广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数z满足，则( )
A.B.C.D.
2．已知平面上的两个非零向量，满足，则( )
A.B.C.D.
3．函数在区间单调递减，则实数a取值范围是( )
A.B.C.D.
4．( )
A.B.C.D.1
5．已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为，则四棱锥的底面的边长为( )
A.B.6C.D.9
6．已知向量，，且，则( )
A.B.4C.D.8
7．已知，且，则的最大值为( )
A.9B.12C.36D.48
8．已知圆与x轴相交于A、B两点，且圆，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在正方体中，为的中点，F是正方形内部及边界上一点，则下列说法正确的是( )
A.平面平面
B.当时，点F的轨迹长度为
C.平面内存在一条直线与直线成角
D.将以边所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是
10．如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，为的中点，则下列命题中正确的是( )
A.平面
B.
C.直线与所成角的余弦值为
D.点A到平面的距离为
11．点A，B为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A.当，且AB为圆的直径时，面积的最大值为3
B.从点P向圆M引两条切线，切点分别为A，B，的最小值为
C.A，B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得
D.当时，的最大值为
三、填空题
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足则角________.
13．已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为________.
14．已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数k的取值范围是_________.
四、解答题
15．的内角的对边分别为，已知．
(1)求角B；
(2)若，的面积为，求b．
16．如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值
17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知直线l的方程为：.
(1)求证：不论m为何值，直线l必过定点M；
(2)过(1)中的点M引直线交坐标轴正半轴于A，B两点，求面积的最小值
参考答案
1．答案：B
解析：设
则，
又
得到，
所以，
所以，或，
得到，
所以
故选：B．
2．答案：B
解析：由
故，
则
又，故.
故选：B
3．答案：D
解析：当时，在上单调递减，满足题意；
当时，的对称轴为直线
由在上单调递减，
知
解得．
综上，a的取值范围为．
故选：D
4．答案：D
解析：
.
故选:D
5．答案：A
解析：如图四棱锥的底面四边形为正方形，高，
作截面（如下图）点F，点N分别为，的中点
点O为是正方形的中心也是圆柱底面圆的圆心
依题意可知，
所以
所以，
所以，
所以.
故选：A.
6．答案：A
解析：，
，
∵
∴，，
所以，
故选：A
7．答案：C
解析：设 QUOTE Ax1,y1 Ax1,y1与 QUOTE Bx2,y2 Bx2,y2为圆上一点，
则
得，，
即为等腰直角三角形，设M为的中点，
则，得，
即点M在以O为圆心，2为半径的圆上，
故
因为点M到定点距离的最大值为，
因此的最大值为36.
故选：C
8．答案：B
解析：圆的圆心，半径为r，
圆的圆心，半径为3，
因为圆C与圆D相外切
所以
所以，
且圆D与x轴交于
不妨记，
因为圆C关于y轴对称，点与点关于y轴对称
点在y轴上，
由对称性不妨令，
当时
则
解得，
故
，
当时，则，解得，
此时，
故，
当时，则，解得，
故
，
综上所述，的最大值为.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于A，连接，则,
又平面平面，故,
平面，故平面，
平面，故，同理，
平面，故平面，
平面，故平面平面，A正确；
对于B，取的中点为H，连接，
则平面，平面，故，
由于，故，
即点F在以H为圆心，半径为2的圆上运动，
结合题意知F轨迹为该圆在平面内的圆弧，如图圆弧，
则
则
故F轨迹长度为，B正确；
对于C，从正方体中分离出四棱锥，的中点为H，
平面
则，
则EF与平面所成角的最小值为
,
即，故平面内不存在一条直线与直线成角，C错误；
对于D，连接交于N，取的中点为M，
连接，则点的轨迹为平面内以N为圆心，为半径的圆，
又正方体性质知，由知，
而平面，故平面，
平面，故平面平面;
又平面平面，故，
结合，平面，
故平面，平面，
故，则，
设与圆的交点分别为，
当点位于处时，到平面的距离分别取到最大值和最小值，
最大值为，
最大值为，
故到平面的距离的取值范围是，D正确
故选：ABD
10．答案：BD
解析：取的中点O，连接，
因为为正三角形，O为的中点，则，
因为平面平面
平面平面，平面，
所以平面，
又因为四边形为正方形，以点O为原点
的方向为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
，，
对于A，，由图易知平面的一个法向量为，
因为，故与平面不平行，故A错误；
对于B，因为四边形为正方形，所以，
因为平面平面
平面平面，平面，
所以平面，又平面
所以，故B正确；
对于C，，，
所以直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，，
设平面的法向量为
则，
令，则，所以，
点A到平面的距离，故选项D正确；
故选：BD
11．答案：ABD
解析：对于A，当，且AB为圆的直径时，
此时，当AB垂直于x轴时，面积最大，
不妨取，则，A正确；
对于B，设，设交于N，
由圆的切线性质知
则，
故，当最大时，最小，
当位于时，最大
此时，
则，即的最小值为，B正确；
对于C，由B的分析可知当位于时
最大，此时，
即，则
故在直线l上不存在一点P，使得，C错误；
对于D，设D为AB的中点，则，
连接MD，则
则，
故点D在以M为圆心，为半径的圆上，结合，
可得的最大值为,
故的最大值为，D正确，
故选：ABD
12．答案：
解析：因为，
由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理可得，
因为，
所以.
故答案为：
13．答案：
解析：在棱长为2的正四面体中
由点M，N为棱BC，AD的中点
得，
由点E，F分别在线段AM，CN上，
令
则，
所以
又，
，
故
当时，
所以线段EF长度的最小值为.
故答案为：
14．答案：
解析：直线恒过点.
由得
表示以为圆心，2为半径的半圆，该半圆在直线的上方
当直线与半圆相切于点E时，直线方程可化为：，
根据圆心到直线的距离等于半径2得：
解得，
当直线过点时，，此时直线与曲线有两个公共点，
当直线过点时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点，
综上得，实数k的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意知
即，
由于，
故，即
结合，则；
(2)，，的面积为
则，则，
故
故.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接，交于点O，
由底面是正方形，可知O为的中点，
又是的中点
是的中位线，
，
又平面，平面，
平面.
(2)设
，
底面，底面，，
即是直角三角形
，
又E是的中点
，
同理可得，且，
平面，
平面，，
在直角中，，
，
又，二面角的平面角为，
.
二面角的平面角的余弦值为.
17．答案：(1)0.030
(2)84
解析：(1)由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1，
得，
所以.
(2)成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
则样本成绩的第75百分位数为
由，得，
所以样本成绩的第75百分位数为84.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）如图，取的中点O，连接，，
因为是边长为2的正三角形，所以，
在菱形中，，则为等边三角形，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以；
（2）由（1）得，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图，以点O为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.
因，则，，，.
设平面的法向量为，则有，
令，则，，所以，
因为，记直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)4
解析：(1)由
可得，
令
所以直线l过定点.
(2)由(1)知，直线恒过定点
由题意可设直线的方程为，
设直线与x轴，y轴正半轴交点为A，B，令
得；令，得，
所以面积
，
当且仅当，即时，面积最小值为4.