辽宁省锦州市2024-2025学年八年级上学期数学10月月考试题（解析版）-A4

这是一份辽宁省锦州市2024-2025学年八年级上学期数学10月月考试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间80分钟；总分100分
※注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义、立方根的定义及绝对值的概念逐一判断即可．
【详解】解：A．，此选项计算错误；
B．，此选项计算错误；
C．，此选项计算错误；
D．，此选项计算正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查算术平方根的定义、立方根的定义及绝对值的概念，熟练掌握相关定义是解题的关键．
2. 下列各组长度的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A. 5，12，13B. 7，24，25C. ，3，4D. 2，3，4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，故是直角三角形，本选项不符合题意；
B、，故是直角三角形，本选项不符合题意；
C、，故是直角三角形，本选项不符合题意；
D、，故不是直角三角形，本选项符合题意；
故选：D．
3. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了格点三角形面积，根据图形得的面积等于正方形的面积减去个直角三角形的面积；掌握割补法求三角形的面积是解题的关键．
【详解】解：
；
故选：C．
4. 9的平方根是x，64的立方根是y，则的值为（ ）
A. 3B. 7C. 3或7D. 1或7
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根和立方根定义，求出的值，再进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴或；
故选D．
【点睛】本题考查求一个数的平方根，立方根．熟练掌握平方根和立方根的定义，正确的计算，是解题的关键．
5. 如图，一架梯子长度为，斜靠在一面竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端外移（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，设，然后可得，进而根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
设，则有，，
∴，即，
解得：（负根舍去），
∴梯子的底端外移；
故选A．
6. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（ ）尺．
A. 26B. 24C. 13D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答．
【详解】解：由题意可知：BC=×10=5（尺）
设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，
由勾股定理得：
解得：x=12，
∴这个水池的深度是12尺．
故选D．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息建立数学模型是解题的关键．
7. 如图，在数轴上表示实数的点可能是点（ ）
A. PB. QC. MD. N
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的定义先判断出的范围，然后根据数轴进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点可能表示．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的大小，确定出的范围是解题的关键．
8. 如图，已知，，，要在长方体上系一根绳子连接，绳子与交于点，当所用绳子最短时，的长为（ ）
A. 8B. C. 10D.
【答案】C
【解析】
【分析】将长方体的侧面展开图画出来，然后利用两点之间线段最短即可确定最短距离，再利用勾股定理即可求出最短距离．
【详解】将长方体的侧面展开，如图,此时AG最短
由题意可知
∴

∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查长方体的侧面展开图和勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
9. 小明同学先向北行进千米，然后向东进千米，再向北行进千米，最后又向东行进一定距离，此时小明离出发点的距离是10千米，小明最后向东行进了（ ）
A. 3千米B. 4千米
C. 5千米D. 6千米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画出图形，进而得出各边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】如图所示：由题意可得，AE＝10km，AF＝6km，
则在Rt△AFE中，
EF＝＝8（km），
∵BC＝4km，则DE＝8−4＝4（km），
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意画出图形是解题关键．
10. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 的相反数是____________，绝对值是____________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了实数的性质，相反数的定义，绝对值的意义，根据相反数的定义和绝对值的定义即可得答案，实数的相反数与有理数的相反数相同，实数的绝对值与有理数的绝对值相同．
【详解】解：的相反数是，
∵，
∴绝对值是，
故答案为：，．
12. 若二次根式有意义，则x的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
【详解】解：根据二次根式的意义得，
2x－2≥0，解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式的意义是解题的关键．
13. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，
∵点C是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
14. ，则x值为____________；9是____________的算术平方根．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查平方根与算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）根据算术平方根的定义求9的平方即可．
【详解】解∶(1)原方程变形得
则
(2)9是所求数算术平方根
则所求数为
故答案为：第一空：，第二空：
15. 在中，，，，点D为外一点，，，则、、、围成的四边形的面积为____________．
【答案】36或24##24或36
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可．注意分点B在外部与内部两种情况讨论．
【详解】解：中，，，，
，，
，
是直角三角形，
，
分两种情况，当点B在外部时，如图：
、、、围成的四边形的面积为：；
当点B在内部时，如图：
、、、围成的四边形的面积为：；
故答案为：36或24．
三、解答题（本大题共2小题，16题16分，17题8分，共24分）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键：
（1）根据多项式乘以多项式，二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）先进行分母有理数，再根据二次根式的混合运算法则计算；
（3）根据完全平方公式，平方差公式，二次根式的混合运算法则计算；
（4）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
17. （1）如图，在中，于点D，，，．
①____________，____________；②判断的形状，并说明理由．
（2）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
【答案】（1）①，，②为直角三角形，见解析；（2）旗杆的高度为12米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）①利用勾股定理即可求解；②利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）设旗杆高为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理构造方程求解即可．
【详解】解：（1）①∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：，
②为直角三角形．理由：
∵，，，
∴，
由勾股定理逆定理，为直角三角形．
（2）如图，设旗杆高为x米，则绳子长为米，
∵在中，米，，
∴，
解得，
∴旗杆的高度为12米．
四、解答题（本大题共5小题，18题6分，19题8分，20题6分，21题9分，22题12分，共41分）
18. 琪琪是一个爱动脑筋的孩子，她学完勾股定理后，又进行了深入的探究：
（1）如图，请观察图形找出与的关系：图1中，______；图2中，______．这样，我们就猜想出了钝角三角形和锐角形中三边之间的关系．
（2）请你直接应用发现的结论：当三边长分别为6，8，9时，为____三角形；当三边长分别为6，8，11时，为______三角形．
（3）请你根据琪琪的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c在什么范围内取值时，是锐角三角形、钝角三角形？

【答案】（1）＜；＞；（2）锐角，钝角；（3）， 是锐角三角形；，是钝角三角形．
【解析】
【分析】（1）以a、b、c为边长的正方形，计算出每个正方形的面积，比较大小即可得出结论．
（2）若 ，则锐角三角形；若 ，则为钝角三角形；依据这个结论进行判断．
（3）对第二小题结论的逆运用，结合三角形三边关系，计算不等式得出答案．
【详解】解：（1）图1中，可以看作是直角三角形的斜边，两条直角边都是2，根据勾股定理得出： ，边长为的正方形面积为： ；
边长为 的正方形面积是： ；
可以看作是直角三角形的斜边，两条直角边是2、5，根据勾股定理得出： ，边长为的正方形面积为：；
； ，
．
图2中，可以看作是直角三角形的斜边，两条直角边是1、2，根据勾股定理得出： ，边长为的正方形面积为： ；
可以看作是直角三角形的斜边，两条直角边都是2，根据勾股定理得出： ，边长为 的正方形面积是： ；
边长为的正方形面积为：；
；，
．
（2）在上一小题中我们发现，三角形最长的边为，
若 ，则为锐角三角形；
，是锐角三角形 ；
若，则为钝角三角形；
，是钝角三角形．
（3） 为最长边， ；
又三角形三边符合 ， ；
是锐角三角形， ，
将 代入， ， ， ；
的取值范围是：时，是锐角三角形；
是钝角三角形，则 ，
将 代入， ， ，
的取值范围是：时，是钝角三角形．
【点睛】本题考查了三角形第三边取值范围，非直角三角形三边关系，是对勾股定理知识的拓展探究；注意用三角形最长边的值和另外两边比较，这是得出正确结论的关键．
19. 在中，，，．回答下列问题：
（1）如图1，用尺规作图的方法作直线m交边于P，求线段的长．
（2）如图2，用尺规作图的方法作射线n交边于P，求线段的长．
【答案】（1）
（2）长为3
【解析】
【分析】（1）由作图轨迹可知，为线段的垂直平分线；设，则，轨迹即可求线段的长；
（2）由作图轨迹可知，为线段的角平分线，利用角平分线的性质可得，证明，再进一步即可求解．
【小问1详解】
解：连接，由作图可知，m垂直平分，则．
设，则．
在中，由勾股定理得
解得．
因此，长为．
【小问2详解】
解：过点P作于，由作图可知，平分，
又，则．
∵，，
∴．
∴，
中，由勾股定理得，
∴
中，设，则
由勾股定理得
解得．
因此，长为3．
【点睛】本题考查了基本作图，线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质．熟记相关结论是关键．
20. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：
以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简
（2）计算：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理化：
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）求出，据此把所求式子中的每一项分母有理化后隔项相消即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
∴
．
21. 综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）该飞镖状图案的面积是24
（3）
【解析】
【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，得出答案即可．
【小问1详解】
，且，
即，
则．
【小问2详解】
，
设，依题意有
，
解得，
．
故该飞镖状图案的面积是24．
【小问3详解】
将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，
由图得出，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出，再利用求出是解决问题的关键．
22. 已知：在中，，，点D在直线上，连接，在的右侧作，．

（1）如图1，①点D在边上，线段和线段的数量关系是____________，位置关系是____________；
②直接写出线段，，之间的数量关系____________．
（2）如图2，点D在B右侧．若，．求线段的长（写出必要的说明过程及计算步骤）．
（3）拓展延伸 如图3，，，，，请直接写出线段的长为____________．
【答案】（1）①，；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，
（1）①证，得，，则，即可得出；②由①得，，在中，由勾股定理得，即可得出结论；
（2）连接，证，得，则，再由勾股定理求解即可；
（3）过C作交于A，设与相交于点O，证，得，，则，再由勾股定理求出的长，即可求解；
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【小问1详解】
①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：，；
②由①得：，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
如图，连接，中，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理得，，
∴线段的长为；
【小问3详解】
过C作交于A，设与相交于点O，如图3所示，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．