2024年中考数学押题密卷广东省专用

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第一部分 选择题（共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）（2024•丰顺县一模）的绝对值是
A．2024B．C．D．
2．（3分）（2024•龙湖区校级一模）根据广东省教育考试院数据，2023年广东高考本科上线人数为33万人，参考人数73.9万人．数据“33万人”用科学记数法表示为（ ）
A．3.3×105 B．0.33×106
C．3.3×106D．33×104
3．（3分）（2024•宝安区二模）不等式的解集在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
4．（3分）（2024•宝安区二模）现有辆载重6吨的卡车运一批重吨的货物，若每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组
A．B．
C．D．
5．（3分）（2024•蓬江区一模）已知实数、，满足，，则
A．15B．49C．56D．64
6．（3分）（2024•黄埔区一模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
7．（3分）（2024•龙湖区校级一模）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如表：
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法中错误的是
A．调查了10户家庭的月用水量B．平均数是4.6
C．众数是4D．中位数是4.5
8．（3分）（2024•宝安区二模）如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，作轴于点，点为上任意一点，当时，与轴交点坐标为
A．B．C．D．
9．（3分）（2024•博罗县一模）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为
A．2B．C．D．
10．（3分）（2024•龙湖区校级一模）如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：
①；
②；
③；
④．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．①②③D．②③④
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，满分15分．
11．（3分）（2023•霞山区一模）分解因式： ．
12．（3分）（2024•龙湖区校级一模）如图，等腰的边在轴的负半轴上，点在第二象限且的面积为6．反比例函数的图象经过点，则的值是 ．
13．（3分）（2022•香洲区校级三模）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是 ．
14．（3分）（2024•增城区一模）如图，在平行四边形中，，，，点为线段的中点．动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点．点、同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为 ．
15．（3分）（2024•天河区一模）如图，平面直角坐标系中，与轴相切于点，作直径，函数的图象经过点，为轴上任意一点，则的面积为 ．
三、解答题：本大题共7小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（7分）（2024•增城区一模）如图，已知，平分．求证：．
17．（7分）（2024•南宁模拟）如图，在中，，点为中点，连接．
（1）作的平分线交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；
（2）若，求的度数．
18．（9分）（2024•石峰区一模）某课外小组做气体实验时，对一定质量气体的压强（单位：和体积（单位：进行了测量，测量结果如图所示．
（1）求函数解析式；
（2）当气体体积为时，压强是多少？
19．（9分）（2024•武侯区模拟）2024年成都世界园艺博览会于4月26日开幕，成都将向世界展示中华园艺文化的魅力和底蕴．某学校以此为契机，计划开展“遇见生态文明之美”研学活动．本次活动需租用客车，若单独租用30座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则可以少租4辆，且空余30个座位．已知每辆客车的租金情况如表所示：
（1）求该校参加研学活动的人数；
（2）该校计划租用以上两种车型的客车共10辆，当两种车型的客车分别租用多少辆时，总费用最少？
20．（9分）（2024•双流区模拟）2024年成都世界园艺博览会开幕在即，本届世园会将紧密围绕“公园城市，美好人居”的办会主题，坚持绿色低碳、节约持续、共享包容的理念，打造一届“时代特征、国际水平、中国元素、成都特色”的盛会．首次采取“1个主会场个分会场”模式，主会场所在地成都东部新区，集中呈现未来公园城市形态，成都市温江区、郫都区、新津区、邛崃市四个分会场分别突出川派盆景、花卉产业、农艺博览、生物多样性等特色，演绎人与自然和谐共生的生动图景．某旅游公司为了解游客对（新津区）、（温江区）、（郫都区）、（邛崃市）四个分会场的游览意向，在网上进行了调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的总人数有 万人，并将条形统计图补充完整；
（2）世园会执委会面向全市中小学生招募了一批“世园小记者”，届时会随机安排每位小记者去一个分会场进行采访．小颖和小明都被选中成为小记者，请用列表或画树状图的方法求出他们被安排往同一个分会场进行采访的概率．
21．（10分）（2024•滨海新区一模）在中，，为上一点，与相交于点．
（Ⅰ）如图①，为的直径，若，与相交于点，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，经过点，与相交于点，与相切于点，过点作弦，连接，，与相交于点，若，求的长．
22．（12分）（2024•湖北模拟）综合与实践：
【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形为正方形；
【实践探究】（2）小宇受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交于点，请探究线段，，之间的数量关系并说明理由；
【拓展迁移】（3）小阳深入研究小宇提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，请探究线段与的数量关系并说明理由．
23．（12分）（2024•南宁模拟）综合与实践
【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？
【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践：
步骤一：收集身高数据如下：
步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；
步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；
步骤四：如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳；
【问题解决】如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧．
①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶？
②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【答案】
【解答】解：的绝对值是2024．
故选：．
2．【答案】A
【解答】解：因为33万＝330000，
所以“33万”用科学记数法表示为3.3×105．
故选：A．
3．【答案】
【解答】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：．
在数轴上表示为：
故选：．
4．【答案】
【解答】解：根据每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物，可得，即，
根据每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物，可得，
得一元一次方程为或者方程组为，故选项符合题意．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：，
，，
．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．5与不能合并，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意．
故选：．
7．【解答】解：．调查月用水量的户数为（户，此选项正确；
．平均数是（吨，此选项正确；
．这组数据的众数为5，此选项错误；
．中位数是，此选项正确；
故选：．
8．【答案】
【解答】解：令，整理得：，解得，，
，，
轴于点，
，
，
，
，
直线解析式为，
，
过点平行于轴的直线为，
在反比例函数中，当时，，
，
设直线的解析式为，代入点坐标得：
，解得，
直线解析式为：，
当时，，
与轴交点坐标为．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：设点的坐标为，
点在抛物线的第一象限的图象上，
，
解得：（不合题意，舍去），，
，
点的坐标为，
，
四边形是正方形，
．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
；故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
；故②正确；
作于，设，，则，，
，，
，
，
，
又，
，
由，得：，即，
，
由，得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；故③正确，
设的面积为，
，
，，
的面积为，的面积为，
的面积的面积，
，故④错误，
故选：．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．
【解答】解：．
故答案为：．
12．【答案】．
【解答】解：根据三角形图形显示，，作轴，垂足为，
，轴，
，
，
的面积为6．
，
点在反比例函数图象上，
丨丨，
反比例函数图象在第二象限，
．
故答案为：．
13．【答案】．
【解答】解：过作于，于，
，，
斜坡的斜面坡度，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
答：古塔的高度是，
故答案为：．
14．【答案】．
【解答】解：连接，，延长，交于点，设，交于点，如图，
在平行四边形中，，，，点为线段的中点．
，，，
，
，
，
，
．
，
，
是等边三角形，
动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点，
．
，
，
，
，
，，
，，
，
，过点，
点是的外心，
，
点关于直线的对称点，
，
当点点运动到点时，点运动到点，此时与重合，则与点重合，
的运动轨迹为，
点的运动路径长为．
故答案为：．
15．【答案】5．
【解答】解：与轴相切于点，
轴，
连接，
轴，
．
故答案为：5．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．【答案】见解析．
【解答】证明：平分，
，
在和中，
，
．
17．【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】解：（1）如图，为所作；
（2），点为中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
18．【答案】（1）；
（2）当气体体积为 时，压强是．
【解答】解：（1）设函数的解析式为，
将点的坐标代入上式得：，
解得，
；
（2）当 时，
，
当气体体积为 时，压强是．
19．【答案】（1）420人；
（2）当租用2辆30座客车，8辆45座客车时，总费用最少．
【解答】解：（1）设需租用辆30座客车，则租用辆45座客车，
根据题意得：，
解得：，
（人．
答：该校参加研学活动的人数是420；
（2）设租用辆30座客车，则租用辆45座客车，
根据题意得：，
解得：．
设该校租用两种车型的客车所需租金为元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时（辆．
答：当租用2辆30座客车，8辆45座客车时，总费用最少．
20．【答案】（1）120；补全条形统计图见解答．
（2）．
【解答】解：（1）由扇形统计图知，所占的百分比为，
这次被调查的总人数有（万人）．
故答案为：120．
分会场的人数为（万人），
补全条形统计图如图所示．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中他们被安排往同一个分会场进行采访的结果有4种，
他们被安排往同一个分会场进行采访的概率为．
21．【答案】（Ⅰ），；
（Ⅱ）2．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，
，，
，
为的直径，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
；
（Ⅱ）如图②，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
．
22．【答案】（1）证明见解析；
（2），理由见解析；
（3）．理由见解析．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
又，，
，
，
四边形是正方形；
（2）解：，
理由：于点，于点，交于点，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
矩形是正方形，
；
（3）解：连接，如图，
四边形是正方形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
即．
23．【答案】（1）；
（2）①长绳能高过所有跳绳队员的头顶；
②最．
【解答】解：（1）以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．如图：
由已知可得，，在抛物线上，且抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）①，
抛物线的对称轴为直线，
5名同学，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，对称轴左侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，对称轴右侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，
当时，，
当时，，
长绳能高过所有跳绳队员的头顶；
②当时，，
解得或，
最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为，
当最右边的跳绳队员的横坐标为时，最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离，
最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为月用水量（吨
3
4
5
8
户数
2
3
4
1
车型
30座
45座
租金（元辆）
300
400
队员
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
身高
1.70
1.70
1.73
1.60
1.68
1.80
1.60