模型13 关联速度问题—高考物理热点模型突破训练

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01 模型概述
1．模型定义：两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上，两物体的速度是关联的．
2．模型特点：
①与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
②沿绳(杆)方向的速度相等
2. 处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度．
物体的实际速度一定是合速度，把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.
3. 常见的速度分解模型
02 典题攻破
1. 绳关联速度问题
【典型题1】（23-24高一下·广东·期末）2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓意鱼跃龙门好运连连。如图所示，图甲为表演者的照片，图乙为简化示意图，工作人员A以速度v沿直线水平向左匀速拉轻绳，表演者B在空中升起，则在此过程中（ ）
A．表演者B匀加速上升
B．表演者B匀减速上升
C．当时，A与B的速度大小之比为
D．当时，A与B的速度大小之比为
【答案】D
【详解】AB．根据沿绳方向速度大小相等可知
工作人员A以速度v沿直线水平向左匀速拉轻绳，角变小，则变大，表演者B向上做加速运动，当趋近于时，表演者B的速度趋近于，表演者B的加速度趋近于零，故表演者B变加速上升，故AB错误；
C．当时，A与B的速度大小之比为
故C错误；
D．当时，A与B的速度大小之比为
故D正确。
故选D。
2. 杆关联速度问题
【典型题2】（23-24高二下·山东青岛·期末）（多选）如图，a、b两小球分别固定在长为5m的轻质细杆两端，a球置于粗糙水平面上，b球紧靠在光滑竖直墙壁上，初始时轻杆竖直。现对a球施加微小扰动，使a球沿水平面向右滑行，直到b球到达水平面，在该过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球a的速度先增大后减小
B．小球a受到水平面的摩擦力逐渐减小
C．当b球到达水平面时，a球的速度达到最大
D．当a球距离墙角3m时，a、b两球速率之比为4∶3
【答案】ABD
【详解】AC．设杆与竖直方向夹角为，下落过程中两球沿杆方向的速度大小相等，如图
可得b球到达水平面时，沿杆方向的速度为零，故a球的速度为零。所以小球a的速度先增大后减小。故A正确；C错误；
B．开始下滑加速度较小，轻微失重，导致摩擦力减小，致使下滑加速度增大，导致失重增大，所以系统对地面的压力减小，根据
可知小球a受到水平面的摩擦力逐渐减小。故B正确；
D．当a球距离墙角3m时，此时杆与竖直方向的夹角为，
联立，可得
故D正确。
故选ABD。
03 针对训练
1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，质量为m的物体通过一根跨过光滑定滑轮的轻绳与汽车相连，汽车以速度 v向右做匀速直线运动，细绳与水平面间夹角为θ，下列说法正确的是（ ）
A．物体做匀加速直线运动B．物体的速度大小为
C．物体做加速运动且速度小于车的速度D．绳子的拉力等于 mg
【答案】C
【详解】将汽车的速度分解为沿细绳方向的速度和垂直细绳方向的速度，则物体的速度大小为
则当汽车以速度 v向右做匀速直线运动时，细绳与水平面间夹角θ减小，物体的速度变大，即物体做变加速运动，其速度小于车的速度，物体的加速度向上，处于超重状态，则绳子的拉力大于mg，故选项C正确，ABD错误。
故选C。
2．（23-24高一下·宁夏银川·期中）如图所示，鼓楼南街一安装工人正在把一块广告牌推起，已知广告牌的长度为，该工人的双手与广告牌的接触位置始终不变，当工人的手距地面高为时，广告牌与地面的夹角为，该工人的手以的速度水平向左推动广告牌，则广告牌转动的角速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因手与广告牌接触位置始终不变，故接触点做圆周运动，人手水平向左的速度分解垂直广告牌的速度和沿广告牌向下的速度，如图所示
则有
此时手推广告牌的位置到点的距离
由线速度与角速度的关系公式，可得角速度
故选D。
3．（23-24高一下·四川南充·期中）如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，在外力作用下A沿杆以速度匀速上升经过、，经过点时绳与竖直杆间的角度为，经过点时A与定滑轮的连线处于水平方向，则（ ）
A．经过点时，B的速度方向向下
B．经过点时，B的速度等于
C．当A从至的过程中，B处于失重状态
D．当A从至的过程中，B受到的拉力大于重力
【答案】D
【详解】AB．将A的速度分解为沿绳子分速度和垂直绳子分速度，如图所示
其中等于B的速度，则A经过点时，B的速度为
当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，，所以B的速度，故AB错误；
CD．设绳子与竖直方向的夹角为，则有
当A匀速上升时，夹角增大，因此B做向下减速运动，加速度方向向上，处于超重状态，由牛顿第二定律可知，绳对B的拉力大于B的重力，故C错误，D正确。
故选D。
4．（23-24高一下·云南楚雄·期末）如图所示，物块甲套在固定光滑的细直杆上，杆与水平方向的夹角为，轻质细线跨过光滑定滑轮，两端分别与质量相同的物块甲、乙相连，乙悬在空中，此时与甲连接的细线水平，细线不松弛。现让甲从A点由静止释放，当甲运动到点时，与甲连接的细线正好与杆垂直，关于甲从A点运动到点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．乙向上运动
B．乙先做加速运动后做减速运动
C．乙一直做加速运动
D．甲先做加速运动后做减速运动
【答案】B
【详解】A．在甲从A点运动到点的过程中，滑轮与甲之间的细线变短，则滑轮与乙之间的细线变长，乙向下运动，故A错误；
BC．甲在A点时，甲、乙的速度为0，甲在点时，甲的速度与细线垂直，甲沿绳的分速度为0，即乙的速度为0，则在甲从A点运动到点的过程中，乙的速度先增大后减小，故B正确，C错误；
D．甲在从A点运动到点的过程中，对甲分析，甲受到的合力的方向一直沿杆向下，故甲一直做加速运动，故D错误。
故选B。
5．（23-24高一下·山西长治·期末）如图甲所示是公园里常见的一种叫作“椭圆机”的健身器材，深受人们的喜爱。每边由、、三根连杆以及连杆上的踏板P组成。锻炼者的脚放到踏板P上，双手握住手柄，可通过手脚一起发力驱动装置转动起来，如图乙所示为“椭圆机”某一时刻所处状态，连杆与地面平行且与连杆的夹角为。该时刻连杆沿着竖直方向，正在顺时针转动，已知连杆的长度为，的长度为且其绕转动的角速度为，则此时连杆绕转动的角速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】连杆的长度为，的长度为则点的线速度
则点的线速度沿方向的分量为
则
该时刻连杆的角速度为
故选D。
6．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）（多选）如图所示，一辆卡车利用跨过光滑定滑轮的轻质不可伸长的缆绳提升一箱货物，货箱质量为M，货物质量为m，卡车以速度v向左匀速直线运动，货物被提升高度为h时，绳与水平方向成θ角，下列说法正确的是（ ）
A．此时货物向上运动的速度等于vcsθ
B．此时箱中的货物对箱底的压力大于mg
C．此时缆绳拉力的功率大于(M+m)gvcsθ
D．提升货物过程中缆绳拉力做的功为(M+m)gh
【答案】ABC
【详解】A．将车的速度沿着绳和垂直于绳正交分解，此时货物向上运动的速度等于vcsθ，A正确；
B．随着的θ减小，csθ增大，货物加速上升，加速度向上，货物受到的支持力大于重力，根据牛顿第三定律，此时箱中的货物对箱底的压力大于mg，B正确；
C．此时货箱加速上升，缆绳的拉力大于(M+m)g，缆绳拉力的功率大于(M+m)gvcsθ，C正确；
D．提升货物过程中缆绳的拉力大于(M+m)g，缆绳拉力做的功大于(M+m)gh，D错误。
故选ABC。
7．（23-24高一下·广东佛山·期末）（多选）如图所示，为了将横放在水平地面的钢管直立起来，工人控制起重机，使横梁上的电机水平移动，同时以速度v匀速收短牵引绳，使钢管绕定点O转动，绳始终保持竖直且与钢管在同一竖直面内，钢管长为L，以下说法正确的是（ ）
A．当钢管与地面夹角为时，钢管顶端的速度水平向左
B．当钢管与地面夹角为时，电机水平移动速度为
C．钢管在转动过程中角速度大小不变
D．钢管在转动过程中重力的瞬时功率不变
【答案】BD
【详解】ABC．根据
当钢管与地面夹角为时，钢管顶端的做圆周运动，速度方向与杆垂直，且，
则钢管在转动过程中角速度大小发变化，根据
故电机水平移动速度为
故AC错误，B正确；
D．钢管在转动过程中重力的瞬时功率为重力与竖直速度的乘积，则
故钢管在转动过程中重力的瞬时功率不变，故D正确。
故选BD。
8．（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）（多选）如图所示，O点为足够长的光滑水平面与光滑竖直墙面的交点，长为3l的轻直刚性杆两端分别用光滑铰链连接一可视为质点且完全相同的小球甲和乙。现让小球乙静止于O点，使小球甲从墙面上距水平面高度为3l的a点由静止开始无初速度下滑。已知墙面上沿竖直方向的各点间距ab=bc=cO=l，重力加速度为g，不计空气阻力，则在小球甲从a点运动到O点过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球甲的最大速度为
B．小球甲的最大速度为
C．小球甲运动到b点时，小球乙的速度为
D．小球甲运动到c点时，小球乙的速度为
【答案】BC
【详解】AB．由分析知，当小球甲运动到O点时，小球乙的速度为零，此时小球甲的速度最大，设其最大速度为v甲，根据机械能守恒定律有
解得
故A错误，B正确；
C．小球甲运动到b点时，设小球乙的速度为v2时，对应的小球甲的速度大小为v1，杆与竖直方向的夹角为，对小球甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律可得

其中，
解得
小球甲运动到b点时，小球乙的速度等于 ，选项C正确；
D．小球甲运动到c点时，设小球乙的速度为v4时，对应的小球甲的速度大小为v3，杆与竖直方向的夹角为，对小球甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律可得

其中，
解得
选项D错误。
故选BC。
9．（23-24高一下·陕西汉中·期末）（多选）如图，ab、cd为在同一竖直面内的两光滑水平轨道，两轨道间的竖直距离为h。轨道上有两个可视为质点的物体A和B，质量均为m，它们通过一根绕过定滑轮的不可伸长的轻绳相连接。现用水平向右的拉力拉着物块A，使A、B一起运动，当轻绳OB与水平轨道的夹角时，撤掉拉力，此时物体A在cd轨道运动的速率为v，设绳长BO远大于滑轮直径，不计轻绳与滑轮间的摩擦，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．当轻绳OB与水平轨道夹角为30°时，物体B的速度大小为
B．当轻绳OB与水平轨道夹角为90°时，物体B的速度大小为
C．轻绳OB与水平轨道夹角从30°到90°的过程中，轻绳对B做的功为
D．轻绳OB与水平轨道夹角从30°到90°的过程中，轻绳对B做的功为
【答案】BD
【详解】A．当轻绳OB与水平轨道夹角为30°时，物体B的速度大小
选项A错误；
B．当轻绳OB与水平轨道夹角为90°时，此时物体A的速度为零，从撤去外力到该位置由机械能守恒定律
解得物体B的速度大小为
选项B正确；
CD．轻绳OB与水平轨道夹角从30°到90°的过程中，轻绳对B做的功为
选项C错误，D正确。
故选BD。
10．（23-24高一上·山东德州·期末）（多选）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳跨过光滑定滑轮在另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d，重力加速度为g。现将小环在与定滑轮顶部等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（ ）
A．小环释放后的极短时间内轻绳中的张力一定等于mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度为（﹣1）d
C．小环到达B处时，小环的速度与重物速度大小之比为
D．小环到达B处时，小环的速度与重物速度大小之比为
【答案】BC
【详解】A．小环释放后的极短时间内，其下落的速度v增大，绳与竖直杆间的夹角θ减小，故小环沿绳方向的速度v1＝vcsθ
增大，即重物上升的速度增大，由此可知，小环释放后的极短时间内重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，故A错误；
B．小环到达B处时，绳与竖直杆间的夹角为45°，重物上升的高度
故B正确；
CD．设小环在B处时的速度大小为v，其沿绳方向的分速度大小为v1＝vcs45°＝v
由于小环沿绳方向的速度大小与重物上升的速度大小相等，所以小环在B处的速度大小与重物上升的速度大小的比值等于，故C正确，D错误。
故选BC。
11．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。ad杆的a点通过铰链固定在滑槽导轨中，d点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，bc杆的c点通过铰链固定在滑块上，b点通过铰链固定在ad杆上。某次关闭窗户的过程中，ad杆绕a点匀速转动，则下列说法正确的是（ ）
A．b点的线速度小于d点的线速度B．d点的加速度不变
C．b点和c点的速度大小可能相等D．c点的速度不变
【答案】AC
【详解】A．ad杆绕a点匀速转动，因bd两点绕a点同轴转动，可知角速度相等，根据v=ωr可知，b点的线速度小于d点的线速度，选项A正确；
B．ad杆绕a点匀速转动，d点的加速度大小不变，但方向不断变化，选项B错误；
C．由速度的分解知识可知
则当时b点和c点的速度大小相等，因vb大小不变，则选项C正确；
D．b点的速度不变，则根据
可知c点的速度大小不断变化，选项D错误。
故选AC。
12．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）（多选）如图所示，质量M=1kg的重物B和质量m=0.3kg的小圆环A用细绳跨过一光滑滑轮轴连接，与A相连的绳与轮连接，与B相连的绳与轴连接，不计滑轮轴的质量，轮与轴有相同的角速度且轮和轴的直径之比为2∶1。重物B放置在倾角为30°的斜面上，轻绳平行于斜面，B与斜面间的动摩擦因数μ=，圆环A套在竖直固定的光滑直杆上，滑轮轴中心与直杆的距离L=4 m。现将圆环A从与滑轮轴上表面等高的a处由静止释放，到达b位置时速度达到最大值。已知a、b之间的高度H=3 m，直杆和斜面足够长，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2。下列判断正确的是（ ）
A．圆环A速度最大时，环A与重物B的速度大小之比为5∶3
B．圆环A到达b位置时，A、B组成的系统机械能减少了2.5 J
C．圆环A能下降的最大距离为7.5 m
D．圆环A下降的过程中，地面对斜面体的作用力保持不变
【答案】BCD
【详解】A．当圆环A到达b位置时，设圆环A的速度为v，与A相连的绳与竖直杆的夹角为，那么此时轮上的线速度
轴上的线速度
可得A与重物B的速度之比为
故A错误；
B．由轮与轴有相同的角速度且轮和轴的直径之比为2∶1可知，轮与轴的线速度大小之比为2∶1，由图可知，小圆环A速度最大时，与之相连的绳拉长了1 m，那么重物B移动了0.5 m，由能量守恒可知，损失的机械能等于摩擦力所做的功，即J=2.5J
故B正确；
C．假设圆环A能下降的最大距离为Hm，则重物B能上升的高度为
重物B与斜面摩擦产生的热量为
由能量守恒可知
代入计算可得m
故C正确；
D．圆环B上升过程中，重物B对斜面的弹力和摩擦力均保持不变，故地面对斜面体的作用力保持不变，故D正确。
故选BCD。
13．（23-24高一下·山东济南·期中）（多选）如图所示，两个完全相同的轻质小滑轮P、Q固定在天花板上，P、Q之间的距离为2l，一段不可伸长的轻质细绳通过滑轮，两端分别系住小球A、B，现用一轻质光滑小挂钧将小球C挂在滑轮P、Q之间的水平细绳的中间位置上，静止释放小球C，在小球C下降的某时刻，拉小球C的细绳与水平方向成θ角。已知三小球A、B、C的质量均为m，A、B小球始终没有与P、Q相撞，忽略一切阻力，， ，则下列关于小球C在下降过程中说法正确的为（ ）
A．三小球A、B、C组成的系统机械能守恒
B．三小球A、B、C的速度大小的关系为
C．当时小球C下降到最低点
D．小球C动能的最大值为
【答案】AC
【详解】A．忽略一切阻力，A、B、C三小球组成的系统，只有动能和重力势能之间相互转化，机械能守恒，A正确；
B．小球C速度分解如图所示
由对称性可知
根据三角函数得
解得
B错误；
C．设小球C下降到最低点时，下降的高度为h，滑轮与小球C之间长度为l1，如图所示
小球C下降到最低点过程中，三球组成的系统机械能守恒
根据勾股定理得
解得
此时
得
C正确。
D．小球C的合力等于0时，速度最大，此时三根绳互成120°角，根据机械能守恒定律得
根据速度分解得
解得，小球C动能的最大值为
D错误。
故选AC。情景图示
定量结论
v＝v物cs θ
v物′＝v∥＝v物cs θ
v∥＝v∥′
即v物cs θ＝v物′cs α
v∥＝v∥′
即v物cs α＝v物′cs β