辽宁省锦州市第四中学教育集团2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份辽宁省锦州市第四中学教育集团2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. 3.1415B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行判断，是有理数
【详解】解：是有理数，是无理数，是分数是有理数，3.1415是小数是有理数，
故选：．
【点睛】本题考查无理数的定义；能够准确辨识无理数是解题的关键．
2. 下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根，立方根定义，分别进行判断即可．
【详解】解：A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C正确；
D. 无意义，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根，解题关键是正确理解算术平方根与立方根的意义．
3. 下列函数中，正比例函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的识别，根据形如的是正比例函数，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 是正比例函数，故该选项正确，符合题意；
B. 不是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 不是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
D. 不是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．
5. 若点P是第三象限内的点，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（ ）
A. （﹣4，-3）B. （4，﹣3）C. （﹣3，-4）D. （3，﹣4）
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意得到P点横坐标为负，纵坐标为正，再根据到x轴的距离与到y轴的距离确定横纵坐标即可．
【详解】∵P在第三象限，
∴P点的横坐标为负，纵坐标为负，
又∵到x轴的距离是4，
∴纵坐标为-4，
∵到y轴的距离是3，
∴横坐标为-3，即P（-3，-4），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握其特点是解题的关键．
6. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，根据三角形内角和及即可判断A，根据勾股定理逆定理即可判断B，根据平方差公式及勾股定理逆定理即可判断C，根据三角形内角和及即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴为直角三角形，故A不符合题意；
∵，
∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意；
∵，
∴为直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴为直角三角形，故D不符合题意，
故选：B．
7. 若点都在一次函数图象上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法比较大小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而增减小．
由得y随着x的增大而减小，而，故．
【详解】解：∵，
∴y随着x的增大而减小，
∵，
∴，
故选：C．
8. 如图，长方形中，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为( )
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴；首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．
【详解】解：，，
点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，
点表示，
点表示的数为：
故选：A．
9. 在同一平面直角坐标系中，函数和图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象等知识点，明确题意、利用正比例函数和一次函数的性质是解题的关键．
根据正比例图象函数和一次函数图象的性质确定两函数a的取值范围，若矛盾则不符合题意，据此即可解答．
【分析】解：A．由函数得，与图像的矛盾，故本选项不符合题意；
B．函数所过象限错误，故本选项不符合题意；
C．函数所过象限错误，故本选项不符合题意；
D．由函数得，与图像的一致，故本选项符合题意．
故选：D．
10. 某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）之间的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，射线CD平行于x轴）．有下列说法：①从开始观察起，60天后该植物停止长高；②直线AC的函数表达式为；③观察第40天时，该植物的高度为14厘米：④该植物最高为15厘米．其中说法正确的是（ ）
A. ①②③B. ②④C. ②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；②设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC线段的解析式，③把x=40代入②的结论进行计算即可得解；④把x=50代入②的结论进行计算即可得解．
【详解】解：∵CD∥x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，故①的说法错误；
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵经过点A（0，6），B（30，12），
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y=x+6（0≤x≤50），故②的结论正确；
当x=40时，y=×40+6=14，
即第40天，该植物的高度为14厘米；故③的说法正确；
当x=50时，y=×50+6=16，
即该植物的高度为16厘米；故④的说法错误．
综上，正确是②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）
11. 27的立方根为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】找到立方等于27的数即可．
【详解】解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
12. 函数中自变量的取值范围是______________．
【答案】x＜4
【解析】
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，以及分母不等于0即可求解．
【详解】解：根据题意得4-x＞0，
解得x＜4．
故答案为：x＜4．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
13. 已知AB∥x轴，点A的坐标为（2，5），并且AB=6，则点B的坐标为_____．
【答案】（8，5）或（-4，5）
【解析】
【分析】由AB∥x轴可得A、B两点的纵坐标相等，由于点B关于点A的位置不明确，所以需要分类讨论，分别求出点B的坐标即可.
【详解】①当点B位于点A左侧时，点B的横坐标为2﹣6=﹣4，
∴B（﹣4，5）；
②当点B位于点A右侧时，点B的横坐标为2+6=8，
∴B（8，5）；
故答案为（8，5）或（﹣4，5）.
【点睛】本题主要考查直线与坐标轴平行时，直线上的点的坐标的特点，若直线平行于x轴，那么直线上的点的纵坐标相等，若直线平行于y轴，那么直线上的点的横坐标相等.
14. 直线与x轴的交点坐标是，则关于x的方程的解是_______．
【答案】
【解析】
【分析】考查了一次函数与坐标轴的交点坐标问题和方程解的定义，根据直线与x轴的交点坐标是，求得b，再把b代入方程，求解即可．
【详解】解：把代入，
得：，
把代入方程，
得：．
故答案为：．
15. 如图，直线过等腰三角形顶点B，其中点A到直线的距离是2，长，则点C到直线的距离是_______________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理和等腰直角三角形的性质，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键．
过点A作直线l交直线l于点D，点C作直线l交直线l于点E，证明，推出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作直线l交直线l于点D，点C作直线l交直线l于点E，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，，
∴
∵直线l，直线l
∴，
∴
则
∴
则
∵长，
∴设，
则
解得（负值舍去）
∵点A到直线l的距离是2，
∴
那么，
即
∴点C到直线l的距离是3，
故答案为：3．
16. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE 的最小值为______________
【答案】
【解析】
【分析】作点F关于AC对称点F′根据正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴,可得点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′，P为AC上的一个动点，PF=PF′，则PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值为EF′的长即可．
【详解】解：作点F关于AC对称点F′，
∵正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴，
∴点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′，
∵P为AC上的一个动点，
∴PF=PF′
则PF+PE=PF′+PE≥EF′，
PF+PE的最小值为EF′的长，
∵AB=4，AF=2，
∴AF′=AF=2，
∴EF′=．
【点睛】本题考查正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键．
三、解答题（共16分）
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式；
（2）先进行乘除运算，再进行加减计算；
（3）分别化简计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，二次根式，再进行加减计算即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式化简，再进行加减计算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：
【小问4详解】
解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键．
四、解答题（共两道题，18题6分，19题8分．共14分）
18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
（3）已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标．
【答案】（1）4 （2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质．
现在坐标系内描点，在顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
根据关于y轴对称的点的坐标关系，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得到答案．
由p为x轴正半轴上一点，的面积为1，可得，从而得到答案．
【小问1详解】
解：∵、、，
如图所示：
、、，
∴三角形面积为．
故答案为：4．
【小问2详解】
解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为，
故答案为：．
【小问3详解】
解：∵p为x轴上一点，的面积为1，即，
∴，
∴，
∵，点p的横坐标为：．
故点p坐标为：或．
19. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
（1）求的长．
（2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线．
【答案】（1）米
（2）再放出8米线
【解析】
【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解；
（2）根据勾股定理计算即可得到结论．
【小问1详解】
解：由题意得，，米，米，
在中，由勾股定理得，，
∴米，
则米；
【小问2详解】
解：如图，当风筝沿方向再上升12米时，
∴米，
中，由勾股定理得，，
∴米，
∴米，
∴他应该再放出8米线．
五、解答题（共两道题，20题6分，21题8分，共14分．）
20. 数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则．
（1）已知直线经过，两点，请直接写出______．
（2）如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）直接根据求解即可；
（2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可
【小问1详解】
解：∵A(2,3)，B(4,-2)，
∴k=，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)，
∴k1=，
∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)，
∴k1=，
∴k1k2=-2×=-1．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键．
21. 某校计划购买一批篆刻石料，已知两个商家的标价相同，但甲商家提出:若购买一张会员卡，则每块篆刻石料打七折；乙商家提出：每块篆刻石料按标价的九折出售．设购买篆刻石料的数量为块，则甲商家所需费用，乙商家所需费用，则函数图象如图所示．
（1）甲商家一张会员卡的价格为______________元，每块篆刻石料的标价为____________元，____________
（2）两个函数图象的交点的坐标为____________．
（3）若该校准备购买40块篆刻石料，则选择哪家商家比较合算？请说明理由．
（4）若本次够买篆刻石料的经费有元，则选择哪个商家购买的篆刻石料数量会更多？请说明理由．
【答案】（1）100；10；9
（2）
（3）选择乙商家比较合算；理由见解析
（4）选择甲商家购买的石料数量会更多
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，数形结合求出函数表达式是本题的关键．
（1）根据题意和图象，得出甲商家一张会员卡的价格为100元，根据甲商家所需费用，得出篆刻石料的标价为10元，根据题意得出乙商家所需费用，即可得出k的值；
（2）设点A的坐标为，分别代入两个函数，构成二元一次方程组，求解即可；两个函数在交点A处的横坐标和纵坐标分别相等，点A的实际意义据此作答即可；
（3）当时，分别计算和的值，结果较小的比较合算；
（4）分别计算当和时对应x的值并比较大小，据此作答即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知：甲商家所需费用，
∴甲商家一张会员卡的价格为100元，购买一张会员卡则每块石料打七折，则篆刻石料的标价为：（元），
∵乙商家提出每块石料按标价的九折出售，
∴，
∴．
故答案为：；10；．
【小问2详解】
解：设，则，
解得，
∴点A的坐标为．
故答案为：．
【小问3详解】
解：当时，，，
∵，
∴选择乙商家比较合算．
【小问4详解】
解：当时，，
解得；
当时，，
解得，
∵，
∴选择甲商家购买的石料数量会更多．
六、解答题(共两道题，22题8分，23题10分，共18分)
22. 如图所示，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B（﹣3，0），交y轴于点A（0，1），直线x=﹣1交AB于点D，P是直线x=﹣1上一动点，且在点D上方，设P（﹣1，n）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）点C是y轴上一点，当S△ABP=2时，△BPC是等腰三角形，
①满足条件的点C的个数是________个（直接写出结果）；
②当BP为等腰三角形的底边时，求点C的坐标．
【答案】（1）y=x+1；（2）n﹣1；（3）①3；②C（0，﹣1）
【解析】
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，用待定系数法求解；
（2）先表示出PD的长，然后根据△ABP的面积=△APD的面积+△BPD的面积=求解；
（3）①先根据S△ABP=2求出n，求出BP的长，然后可确定点C的位置；②设C(0，c)，根据PC=BC可求出c的值．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(0，1)，B(﹣3，0)代入，得
，
解得
，
∴；
（2）当x=-1时，，
∵P(﹣1，n)，
∴PD=，
∴△ABP的面积=△APD的面积+△BPD的面积
=
=
=；
（3）①由题意得=2，
解得n=2，
∴P(-1，2)，
PE=2，BE=3-1=2，
∴BP=，
∵，
∴BP≠OB，
①如图，以点P为顶点的等腰三角形有2个，以点C为顶点的等腰三角形有1个，所以满足条件的点C的个数是3个，
故答案为：3；
②设C(0，c)，
∵P(-1，2)，B(﹣3，0)，
∴PC2==，
BC2==，
当PC=BC时，
c2-4c+5= c2+9，
∴c=-1，
∴C(0，-1)．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法、勾股定理是解答本题的关键．
23. 在等腰直角．
（1）如图1，D，E是等腰直角斜边上两动点，且，将绕点A逆时针旋转得到，连接．
①求证：；
②当时，求的长．
（2）如图2，是等腰直角斜边所在直线上的一动点，连接，以为直角顶点作等腰直角，当时，则________________．
【答案】（1）①证明见解析；②
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质，用勾股定理解三角形等知识点．分类讨论的数学思想是解决本题的重要思路．
（1）①先证，再利用全等三角形的判定定理即可求证；
②证，进而在中利用勾股定理即可求解；
（2）分情况讨论点在线段，点在线段的延长线上，即可求解．
【小问1详解】
①证明：如图1中，

由题意得，，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
，，
，
，
在和中，
，
．
②解：如图1中，设，则．
∵，，
，
，
，
，
，
∴在中，，，
∴，解得，
∴．
【小问2详解】
解：当点在线段上时，如图2中所示，连接：

，
，
，
，
，
，
，
；
当点在线段的延长线上，如图3中所示，连接：

同法可证直角三角形，
，
，
故答案为：或．