河北省沧州市运东五校2025届高三上学期11月期中考试数学试题 含解析

这是一份河北省沧州市运东五校2025届高三上学期11月期中考试数学试题 含解析，共19页。试卷主要包含了 已知椭圆， 已知复数，，，则等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数为（ ）
A. 290B. 295C. 300D. 330
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数的定义计算即可.
【详解】将数据从小到大排序为：，
所以上四分位数第6个数与第7个数的中位数，为295.
故选:B.
2. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解.
【详解】若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增；
若单调递增，则，，或，，不能推出，
所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
3. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程，再由圆，求得圆心为，半径，利用直线与圆相切，即可求得，得到答案．
【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，
又由圆，可得圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，则，可得，
故选C．
【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量投影的概念运算求出，再利用向量数量积运算求得结果.
【详解】由题在上的投影向量为，
又，，即，
.
故选：A.
5. 冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，即可根据等腰三角形求解.
【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，，
因为，所以，
在中，由得，
故选：C
6. 2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（ ）
A. 18B. 24C. 36D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】分第一棒为丙、第一棒为甲或乙两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】当第一棒为丙时，排列方案有种；
当第一棒为甲或乙时，排列方案有种；
故不同的传递方案有种.
故选：B
7. 已知是三角形的一个内角，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式,可求的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简，即可计算得解．
【详解】因为，两边平方得，
即，可得，
因为是三角形的一个内角，且，所以，
所以，得，
又因为，，
联立解得：，，故有：，
从而有．
故选：B．
8. 已知椭圆：的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，先根据，得，，代入椭圆方程可得，进而解方程可得.
【详解】
如图，：的图象，则，，其中，
设，，则，
，，，
因，得，
故，得，
由得，
得即，得
由，得，又，，
化简得，又椭圆离心率，
所以，得
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，，则（ ）
A. B. 的实部依次成等比数列
C. D. 的虚部依次成等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意由复数乘除法分别将化简，再由复数加法、共轭复数的概念即可判断A；复数的实部、虚部以及等差数列、等比数列的概念即可判断BD，由复数模的运算即可判断C.
【详解】因为，，所以，所以，故A正确；
因为，，的实部分别为1，3，9，所以，，的实部依次成等比数列，故B正确；
因为，，的虚部分别为，，1，所以，，的虚部依次不成等差数列，故D错误；
，故C正确.
故选：ABC.
10. 已知函数的部分图象如图所示．则（ ）
A. 的图象关于中心对称
B. 在区间上单调递增
C. 函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
D. 将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意首先求出函数的表达式，对于A，直接代入检验即可；对于B，由复合函数单调性、正弦函数单调性判断即可；对于CD，直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可.
【详解】由图象可知，，解得，
又，所以，即，结合，可知，
所以函数的表达式为，
对于A，由于，即的图象关于中心对称，故A正确；
对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；
对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误；
对于D，将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故D正确.
故选：ABD.
11. 定义在R上的函数满足，，.若，记函数的最大值与最小值分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A. 为的一个周期B.
C. 若，则D. 在上单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合已知求得为的一个周期，从而A正确；将等式两侧对应函数分别求导，得，即可判断B正确；利用中心对称性质求值判断C正确；根据函数的性质判断D错误.
【详解】由，将x替换成，得．
因为，由上面两个式子，．
将x替换成，，所以．
所以，
所以为一个周期，A正确；
将等式两侧对应函数分别求导，
得，即成立，B正确；
满足，即函数图象关于点中心对称，
函数的最大值和最小值点一定存在关于点中心对称的对应关系，
所以，解得，C正确；
已知条件中函数没有单调性，无法判断在上是否单调递增，D错误.
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若集合，，，则的最小值为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】先求出集合，然后由，从而求解.
【详解】由，解得，所以，
因为，，所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
13. 甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故答案为：.
14. 已知实数，满足，，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】由可变形为，故考虑构造函数，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求.
【详解】因为，化简得．
所以，又，
构造函数，
因为函数，在上都为增函数，
所以函数在上为单调递增函数，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知函数
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）若直线是曲线的一条切线，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，根据正负可确定在上的单调性，由单调性可确定最值点并求得最值；
（2）设切点为，结合切线斜率可构造方程组求得和的值.
【小问1详解】
当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，，.
【小问2详解】
由题意知：，
设直线与相切于点，
则，消去得：，解得：，
则，解得：.
16. “村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､乡土味､欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
附：.
（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
【答案】（1）有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据男女生各50名及表中数据即可填写列联表，然后根据计算从而求解.
（2）根据题意可知的所有可能取值为，列出分布列，计算出期望从而求解.
【小问1详解】
依题意，列联表如下：
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为，
，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
【小问2详解】
依题意，的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
数学期.
17. 如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成.

（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正四棱锥与正四面体的性质得到多面体的棱长全相等，从而利用线面垂直的判定定理证得四点共面，再利用线面平行的判定定理即可得解；
（2）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角，从而得解.
【小问1详解】
分别取的中点，连接，
由题意可知多面体的棱长全相等，且四边形为正方形，
所以，
因为平面，
所以平面，同理平面.
又平面平面，所以四点共面.
又因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，

则，
所以.
设平面的一个法向量为n=x,y,z，则，即，
令，则，所以.
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为.
18. 已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交轴于.
（1）若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
（2）若点在曲线上，求四边形的面积的范围.
【答案】（1）证明见解析，定点
（2）
【解析】
【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合处的切线方程求得直线所过定点.
（2）先求得四边形面积的表达式，然后利用导数求得面积的取值范围.
【小问1详解】
设，直线，
联立，可得.
在轴两侧，，
，
由得，
所以点处的切线方程为，
整理得，
同理可求得点处的切线方程为，
由，可得，
又在直线上，.
直线过定点0,2.
【小问2详解】
由（1）可得在曲线上，
.
由（1）可知，
，
，
令在单调递增，
四边形的面积的范围为.
【点睛】
方法点睛：求解抛物线的切线方程，有两种方法，一种是利用判别式法，即设出切线的方程并与抛物线方程联立，化简后利用判别式为0列方程来求得切线方程；另一种是利用导数的方法，利用导数求得切线的斜率，进而求得切线方程.
19. 已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.
（1）若，求及；
（2）若，求证：互不相同；
（3）已知，若对任意的正整数都有或，求的值.
【答案】（1），.
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）观察数列，结合题意得到及；
（2）先得到，故，再由得到，从而证明出结论；
（3）由题意得或，令，得到或，当时得到，当时，考虑或两种情况，求出答案.
【小问1详解】
因为，所以，则；
【小问2详解】
依题意，
则有，
因此，
又因为，
所以
所以互不相同.
【小问3详解】
依题意
由或，知或.
令，可得或，对于成立，
故或.
①当时，
，
所以.
②当时，
或.
当时，由或，有，
同理，
所以.
当时，此时有，
令，可得或，即或.
令，可得或. 令，可得.
所以.
若，则令，可得，与矛盾.
所以有.
不妨设，
令，可得，因此.
令，则或.
故.
所以.
综上，时，.
时，.
时，.
【点睛】数列新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
20
女生
15
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
30
20
50
女生
15
35
50
合计
45
55
100
0
1
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3