辽宁省锦州市第八中学2021-2022学年下学期 八年级期中考试 数学试卷 （解析版）-A4

这是一份辽宁省锦州市第八中学2021-2022学年下学期 八年级期中考试 数学试卷 （解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，画图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间共90分钟 试卷满分：100分
考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效
一、选择题：（本题包括8道小题，每题2分，共16分）
1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义进行判断即可．
本题考查因式分解的意义，牢固掌握因式分解的定义，能够根据定义对所给的式子进行判断是解题的关键．
【详解】解：A．是单项式乘多项式，故不符合题意；
B．是多项式乘多项式，故不符合题意；
C．是因式分解，符合题意；
D．，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
3. 下列命题中，其逆命题成立的是（ ）
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④直角三角形的两个锐角互余．
A. ①③④B. ①②③C. ②④D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题；
④直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余三角形是直角三角形，是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．
4. 若，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A．，
，故本选项不符合题意；
B．，
，故本选项不符合题意；
C．，
，故本选项符合题意；
D．，
，故本选项不符合题意；
故选：C．
5. 已知点P（a﹣3，2﹣a）在第三象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点P所在的象限得到a的不等式组，然后解不等式组求得a的取值范围即可解答．
【详解】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）在第三象限，
∴，解得：2＜a＜3，
∴a的取值范围在数轴上表示正确的是D选项，
故选：D
【点睛】本题考查点所在的象限、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟知点坐标在象限中的符号是解答的关键．
6. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象可知：当时，的图像在图像的上方，据此即可解答．
【详解】解：由函数图像可知：当时，，即不等式的解集为：．
故选：B．
7. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）

A. BC=EFB. ∠BCA=∠FC. AB∥DED. AD=CF
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
8. 如图，，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过点P作，垂足E，由角平分线性质，得，，由平行性质，可推证，，得，中，，所以．
【详解】如图，过点P作，垂足为E，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
；
∴，
；
∴，
中，，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线性质定理，角直角三角形性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题（本题包括8道小题，每题2分，共16分）
9. 不等式3（2x+1）≤2+2x的最大整数解是_____．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】先解不等式得到解集，然后根据解集确定最大整数解即可．
【详解】解：3（2x+1）≤2+2x
6x+3≤2+2x
6x-2x≤2-3
4x≤-1
x≤
所以该方程的最大整数解为-1．
故答案为-1．
【点睛】本题主要考查了求不等式的最大整数解，正确求解一元一次不等式是解答本题的关键．
10. 能分解成，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，多项式能分解成，所以整式乘法得出的结果与相同，由此可得出m，n的值，则可求出的值．
【详解】解：
，
∵是由分解成的，
∴，
∴．
故答案为：．
11. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，则顶角的度数为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，
∵，
∴，
∴三角形的顶角为；
②当钝角三角形时，如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴三角形的顶角为，
故答案为：或．
12. 已知关于 x 的一元一次不等式组的解集是 x＜5，则 m 的取值范围是______．
【答案】m≥5
【解析】
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．
【详解】解不等式2x-1＞3（x-2），得：x＜5，
∵不等式组的解集为x＜5，
∴m≥5，
故答案为m≥5．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13. 某种商品的进价为500元，售价为750元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持该商品的利润率不低于20%，那么最多可以打______折．
【答案】八##8
【解析】
【分析】设该商品打x折销售，根据利润=售价-进价，结合要保持利润不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设该商品打x折销售，
依题意得：750×-500≥500×20%，
解得：x≥8．
故答案为：八．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14. 如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，推出，求出，求出即可得到的长．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，正确理解线段垂直平分线的性质得到是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，并且，.若把矩形绕着点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由旋转的性质得，由勾股定理求出，即可得出的坐标为．
【详解】解：由旋转的性质得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题意可得点在x轴上，且，求出，，，得出规律，即可得解．
【详解】解：由题意可得：点在x轴上，且，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴直线为，
∴，，，
…，
∴，
∴的坐标为，
故答案为：．
三、计算题（本题共16分，其中17题每小题4分共8分，18题每小题4分共8分）
17. 因式分解：
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解一元一次不等式（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解不等式与解不等式组，熟练掌握解不等式与解不等式组的方法是解题的关键．
（1）不等式两边同时乘以6去分母，得到，再通过去括号、移项、合并同类项计算即可；
（2）解不等式组需要分别求解每个不等式，然后取它们的交集．
【小问1详解】
解：，
不等式两边同时乘以6，得到：，
解得：；
【小问2详解】
解：①，
不等式两边同时乘以2，得到：
解①得：，
②
解②得：，
不等式组的解集为：．
四、画图题（本题8分）
19. 如图，在平面坐标内，是的边上的一点，经过一次平移后点的对应点为．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）请你画出上述平移后的．
（2）经过一次平移后得到，平移的方向为______；平移的距离为______个单位长度．
（3）把绕点顺时针方向旋转后得到，请画出．
【答案】（1）见解析 （2）射线，
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平移变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案．
（2）根据作图以及勾股定理回答即可；
（3）根据旋转的性质解答即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所作，
【小问2详解】
解：由作图得，经过一次平移得到，平移方向为：射线，
平移的距离为，
故答案为：射线，；
【小问3详解】
解：如图，即为所画．
五、解答题（本大题包括5小题，其中第20题8分，第21题、22题各9分，第23题8分，第24题10分，共44分）
20. 如图，在中，，为延长线上一点，且交于点．

（1）求证：等腰三角形；
（2）连接，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形和直角三角形的性质、三角形的内角和定理外角性质，特别是30度角所对应的直角边是斜边的一半这个性质．
（1）先根据等角的余角相等推出，再利用对顶角相等进行等量代换可得，即可求证是等腰三角形；
（2）根据题意先分析角度，再利用30度角所对应的直角边是斜边的一半这个性质求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【小问2详解】
解：连接，如图，

∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 为了防控“新冠肺炎”疫情，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种8元/瓶，乙种12元/瓶．
（1）如果购买这两种消毒液共用1040元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？
（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍少4瓶，且所需费用不多于1200元，求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？
【答案】（1）甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶．
（2）甲种消毒液最多能再购买39瓶．
【解析】
【分析】（1）设甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，利用总价=单价×数量，结合购买两种消毒液100瓶共花费1040元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以再购进甲种消毒液m瓶，则再购进乙种消毒液（2m-4）瓶，利用总价=单价×数量，结合总价不多于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【小问1详解】
设甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，
依题意得：，
解得：．
答：甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶．
【小问2详解】
设可以再购进甲种消毒液m瓶，则再购进乙种消毒液（2m-4）瓶，
依题意得：8m+12（2m-4）≤1200，
解得：m≤39．
答：甲种消毒液最多能再购买39瓶．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22. 锦州市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买，两种物品．经过市场调查发现，今年每套型物品的价格6万元，每套型物品的价格万元，该市准备购买型物品50套，型物品若干套（超过200套）．
某供应商给出以下两种优惠方案：
方案一：“买一送一”，即购买一套型物品，赠送一套型物品；
方案二：“打折销售”，即购买型物品200套以上，超出200套的部分按原价打八折，型物品不打折．
（1）设购买型物品套，
选择方案一所需费用为万元，则与的关系式为______．
选择方案二所需费用为万元，则与的关系式为______．
（2）选择哪种方案更划算？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算
【解析】
【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键．
（1）根据题意，分别求出与的关系式为和与的关系式；
（2）分，及三种情况，可分别求出x的取值范围（或x的值），此题得解．
【小问1详解】
解：设购买B型物品套，则选择方案一所需费用与的关系式为；
选择方案二所需费用与的关系式为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：当时，
解得：，
又∵，
∴；
当时，
解得：；
当时，
解得：．
答：当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算．
23. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；
（3）若OB＝2，OC＝3，求AO长（直接写出结果）．
【答案】（1）60° （2），见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（2）将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定角度，得到△ADC，可知∠ADC=∠BOC=150°，即得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，故AD⊥OD；
（3）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
【小问1详解】
由旋转的性质得：，．
∴，即．
∵为等边三角形，∴．
∴．∴为等边三角形，．
【小问2详解】
．
由旋转的性质得，．
∵，∴．
即．
【小问3详解】
由旋转的性质得，AD=OB=2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AO=
=
=
【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．
24. 已知：和都是等腰直角三角形，．
【初步探索】
（1）如图1，摆放和时（点A、C、B在同一条直线上，点E在上），连接，线段与的数量关系是______，位置关系是______．（直接写出答案）
【拓展延伸】
（2）如图2，摆放和时，连接、，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【知识应用】
（3）如图3，摆放两块等腰直角三角板和，连接、．若有，试求的度数．
【答案】（1）相等，垂直；
（2）成立，理由见详解；
（3）．
【解析】
【分析】（1）延长交于点G，利用证明，得，再利用三角形内角和定理可得，即得出结论；
（2）由（1）同理可得，得，延长交于点O，交于点M，再利用三角形内角和定理可得，即得出结论；
（3）连接，同理得，得，再证明，则，从而解决问题．
【详解】（1）解：延长交于点G，
，
，
，
，
，
，
故答案为：相等，垂直；
（2）成立，理由如下：
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
延长交于点O，交于点M，
，
，
；
（3）连接，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．