辽宁省沈阳市第七中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份辽宁省沈阳市第七中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了 下列各组线段， 已知，则， 如图，，若，，，则等于等内容，欢迎下载使用。
1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照一元二方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
B．是二元二次方程，故选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故选项符合题意；
D．当时，化为一元一次方程，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A. 1、2、3、4B. 2、3、4、6
C. 1、、2、D. 、2、、3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查成比例线段，验证内项积是否等于外项积即可判断．
【详解】解：A：，不符合题意；
B：，符合题意；
C：，不符合题意；
D：，不符合题意；
故选：B
3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4. 不解方程，判断方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实根B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的知识点是根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：在方程中，，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
6. 如图，，若，，，则等于（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
即，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
8. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵点F在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比，根据题意，代值求解即可得到答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键．
【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得，
，
，
故选：A．
10. 如图，已知▱ABCD，AB＝2，AD＝6，将▱ABCD绕点A顺时针旋转得到▱AEFG，且点G落在对角线AC上，延长AB交EF于点H，则FH长为（ ）
A B. C. 5D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】先利用平行四边形的性质得到CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，再根据旋转的性质得到∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，接着证明△ADC∽△AEH，然后利用相似比求出EH，从而得到FH的长．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，
∵▱ABCD绕点A顺时针旋转得到▱AEFG，且点G落对角线AC上，
∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
而∠DAC＝∠HAE，
∴△ADC∽△AEH，
∴AD：AE＝DC：EH，即6：2＝2：EH，解得EH＝，
∴FH＝EF﹣EH＝6﹣．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转、三角形相似的判定利用三角形相似比求线段的长，根据旋转的性质得到∠DAG＝∠BAE，然后根据两组对应角分别相等的两三角形相似得出AD：AE＝DC：EH是本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11. 一元二次方程的根是________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先把方程化为，再解两个一次方程即可，掌握因式分解的方法解一元二次方程的解本题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴或，
解得：，；
故答案为：，
12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是___________．
【答案】且
【解析】
【分析】由题意得根的判别式大于等于0，即可得到关于m的不等式，同时结合二次项不为0，即可得到结果．
【详解】解：由题意，得：且，
解得：且；
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键．
13. 已知，且，则的值为______．
【答案】12
【解析】
【分析】直接利用已知用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．
【详解】解：∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x.
∵a+b-2c=9，
∴6x+5x−8x=9，
解得x=3，
∴c=12.
故答案为：12.
【点睛】此题主要考查了比例的性质，利用x正确表示出各数是解题关键．
14. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接相交于点E，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，勾股定理，根据题意可得，所以，进而可以解决问题．
【详解】解：根据题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
15. 图，中，，在BC的延长线上截取，连接AD，过点B作于点E，交AC于点F，连接DF，点P为射线BE上一个动点，若，，当与相似时，BP的长为__________．
【答案】或9
【解析】
【分析】先通过等腰三角形三线合一的性质得出BE垂直平分AD，可得，设，则，分别讨论当时，，当时，，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】，
，
BE垂直平分AD，
，
与相似，
或，
中，，，
，
，
，
设，则，
在中，
，
，解得，
，
在中，
，
当时，，
，即，
；
当时，，
，即，
；
综上，BP的长为或9，
故答案为：或9．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16. 解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），
【解析】
【分析】（）利用直接开平方法解答即可求解；
（）利用公式法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
小问1详解】
解：∵，
∴，
即或，
解得，；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
17. 由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
【答案】（1）这两次价格上调的平均增长率为；
（2）每包应该降价3元．
【解析】
【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x,利用经过两次上调价格后的价格=原价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元．
【小问1详解】
设这两次价格上调的平均增长率为x,
依题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：这两次价格上调的平均增长率为．
【小问2详解】
设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵要让顾客获得更大的优惠，
∴m的值为3．
答：每包应该降价3元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）15米 （2）不能，理由见详解
【解析】
【分析】（1）设边的长为米，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案；
（2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案．
【小问1详解】
解：设边的长为米，则米，
根据题意可得，
解得，，
∵墙的最大可用长度为30米，且当时，（米），不合题意，
∴米．
答：边的长为15米；
【小问2详解】
若羊圈的总面积能为440平方米，
则结合（1）可得 ，
整理，得 ，
∵，
∴羊圈的总面积不能为440平方米．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键．
19. 如图，在中，，．点，分别为边上的动点，动点以每秒10个单位长度的速度，沿路线向终点匀速运动，动点同时从点出发，在边上以每秒4个单位长度的速度向终点匀速运动．当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动时间为秒．

（1）______，______（用含的代数式表示）；
（2）当时，求时间的值；
（3）当时，请直接写出此时时间的值．
【答案】（1）或，
（2）
（3）或3
【解析】
【分析】（1）根据路程=速度×时间求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例列方程求解即可；
（3）分两种情况求解即可．
【小问1详解】
∵，动点以每秒10个单位长度的速度运动，
∴当点P在上时，．
当点P在上时，，
∵，动点以每秒4个单位长度的速度运动，
∴当点Q在上时，．
故答案为：或，；
【小问2详解】
∵，
∴．
∵，，，，
∴，
解得
【小问3详解】
当点P在上时，秒．
如图，作于点E，作于点F，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
在中，
∵，
∴，
解得，（不合题意，舍去）．

当点P运动到点C时，秒，
∵，
∴此时Q与E重合，即，即时，．
综上可知，当的值为或3时，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，以及一元二次方程的应用，分类讨论是解（3）的关键．
20. 如图，四边形和四边形都是矩形，三点在一直线上，连接并延长交边CD于点，．
（1）求证：①：②若，求的值．
（2）若，，请直接写出长
【答案】（1）①证明见解析；②；
（2）
【解析】
【分析】（）①证明即可求证；②证明可得，推出，进而得到，即可求解；
（）利用勾股定理得到，由求出，再根据即可求解；
本题考查了矩形的性质，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【小问1详解】
①证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②解：∵四边形、四边形都是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，