精品解析：北京市第十五中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

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1．本试卷共4页，四道大题．前三道大题共25道小题，满分100分．附加题满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在平面直角坐标系中，点（-1，-2）所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【详解】：∵点的横纵坐标均为负数，
∴点（-1，-2）所在的象限是第三象限，
故选C
2. 在实数，，3.1415，中，无理数是（ ）
A. B. C. 3.1415D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的定义：限不循环小数叫无理数，结合算术平方根的性质分析，即可得到答案．
【详解】是无理数，故选项A符合题意；
，是整数，属于有理数，故选项B不合题意；
是有限小数，属于有理数，故选项C不合题意；
是分数，属于有理数，故选项D不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数、算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的定义和算术平方根的性质，从而完成求解．
3. 若是方程的一个解，则的值为（ ）
A. 1B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将方程的解代入原方程中，解关于的一元一次方程即可求解．
【详解】解：将代入得：
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的概念，解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题的关键．
4. 下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 如果，，那么D. 负数没有平方根
【答案】A
【解析】
【分析】本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可．
【详解】A、如果两个角相等，那么它们是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等，这两个角不是对顶角，故A是假命题，符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，故B是真命题，不符合题意；
C、如果，那么，故C是真命题，不符合题意；
D、负数没有平方根，故D是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例．
5. 如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴．根据数轴上被覆盖的数在3与4之间，估算出各个选项中的无理数在哪两个整数之间逐项进行判断即可．
【详解】解：根据数轴可知，被覆盖的数在3与4之间；
A、，不在3与4之间，故本选项不符合题意；
B、，不在3与4之间，故本选项不符合题意；
C、，在3与4之间，故本选项符合题意；
D、，不在3与4之间，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. 下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根和立方根的性质，即可．
【详解】∵，
∴，
∴A错误，不符合题意；
∵，
∴B正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴C错误，不符合题意；
D、，
∴D错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平方根和立方根的知识，解题的关键是掌握平方根和立方根的性质．
7. 如图，纸片的边缘，互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点，处.若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质和折叠的性质，根据平行可得到的值，再根据折叠后，即可求得的度数．
【详解】解：，，
，
，
由折叠得：
，
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转90°的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第2023秒时点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：第1秒时，，此时在轴的负半轴上，，
第2秒时，，此时在轴的负半轴上，，
第3秒时，，此时在轴的正半轴上，，
第4秒时，，此时在轴的正半轴上，，
第5秒时，，此时在轴的负半轴上，，
第6秒时，，此时在轴的负半轴上，，
第7秒时，，此时在轴的正半轴上，，
第8秒时，，此时在轴的正半轴上，，
即点的坐标每8秒一个循环，
∴第2023秒时，，此时在轴的正半轴上，，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
10. 若，则_____________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，代数式求值．熟练掌握算术平方根的非负性，代数式求值是解题的关键．
由题意知，，求的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：0．
11. 如图，直线与相交于点O，若，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了邻补角的性质，对顶角相等．熟练掌握邻补角的和为，对顶角相等是解题的关键．
由题意知，，由，可求，根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴，
故答案：．
12. 在平面直角坐标系中，已知点P在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，写出一个符合条件的点P的坐标：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意得．
【详解】解：∵知点P在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，
∴．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握各个象限点的坐标特征．
13. 北京中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，全长7.8千米．如图是利用平面直角坐标系画出的中轴线及其沿线部分地点分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示天安门的点的坐标为，表示王府井的点的坐标为，则表示永定门的点的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意建立坐标系，即可求解．
【详解】解，根据题意建立如下坐标系，

∴表示永定门的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形与坐标，正确建立坐标系是解题的关键．
14. 如图，一块边长为10米的正方形花园，在上面修了一条道路，路的宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是______平方米．

【答案】81
【解析】
【分析】可以根据平移的性质，种植花草的面积相当于一条边长为米的正方形面积，据此求解即可．
【详解】解：由平移的性质可知，种植花草的面积相当于一条边长为米的正方形面积，

∴种植花草的面积（平方米） ．
故答案为：81．
【点睛】本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至正方形的边上，使种植花草的面积等于一个正方形的面积是解决此题的关键．
15. 已知点O为直线上一点，，于点O，平分，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了邻补角，角平分线．根据题意分类讨论是解题的关键．
由题意知，分在上方，在下方两种情况求解；当在上方时，如图1，则，由平分，可得，计算求解即可；当在下方时，如图2，同理计算求解即可．
【详解】解：由题意知，分在上方，在下方两种情况求解；
当上方时，如图1，
图1
由题意知，，
∵平分，
∴；
当在下方时，如图2，
图2
由题意知，，
∴，
∵平分，
∴；
综上所述，为或；
故答案为：或．
16. 小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______．
【答案】36
【解析】
【分析】根据题意得，只有第一天和第三天选择“高强度”，计算出此时的距离即可．
【详解】解：如果第二天和第三天选择低强度，则距离6+6=12（km），
如果第三天选择高强度，则第二天休息，则距离为15km，
∵128，
∴第四天和第五天选择低强度，
为保持最远距离，则第一天为高强度，
∴最远距离为12+0+15+5+4=36（km）
故答案为36．
【点睛】本题考查了有理数的加法应用，解题的关键是理解题意并掌握有理数的加法．
三、解答题（共68分，第17题5分，第18、19题每题10分，第20题5分，第21题8分，第22、23题每题7分，第24、25题每题8分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了立方根、平方根、化简绝对值，先根据立方根、平方根、绝对值进行化简，再进行加减运算，即可作答．
【详解】解：
．
18. 求下列各式中的x的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程：
（1）先移项，方程两边同时开平方，即可求解；
（2）先移项，方程两边同时开立方，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
19 解方程组：(1) (2)
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1），
由②得：x=2y③，
把③代入①得：4y+y=5，即y=1，
把y=1代入③得：x=2，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×2+②得：11x=22，即x=2，
把x=2代入①得：y=3，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，解题关键是先化简，并运用代入法、加减消元法解方程组.
20. 如图，已知点P在的边上．

（1）过点P作边的垂线l；
（2）过点P作边的垂线段；
（3）过点O作的平行线交l于点E，比较三条线段的大小，并用“>”连接得 ，得此结论的依据是 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），垂线段最短
【解析】
【分析】此题考查了垂直的定义，垂线段最短的性质，
（1）根据垂直的定义作图即可；
（2）根据垂直的定义作图即可；
（3）根据垂线段最短判断三条线段的大小即可．
【小问1详解】
如图，直线l即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
过点O作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
理由是：垂线段最短．
21. 补全下列推理过程：
如图，已知，求．
解：（已知）
（_______）
又（已知）
（_______）
（_______）
（_______）
（已知）

【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质和判定条件结合已知推理过程进行推理求解即可．
【详解】解：解：（已知）
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
（已知）
．
故答案为；；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
22. 在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）将三角形向右平移4个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到三角形．画出平移后的三角形；
（3）计算三角形的面积是 ；
（4）已知点在y轴上，且三角形ACP的面积为3，直接写出P点的坐标为 ．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）6 （4）或
【解析】
【分析】本题主要考查了作图平移变换，点的坐标的特征，三角形的面积等知识，准确画出图形是解题的关键．
（1）根据点的坐标，即可确定原点位置，从而画出坐标系；
（2）根据平移的性质可画出△；
（3）将作为底，可直接代入三角形的面积公式得出答案．
（4）设，根据面积公式得到关于的绝对值方程，求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴将点A向右平移3个单位，向下平移2个单位，即得到原点，
如图，即为所求：
【小问2详解】
解：如图△即为所求：
【小问3详解】
解：，
故答案为：6．
【小问4详解】
解：设，
则，
解得：或，
∴点P坐标为或，
故答案为：或．
23. 如图，∠1＝∠EAB，∠E＋∠2＝180°．
（1）判断EF与AC的位置关系，并证明；
（2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数．

【答案】（1）EF∥AC，证明见解析；（2）∠BCD=60°
【解析】
【分析】（1）由∠1=∠EAB可得AE∥DC，从而得到∠2=∠EAC，再结合∠E+∠2=180°，可得EF∥AC；
（2）由（1）可得EF∥AC，则有BC⊥AC，可得∠ACB=90°，再结合AC平分∠EAB，∠EAB=60°，可求得∠2=30°，则可求∠BCD的度数．
【详解】解：（1）EF∥AC，
证明：∵∠1=∠EAB，
∴AE∥DC，
∴∠2=∠EAC，
∵∠E+∠2=180°，
∴∠E+∠EAC=180°，
∴EF∥AC；
（2）由（1）得EF∥AC，
∵BF⊥EF，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠EAB，∠EAB=60°，
∴∠EAC=30°，
∵由（1）可知AE∥DC，
∴∠2=∠EAC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠2=90°-30°=60°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与应用．
24. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有可能．
【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【解析】
【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．
(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．
【详解】(1)设每头牛x银两,每只羊y银两．
解得:
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
(2)设买牛a头,买羊b只．
3a+2b=19,即．
解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买羊8只．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
25. 在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，则_________；
（2）如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系______________（不用证明）；
（3）在图②的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）的值不发生变化，
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质求出，根据平角定义求出进而求出；
（2）过点F作，再根据平行线的性质推出，最后求；
（3）如图，，，根据角平分线定义表示出，然后根据（2）的结论，求出即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
；
故答案为：80；
【小问2详解】
解：过点F作，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
解：的值不发生变化．
，
， ，
平分，平分，

，
，
由（2）知，

所以，的值不发生变化，．
【点睛】本题是一道平行线的性质和判定综合题，考查了平行公理的推论，角平分线定义，构造平行线是解本题的关键．
附加题（共10分，第1题4分，第2题6分）
26. 对有序数对定义“运算”：，其中、为常数．运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点规定“变换”：点在F变换下的对应点即为坐标为的点．
（1）当，时，________________；
（2）若点在“F变换”下的对应点是，求、的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查新定义运算，点的坐标，二元一次方程组的应用；
（1）根据“运算”的定义计算即可；
（2）根据“运算”的定义列出方程组即可解决问题．
【小问1详解】
解：
故答案为：．
【小问2详解】
解：依题意，
∴ −
27. 在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．
已知：如图，．
（1）若点C的坐标为，则A，B，C三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”__________；
（2）点P在x轴上，若A，B，P三点的“矩面积”为10，则点P的坐标为_______；
（3）点，
①若A，B，M三点的“矩面积”为8，直接写出满足题意的m的最大值；
②若，直接写出A，B，M三点的“矩面积”S的取值范围．
【答案】（1）15 （2）或
（3）①； ②
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积以及不等式组的解法，属于新定义题型，题解题意，注意分类讨论是解题的关键．
（1）由直接求解；
（2）由“矩面积”为10求得，然后分类讨论：当时，；当时，，分别求解即可；
（3）①由题意得：，则得到不等式组，解之即可求出最值；
②当时，确定出，即可求出的取值范围．
【小问1详解】
解：，
故答案为：15．
【小问2详解】
解：由题意得：，
∵，，
∴
则当时，，解得，
当时，，解得，
∴或，
故答案为：或．
【小问3详解】
解：①由题意得：，
∴，
解得：，
∴m的最大值为；
②当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
日期
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
低强度
8
6
6
5
4
高强度
12
13
15
12
8
休息
0
0
0
0
0