，使，并在垂线上取两点、，使，再作出的垂线DE，使点、、在同一条直线上，因此证得．进而可得．即测得DE的长就是AB的长，则的理论依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：，做题时注意选择．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
根据已知条件，判断的依据即可．
【详解】解：∵证明用到的条件是：，
∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法，故B正确．
故选：B．
7. 如图，在中，BD是边上的中线，E是BD的中点，连接，且的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键．
根据三角形中线，可以知道，，从而计算出答案．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的中点，
，
，
，
故选：A．
8. 如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A. 18B. C. 9D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，点D是中点，
∴
∴，
∴
又∵
∴
故选：C
9. 如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质，可以求得∠ADF=∠CFE=30°，即可求得AD=2AF、CF=2CE，根据BE=BC-CE即可求的BE的长．
【详解】∵D是AB的中点，
∴，
∵等边三角形ABC中∠A=∠C=60°，
且DF⊥AC，
∴∠ADF=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ADF中，，
∴，
同理，在Rt△FEC中，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，30°角在直角三角形中运用，本题中根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”求解是解题的关键．
10. 如图，在第1个中，；在边上任取一点D，延长到A2，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到A3，使，得到第3个；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的底角度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数．
【详解】解：在中，，，
，
，是△的外角，
；
同理可得，，
第个三角形中以为顶点的底角度数是．
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，，若，，则的度数为______．
【答案】##100度
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．
【详解】解：由，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
12. 一个正多边形的每个外角为，则这个正多边形的对角线共有_________条．
【答案】20
【解析】
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=，进而求得多边形的对角线条数．
【详解】解：这个正多边形的边数：，
则对角线的条数是：．
故答案是：20．
【点睛】本题考查多边形内角与外角．解题的关键在于掌握正多边形的外角和为，并且正多边形的每一个外角都相等．
13. 如图，，点D，E分别在与上，与相交于点F．只填一个条件使得，添加的条件是：____________________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
【详解】添加的条件是：
∵，，
∴
故答案为：（答案不唯一）．
14. 在中，，边上的高与夹角为，则为______．
【答案】或
【解析】
【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的高，三角形的内角与外角，根据题意画出图形，要分两种情况进行讨论；①是锐角三角形，②是钝角三角形．
【详解】解：如图1，当是锐角三角形时，
在中，，
∵边上的高与夹角为，
∴，，
∴；
如图，当是钝角三角形时，
在中，，
∵边上的高与夹角为，
∴，，
∴；
综上，为或．
故答案为：或．
15. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，．下列推断正确的是______．（填序号）
①；②；③；④
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键．
由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，即可判断①；不一定等于，即可判断②； 由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断③；过作，可得，由对称性质得同理可证，即可判断④；
【详解】解：∵，
，
由对称得，
∵点分别是底边的中点，与都是等腰三角形，，
，
，
∴，结论①正确；
不一定等于，结论②错误；
由对称得，
∵点分别是底边的中点，
∴，结论③正确；
过作，
，
，
根据对称得，
，
同理可证，
∴，结论④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 如图，在中，，．
（1）求的度数；
（2）若，交于点E，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理．
（1）在中根据三角形三个内角的和是即可求出的度数；
（2）先求出，结合（1）中的结论即可求出，从而判断出的形状．
【小问1详解】
解：，，
；
【小问2详解】
解：为直角三角形，理由如下：
∵，，
，
由（1）得，
，
为直角三角形．
17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作关于轴成轴对称的，并写出、、的坐标；
（2）在轴上有一点，使的值最小，请在坐标系中标出点的位置，并写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换和最短路径问题，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
（1）找出点、、关于轴的对称点，连接即可；
（2）连接，与轴交点即为点．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，．
【小问2详解】
解：如图，连接交轴于一点，即为所求的点，
∵，
此时的值最小，．
18. 如图，点在同一直线上，，，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由可得，进而得；由得；根据证明全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等，即可得出结论；
【小问1详解】
证明：∵
∴
∵
∴
∵
∴
即：
在和中
∴
【小问2详解】
证明：∵
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法以及性质是解题的关键．
19. 如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且．
（1）求证：；
（2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可；
（2）证明，根据全等三角形的性质证明，再根据线段的和差关系即可得到结论．
【小问1详解】
证明：是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
∵，
∴．
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明．
【答案】（1）150°；（2）等边三角形．
【解析】
【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB=∠ADC即可解决问题．
（2）结论：△ABE是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC即可．
【详解】（1）∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB（360°﹣60°）=150°．
（2）结论：△ABE是等边三角形．理由如下：
∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE．在△ABD和△EBC中，∵∠ADB=∠BCE=150°，BD=BC，∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE．
∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
21. 如图，ΔABC是等边三角形，是中线，延长至点，使.
（1）求证：；
（2）尺规作图：过点作垂直于，垂足为；（保留作图留痕迹，不写作法）
（3）若，求ΔABC的周长.
【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析；（3）36.
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠DBC=30°，∠ACB=60°，根据等边对等角和三角形外角的性质得到∠E=30，根据等角对等边即可得出结论；
（2）根据垂线的尺规作图方法，过点D作DF⊥BE，垂足为F；
（3）根据直角三角形两锐角互余求出∠CDF=30°，根据30度角所对直角边等于斜边的一半得到CD的长，进而得到AC的长，即可得出结论．
【详解】（1）∵ΔABC是等边三角形，是中线，∴，．
∵，∴．
又∵，∴．
∴．∴．
（2）如图所示．
（3）∵，由（1）知，，∴垂直平分．
∴在中，．∴．
∵，∴．∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及基本作图，解题时注意：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°，等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
22. （1）已知是直角三角形，，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、当点，位于直线的同侧时如图，易证如图，若点在直线的异侧，其它条件不变，是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）变式一：如图，中，，直线经过点，点、分别在直线上，点、位于的同一侧，如果，求证：．
（3）变式二：如图，中，依然有，若点，位于的两侧，如果，，求证：．
【答案】（1）成立，证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要是通过角与角之间的互余关系，互补关系，外角关系以及内角和关系来推导等角关系．
（1）通过在和中利用角的互余关系证明等角，从而证明全等；
（2）通过和中外角的性质证明等角，从而证明全等；
（3）先证明，再证明，从而证明全等，利用全等的性质即可证明结论．
【详解】解：（1）成立，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴．
23. （1）如图①，中，，平分，交于E，于D，与交于点F，．线段和的数量关系是 ．
（2）如图②，中，，平分，，垂足E在的延长线上．试探究线段和的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图③，中，，点D在线段上，，，垂足为E，与相交于点F．试探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）．理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，，然后利用证明，得出，即可得出结论；
（2）延长，交于点G，证明，得出，利用余角的性质证明，根据等腰三角形的判定得出，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；
（3）过点D作交于H，交的延长线于点G，先证明是等腰直角三角形，得出，进而得出，利用等腰三角形的判定可得出，然后类似（2）判定即可．
【详解】解：（1），平分，
，，
又，
，
在在和中
，
，
．
故答案：；
（2）．理由如下：
如图②，延长，交于点G，
，
，
又，
，
，
．
在和中
，
．
又CD平分，
，
由得
，
，
是BG的中点，
，
．
（3）．理由如下：
过点D作交于H，交的延长线于点G，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
．
又，
∴由（2）可知，
，
，
，
即DE平分，
∴由（2）可知，
是的中点，
，
．