长沙市第二十一中学2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份长沙市第二十一中学2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数的零点所在区间为( )
A.B.C.D.
2．下列函数中,满足“对任意,,当时,都有”的是( )
A.B.C.D.
3．已知,,,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．实数a,b,c,d满足:,则下列不等式不成立的是( )
A.B.C.D.
5．已知命题,,则是( )
A.,B.,.
C.,D.,.
6．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
7．有限集合S中元素的个数记作,设A,B都为有限集合,下列命题中是假命题的是( )
A.“”的充要条件是“"
B.“”的充要条件是“”
C.“”的必要不充分条件是“”
D.“”的充要条件是“”
8．下列命题正确的是( )
A.,,B.,使得
C.是的充要条件D.,则
三、填空题
9．已知函数的图像恒过定点A,且点A在函数的图像上,则________.
10．若“,使成立”为真命题,则实数m的取值范围是________.
11．已知,且.则________,________.
四、解答题
12．思考辨析
（1）所有的函数都有零点.
（2）若方程有两个不等实根,,则函数的零点为,.
（3）若函数在区间上有零点,则一定有.
13．已知表示非空集合A中的元素的个数.
（1）定义,若,,,设实数a的所有可能取值构成集合S,求的值;
（2）已知集合,对于M的子集N若存在不大于1000的正整数m,使得对于N中的任意一对元素,,都有,求的最大值.
14．计算下列各式的值:
（1）;
（2）.
15．（1）已知集合,试用列举法表示集合A;
（2）已知集合,试用列举法表示集合B.
16．已知命题,都有,命题,使,若命题p为真命题,命题q的否定为假命题,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：,在上都是单调增函数,故在上是单调增函数;
又,,
,;
故的零点所在区间为.
故选:C.
2．答案：A
解析：对任意、,当时,都有,
函数在上是减函数;
A、由反比例函数的性质知,此函数函数在上是减函数,故A正确;
B、由于,由二次函数的性质知,在上是减函数,
在上是增函数,故B不对;
C、由于,则由指数函数的单调性知,在上是增函数,故C不对;
D、根据对数的整数大于零得,函数的定义域为,由于,则由对数函数的单调性知,在上是增函数,故D不对;
故选A.
3．答案：B
解析：因为,,,
所以
所以的取值范围是,
故选:B
4．答案：C
解析：对A:因为,,所以,故A成立;
对B:因为,,所以,故B成立;
对C:令,,,,则满足,但,,所以不成立,即C不成立;
对D:因为,,所以,故D成立.
故选:C
5．答案：B
解析：根据全称命题的否定为特称命题,可得,
本题正确选项:B
6．答案：C
解析：由题可得.
故选:C.
7．答案：BCD
解析：由,则中元素个数为集合A,B的元素之和,即,充分性成立;
由,即中元素个数为集合A,B的元素之和,则,必要性成立,A对;
由,若,,但不成立,必要性不成立,B错;
由,若,,此时,故不是的必要条件,C错;
由,若,,但不成立,D错.
故选:BCD
8．答案：AD
解析: 对 A, ，时, , A正确;
对 B, 时, 对任意 ，，不成立, B 错;
对 C,，时满足 , 但此时，C错;
对D,, 则 ,则,D正确.
故选：AD.
9．答案：
解析：因为函数,令,即,,故函数过定点,又在函数上,所以,解得
故答案为:
10．答案：
解析：,使为真命题
则
解得
则实数的取值范围为
11．答案：80;64.
解析：因为,所以,所以,
可得,
由,知,
所以.
所以,,
故答案为:80;64.
12．答案：FFF
解析：（1）不是所有函数都有零点,例如没有零点,故（1）错误;
（2）函数的零点不是点,故（2）错误;
（3）若,在有零点,但,故（3）错误.
故答案为:F;F;F.
13．答案：（1）5
（2）1333.
解析：（1）,,,
中有1个或者3个元素,
当B中有1个元素时,有一个解,可得;
当B中有3个元素时,易知,有三个解,
其中的两个为:,,
当有一个解时,令,可得;
当有两个解且其中一个和0或者相等时,也满足条件,
此时,,显然,不等于0,
所以或,
解得或
综上所述,设实数a的所有可能取值为0,,,,3,
所以构成集合S元素个数为5,即
（2）集合,对于M的子集N若存在不大于1000的正整数m,使得对于N中的任意一对元素,,都有,可定义N具有性质P
那么集合一定具有性质P,
首先因为,任取,其中,
因为,所以,
从而,即,所以
由N具有性质P,可知存在不大于1000的正整数m,使得对于N中的任意一对元素,,都有,
从集合中任取一对元素,,
其中,,则有,
所以一定具有性质P,
设集合N中有k个元素,
任给,,则x与中必有一个不超过1000,
所以集合N与T中必有一个集合至少存在一半元素不超过1000,
不妨设集合N中有个元素,,…,不超过1000,
N具有性质P,可知存在正整数,
使得对于N中的任意一对元素,都有,
所以一定有,,…,,
又,
故,,…,,
即集合M中至少有t个元素不在子集N中,
因此,所以,解得,
当时,
取,则易知对集合N的任意一对元素,,都有
而此时集合N中有1333个元素,
因此的最大值1333
14．答案：（1）
（2）3
解析：（1）
（2）
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由,,知可为3,4,6,12,即x为0,1,3,9,
所以集合A用列举法表示为;
（2）因为且,所以,1,3,9,则相应y的值为4,3,2,1,
所以集合B用列举法表示为.
16．答案：
解析：因为为假命题,所以q为真命题,
命题,都有,为真命题,则,即
命题,使,为真命题,则,即
因为命题p、q同时为真命题,所以,解得,
故实数m的取值范围是.