江苏省宿迁市2024-2025学年高二上学期11月期中调研数学试卷(含答案)

这是一份江苏省宿迁市2024-2025学年高二上学期11月期中调研数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．圆与圆的位置关系为( )
A.外离B.外切C.相交D.内切
3．已知点与点关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
4．设a为实数,若直线与平行,则它们之间的距离为( )
A.B.C.D.
5．已知椭圆的两个焦点分别为,,点在该椭圆上,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
6．椭圆C以双曲线的两个焦点为长轴的端点,以双曲线的顶点为焦点,则椭圆C的方程为( )
A.B.C.D.
7．过抛物线的焦点F的弦,其中点A在第一象限,若,则直线的斜率为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆的上顶点为A,过椭圆左焦点F且斜率为的直线交椭圆于B,C两点,则的周长为( )
A.10B.8C.D.
二、多项选择题
9．设m为实数,直线,点,,则下列说法正确的有( )
A.直线l过定点
B.若点M,N到直线l的距离相等,则
C.直线l与x轴一定相交
D.若直线l不过第二象限,则
10．设m为实数,方程表示圆,则下列说法正确的有( )
A.
B.若,则圆和两坐标轴均相切
C.若圆关于直线对称,则
D.无论m取任何实数,总存在一条定直线与圆相交
11．在平面直角坐标系中,过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,直线,分别交抛物线准线于C,D两点,则下列说法正确的有( )
A.轴
B.
C.以为直径的圆与抛物线准线恒相交
D.面积的最小值为
三、填空题
12．设a为实数,直线,,若,则a的值为________.
13．圆上有且只有2个点到直线的距离等于1,则半径r的取值范围为________.
14．如图1所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点.设,若双曲线:的左,右焦点分别为,,从发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C,D,,,则a的值为________.
四、解答题
15．已知的顶点,直线的方程为,边上的中线所在的直线方程为.
（1）求顶点A,C的坐标;
（2）求的面积.
16．设a为实数,圆M的方程为.
（1）若圆和圆M的公共弦长为,求的值;
（2）若过点的圆N与圆M相切,切点为,求圆N的标准方程.
17．已知动点到点的距离比到直线的距离小2,过P作圆的一条切线,为切点,过P作直线的垂线,垂足为B.
（1）求点P的轨迹方程;
（2）当P、A、B三点共线时,求线段的长;
（3）判断满足的点P有几个,并说明理由.
18．已知双曲线的右顶点为E,实轴长为4,过双曲线C的左焦点F作直线l,当直线l与x轴垂直时,直线l与双曲线C的两个交点分别为M,N,此时为等腰直角三角形.
（1）求双曲线C的方程;
（2）当直线l与双曲线C的渐近线平行时,求直线l与双曲线C的交点坐标;
（3）当直线l与双曲线C的左支交于A,B两点时,直线,分别交直线于P,Q两点,在x轴上是否存在定点D,使得点D始终在以线段为直径的圆上?若存在,求出D点坐标,否则,请说明理由.
19．已知椭圆过点,离心率为,左、右焦点分别为、,右顶点为B.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点D的直线m与椭圆C的另外一个交点为E,当的面积最大时,求直线m的方程;
（3）若点M,N是直线l上不同的两点,则向量以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量,当直线时,直线的方向向量称为直线l的法向量.设k、h为实数,直线的一个法向量为,H为直线l上任一点,点t为坐标平面内的定点,我们把称为点T在直线l上的投影数量.当l与椭圆C相切时,点、在直线l上的投影数量的乘积是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：由,可知直线斜率为,
所以,,
所以,
故选:A
2．答案：B
解析：因为圆的圆心为,半径为,
圆的圆心为,半径为,
,
所以两圆外切.
故选:B.
3．答案：A
解析：因为,所以,
又A,B的中点在直线l上,
所以直线l的方程为,即,
故选:A
4．答案：A
解析：由题意,,解得,
所以直线,即与直线间的距离为.
故选:A.
5．答案：C
解析：设椭圆的两个焦点为,,点,
则,,
,所以椭圆的离心率为.
故选:C.
6．答案：C
解析：由
可得其焦点坐标为:,顶点坐标
所以椭圆长轴端点坐标:,焦点坐标为,
所以椭圆方程为:,
故选:C
7．答案：D
解析：设,,
由,可得,即
,
设直线方程为:,
,,
,
故选:D
8．答案：B
解析：由椭圆方程可得,,则,
如图,取椭圆的右焦点,连接,,,,
则,即为正三角形,
又直线的斜率为,则直线的倾斜角为,即,
所以直线是线段的垂直平分线,
所以,,
所以的周长为
.
故选:B.
9．答案：AC
解析：由直线,可得,
当,,即,时,方程恒成立,
即直线过定点,故A正确;
当直线l与平行（或重合）或直线l过的中点时,点,到直线l的距离相等,
由,可知时,直线l为,与平行,符合题意,故B错误;
由直线可知,直线倾斜角不可能为0,所以一定与x轴相交,故C正确;
直线l不过第二象限,当时,直线方程为,满足题意,故D错误.
故选:AC
10．答案：ACD
解析：当方程表示圆时,,解得,故A正确;
若圆与轴相切,令,可得,由
解得,故B错误;
若圆关于直线对称,则直线过圆心,由可得,
圆心代入直线方程,可得,且此时满足,故C正确;
由C知,圆心为,即圆心在直线上,所以不论m取何值,都过圆心,与圆相交,故D正确.
故选:ACD.
11．答案：ABD
解析：由题意可知:抛物线的焦点,准线,
显然直线的斜率可以不存在,但不为0,此时直线与抛物线必相交,
设直线,
联立方程,消去x可得,
可得,.
对于选项A:可知直线,
令,可得,即,
所以轴,故A正确;
对于选项B:同理可得:,轴,
则,,可得,
所以,故B正确;
对于选项C:因为,
由梯形中位线可知:以为直径的圆的圆心到准线的距离为,
即圆心到准线的距离等于半径,所以以为直径的圆与抛物线准线恒相切,故C错误;
对于选项D:因为,
可得面积,
当且仅当时,等号成立,
所以面积的最小值为.
故选:ABD.
12．答案：
解析：对于直线和,根据两直线垂直的定理,则可得方程.
对进行求解.
.
故答案为:.
13．答案：
解析：圆心的圆心为,半径为,
圆心到直线的距离为,
因为圆上只有两个点到直线的距离等于1,
所以,即,解得.
故答案为:.
14．答案：3
解析：由,,则,,
设,,则,,
由双曲线定义得,,
,解得,
所以,,
在直角三角形中,,
则,即,又,
,解得.
故答案为:3.
15．答案：（1）,
（2）6
解析：（1）由已知,,
则,解得,即,
设,则中点,
又点C在直线上,点M在直线上,
即,解得,即;
（2）由（1）得,
点B到直线的距离,
则.
16．答案：（1）1或
（2）
解析：（1）由题知两圆相交,
将圆与圆相减可得,
即两圆公共弦所在直线方程,
圆心O到直线的距离为,
所以,解得或,
所以实数a的值为1或.
（2）将点代入圆,可得,
所以圆M的方程为,即,
所以圆M的圆心为,半径为,
设圆N的标准方程为,
因为圆N与圆M相切于点A,所以A、M、N三点共线,
所以直线的方程为,即,
将点代入得①,又点在圆N上,
则,即②,
由①②两式解得,,,,
所以圆N的标准方程为.
17．答案：（1）
（2）
（3）2个,;理由见解析
解析：（1）由题意可知,点P到点的距离等于点P到直线的距离,
所以,点P的轨迹是以点F为焦点,直线为准线的方程,
设其方程为,则,可得,所以,点P的轨迹方程为.
（2）由题意可知,当P、A、B三点共线时,因为点,直线的方程为,
联立,解得,此时,点,则,
因为,由勾股定理可得.
（3）因为,由题意可得,
化简可得,
联立,可得,,
故满足条件的点P有两个.
18．答案：（1）
（2）或.
（3）或
解析：（1）由题意得,解得,
所以双曲线C的方程为:.
（2）渐近线方程为,
当直线l与平行时,直线l的方程为:,
联立解得.
当直线l与平行时,直线l的方程为:,
联立解得,
所以直线l与双曲线C的交点坐标为或.
（3）因为双曲线C的渐近线方程为:,
显然当直线与x轴重合时,不合题意,故设的方程为,,,
直线的方程为:,
当时,,即P点坐标为,
直线的方程为:,
当时,,即Q点坐标为,
所以以为直径的圆方程为:,
当时,
联立,消去x得,其中,
,且,
所以,.
,
所以,
所以或.
所以x轴上存在定点或始终在以为直径的圆上.
19．答案：（1）
（2）
（3）是定值,且定值为1
解析：（1）由题意可得,解得,
因此,椭圆C的方程为.
（2）易知点,直线的斜率为,
则直线的方程为,即,
若的面积最大,则点E到直线的距离取最大值,
设点,其中,
则点E到直线的距离为,
因为,则,
故当时,即当时,d取最大值,此时点,
所以,直线m的斜率为,则直线m的方程为,
故当的面积最大时,直线m的方程为.
（3）若直线l的方程为,则该直线的斜率为k,该直线的一个方向向量为,
该直线的一个法向量为,
设直线l与椭圆相切于点,则,
首先证明椭圆在点T处的切线方程为,
联立可得,解得,
所以,椭圆在点T处的切线方程为,即,
所以,直线的一个法向量为,
,,
所以,点在直线l上的投影为,
点在直线l上的投影为,
所以,点、在直线l上的投影数量的乘积为.