福建省厦门市外国语学校湖里分校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

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（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡．
2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
3．可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确．）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．
2. 下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根与立方根，掌握求解算术平方根与立方根的方法是解本题的关键．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
不能化简，故D不符合题意；
故选C
3. 下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（ ）
A. B. C. ，，D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，只要验证两个小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
详解】A、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故符合题意；
故选：D．
4. 在中，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理，即可．
【详解】∵在中，，，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用．
5. 如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离．
【详解】解：∵，
∴，
∴可以表示平行线与之间的距离,
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的距离的定义，熟练掌握平行线的距离的定义是解题的关键．
6. 如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵纸条的对边平行，即，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握“平行四边形的对角相等”是解题的关键．
7. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（ ）

A. 48B. 36C. 24D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
故选：C．
8. 在中，，，，则点到边的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理以及三角形面积公式，利用勾股定理解得的值是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，然后利用面积法求得的值即可．
【详解】解：如下图，
由题意可得，，，，
则，
设点到边的距离为，
则有，即，
解得．
故选：A．
9. 如图，下列条件中，不能使成为菱形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，运用其判定定理逐一判断是解题的关键．
【详解】解：A、四边形是平行四边形，且，
是菱形，故不符合题意；
B、四边形是平行四边形，且，
是菱形，故不符合题意；
C、四边形是平行四边形，且，
是菱形，故不符合题意；
D、四边形是平行四边形，且，
是矩形，不能判定是菱形，故符合题意，
故选D．
10. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意可知，是直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，则，
∴，
∴小巷的宽为，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．
二．填空题：（第11题6分，其它4分，共26分）
11. 计算：（1）______（2）______（3）______
（4）______（5）______（6）______
【答案】 ①. 2 ②. ③. ④. ⑤. ⑥. 1
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式运算、运用平方差公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
（1）根据二次根式的性质求解即可；
（2）根据二次根式乘法运算法则求解即可；
（3）先将各数化为最简二次根式，然后相加即可；
（4）根据二次根式加减运算法则求解即可；
（5）先将化为最简二次根式，然后相减即可；
（6）根据平方差公式求解即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）
（4）；
（5）；
（6）．
故答案为：（1）2；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）1．
12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可求点到原点的距离．
【详解】解：点到原点的距离为：．
故答案为：．
13. “全等三角形的对应边相等”的逆命题是______．
【答案】对应边相等的两个三角形全等
【解析】
【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，即可得出结果．
【详解】解：“全等三角形的对应边相等”的逆命题是对应边相等的两个三角形全等；
故答案为：对应边相等的两个三角形全等
14. 已知 ，则代数式 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 如图，顺次连接四边形各边的中点，若得到的四边形为矩形，则四边形的对角线和一定满足______（用符号语言表示）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是利用三角形的中位线定理解答．首先根据三角形中位线定理知，所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【详解】解：∵点、分别为、的中点，
∴，
同理可证，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
当时，，
∴，
∴四边形矩形．
故答案为：．
16. 如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②是等边三角形；
③；④；其中正确的结论有______（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】由两组对边平行证明四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形，得出，则，由角平分线定义得出，则，证出，则，，即可判断结论①；由得出，由得出，则是等边三角形，即可判断结论②；由菱形的性质得出，，结合，则，即可判断结论③；由，，则，即可判断结论④．
详解】解：∵，，
∴四边形平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，结论①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，结论②正确；
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，故结论③错误；
∵，，
∴，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、角平分线定义、等边三角形的判定、含角直角三角形的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握菱形的性质与含角直角三角形的性质是解题关键．
三．解答题：（共9小题，共84分）
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）1 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算、运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
（1）先进行二次根式乘法运算，然后进行二次根式加法运算即可；
（2）先进行括号里面的运算，然后进行二次根式除法运算即可；
（3）首先利用完全平方公式进行运算，然后相加减即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先证明再结合已知条件可得答案．
【详解】解： 平行四边形ABCD，



【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“平行四边形的性质得到三角形全等的条件”是解本题的关键．
19. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=，点D在AB上，且BD=1，CD=2．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；
（2）利用勾股定理求解即可．
小问1详解】
证明：∵△BCD中，BD＝1，CD＝2，BC＝，
∴BD2＋CD2＝12＋22＝（）2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
【小问2详解】
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝4，DB＝1，
∴AD＝3，
∵CD＝2，
∴在中，AC＝，
∴AC的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
20. 在平静的湖面上，有一支红莲（AB），高出水面1m，一阵风吹来，红莲被吹到一边（即BC），花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为CD=2m，求水深.
【答案】水深为．
【解析】
【分析】设水深为h，则红莲的高h+1，因风吹花朵齐及水面，且水平距离为2m，那么水深h与水平2组成一个以h+1为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
中，，
设：，则，
由勾股定理得：，即=+，
∴解得：．
水深为．
【点睛】本题考查了的是勾股定理的应用．能够从实际问题中抽象出数学模型－直角三角形、熟练运用勾股定理列方程求解是解决此题的关键．
21. 小明在学习勾股数组知识后发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个分别可以写成，如，．
（1）请你再写出另外一组满足这个规律的勾股数组；
（2）判断：满足这个规律的数组都是勾股数组吗？说明理由．
【答案】（1）5，12，13
（2）都是勾股数组，见解析
【解析】
【分析】（1）确定一组正整数且满足勾股定理的逆定理，并且满足，的形式即可；
（2）证明即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵，
且，，，
∴，，是符合规律的一组勾股数；
【小问2详解】
满足这个规律的数组都是勾股数组．
理由：，
，
．
是勾股数．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的含义，勾股数的含义，熟记勾股定理的逆定理以及勾股数的含义是解本题的关键．
22. 如图，已知．
（1）尺规作图：作平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的平行四边形中，连接，交于点．
①若，，，求的长；
②过点作直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为33，则平行四边形的面积为多少（直接写出结果）．
【答案】（1）见详解 （2）①20；②66
【解析】
【分析】（1）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，作和相等的边即可，分别以、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可得到平行四边形；
（2）①利用勾股定理解得的值，然后结合“平行四边形对角线相互平分”的性质求解即可；②证明，，，易得，，，即可获得答案．
【小问1详解】
解：如下图，四边形即为所求；
【小问2详解】
①如下图，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②如下图，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可得，，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—复杂作图、勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的性质是解题关键．
23. 如图，在中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，求的长度．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，进而求出，则，在利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，则由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形,
∴, ，
∴
在中，∵，
∴，
∴，
∴
在中，由勾股定理得，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
24. 问题背景：如图1，在正方形中，边长为4．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点．
（1）探索发现：探索线段与的数量关系和位置关系，并证明；
（2）拓展提高：如图2，延长至，连接，若，求线段的长．
【答案】（1），且，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，结合正方形的性质证，得出，，再证即可；
（2）过点作于点，根据勾股定理求出，利用等面积法，求得，再利用勾股定理求得，由，可知，，即可由求得答案．
【小问1详解】
解：，且，
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且；
【小问2详解】
如图3，过点B作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练运用全等三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，且平分，，，满足关系式，．
（1）判断四边形的形状并证明你的结论；
（2）如图2，过点作于点，连接，求的值．
【答案】（1）平行四边形，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，的纵坐标相等得到，再利用题中条件得到，进而由平行四边形的判定即可得到答案；
（2）由（1）中得到，，进而判定是等腰，从而得到，结合，由两点之间距离公式求出，代值求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：平行四边形，
证明如下：
，，
轴，
，平分，
，则，即是等腰直角三角形，
，
，
，即、，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：由（1）可知，则，，
，，
在等腰中，，，则，
，
，，
．
【点睛】本题考查图形与坐标，涉及平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间距离公式等知识，灵活掌握相关几何性质，数形结合得到相关点的坐标是解决问题的关键．