模型16 竖直面内的圆周运动 -高考物理热点模型突破训练

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01 模型概述
1．竖直面内圆周运动的特点
(1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。
(2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。
(3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周最高点时的速度。
(4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形。
2.竖直平面内圆周运动问题的解题思路
(1)定模型:首先判断是绳子模型还是轻杆模型.
(2)确定临界点: ,对绳子模型来说是能否通过最高点的临界点,而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点.
(3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
(4)受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程,F合=F向.
(5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
3.轻绳模型与轻杆模型
4.斜面上圆周运动的临界问题：物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcs θ－mgsin θ＝mω2R.
02 典题攻破
1.竖直平面内圆周运动
【典型题1】（2024·重庆·模拟预测）（多选）如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，d≤R，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点，则（ ）
A．气嘴灯在最低点能发光，其他位置一定能发光
B．气嘴灯在最高点能发光，其他位置一定能发光
C．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为
D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为
【答案】BCD
【详解】AB．气嘴灯在最低点能发光，对P与触点A作为整体进行分析可知，最小需要提供的向心力为
气嘴灯在最高点能发光，对P与触点A作为整体进行分析可知，最小需要提供的向心力为
明显
得气嘴灯在最高点能发光，其他位置一定能发光，故A错误，B正确；
C．当气嘴灯运动到最低点时发光，此时对应车轮做匀速圆周运动的角速度最小，根据受力分析，向心力由弹簧的弹力与重力的合力提供，又因为初始时弹簧弹力等于重力，所以在最低点是增大的弹力提供向心力即kd=mω2R
得
故C正确；
D．当气嘴灯运动到最高点时能发光，则
得
故D正确。
故选BCD。
2. 斜面上圆周运动
【典型题2】（2024·湖北·模拟预测）（多选）转盘游戏深受人们喜爱，现将其简化为如图所示模型。倾角为的圆盘绕垂直于盘面且过圆心的轴做匀速圆周运动，盘面上距离轴r处有一可视为质点的小物块与圆盘始终保持相对静止，物块与盘面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，圆盘的角速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（ ）
A．的最小值为
B．物块从最低点第一次转到最高点的过程中，转盘对物块的冲量大小为
C．物块运动到任意关于转轴对称的两点时受到的摩擦力的大小分别为、，一定有
D．增大，物块在最高点受到的摩擦力一定增大
【答案】ACD
【详解】A．质点随圆盘在倾斜面上做匀速圆周运动，在垂直盘面方向上始终平衡，有
沿着盘面的方向，重力的分力为
匀速圆周运动需要的向心力为
根据径向合力提供向心力可知，最低点相对滑动的趋势最大，需要的摩擦力最大，此处有最小的动摩擦因数，可得
联立解得
故A正确；
B．物块从最低点第一次转到最高点的过程中，由动量定理可知
则合外力的冲量为，由转盘对物块的力和重力沿斜面的分力的合力构成，故转盘对物块的冲量大小不等于，故B错误；
C．设物块在某一位置的方向与斜面方向的夹角为，由余弦定理可知
由对称性可知
联立可得
故C正确；
D．因，则物块在最高点时满足
则随着的增大，物块在最高点受到的摩擦力一定增大，故D正确。
故选ACD。
03 针对训练
一、单选题(本题共7小题。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2024·海南·一模）如图，在海口白沙门公园内，摩天轮和悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。是摩天轮的水平直径。对于坐在某座舱内相对座舱静止的游客，下列说法正确的是（ ）
A．在最高点处于超重状态
B．在最低点处于失重状态
C．在和位置所受合力均为0
D．在和位置所受合力方向相反
【答案】D
【详解】A．乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，在最高点，加速度向下，游客失重，选项A错误；
B．在最低点，加速度向上，游客超重，选项B错误；
C．在和位置所受合力提供向心力，不为0，选项C错误；
D．在和位置所受合力方向均指向圆心，方向相反，选项D正确。
故选D。
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图半径为L的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m的小球做完整的圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，下列说法不正确的是（ ）
A．经过最低点时小球可能处于失重状态
B．经过最高点Z时小球可能处于完全失重状态
C．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点Z的速度v最小值为0
D．若经过最高点Z的速度v增大，小球在Z点对管壁压力可能减小
【答案】A
【详解】A．小球在最低点时加速度向上，则小球处于超重状态，故A错误，符合题意；
B．小球经过最高点Z时，若对轨道的压力为零，则重力完全提供向心力，小球处于完全失重状态，故B正确，不符合题意；
C．由于在最高点圆管能支撑小球，所以速度的最小值为零，故C正确，不符合题意；
D．若过最高点的速度较小，则在Z点，小球在Z点对管壁压力向下，轨道对小球有向上的弹力，根据牛顿第二定律可得
此时经过最高点Z的速度增大，小球在Z点和管壁的作用力减小，故D正确，不符合题意。
故选A。
3．（2024·湖北·二模）某同学在转动如图所示的铅笔的过程中，发现在水平面内绕笔中心转动的角速度超过20rad/s时，位于铅笔一端的橡皮将滑出，已知他使用的铅笔长，假设橡皮受到的最大静摩擦力为定值，且橡皮的大小可忽略，取，则要保证橡皮擦不滑出，这支铅笔在竖直面内绕其中心转动的角速度的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】在水平面内绕笔中心转动过程中，令最大静摩擦力为，则有
在竖直面内绕其中心转动过程中，若要保证橡皮擦不滑出，由于在最低点由竖直向上的摩擦力与重力的合力提供向心力，则在橡皮擦能够顺利通过最低点，则有
解得
故选B。
4．（2024·江苏南通·模拟预测）如图所示，长为L的不可伸长的轻绳一端固定在倾角为的固定斜面体上的O点，另一端拴一质量为m、可视为质点的滑块。在最低点A点给滑块沿斜面且垂直绳的初速度，滑块转动并恰能通过最高点B点。已知滑块与斜面体间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（ ）
A．滑块恰好通过B点时的速度大小为
B．滑块从A点滑到B点克服摩擦力做的功为
C．滑块在A点的初动能为
D．滑块在A点时轻绳的拉力大小为
【答案】C
【详解】A．滑块转动并恰能通过最高点B点，表明在最高点由重力沿斜面的分力提供向心力，则有
解得
故A错误；
B．滑块所受滑动摩擦力大小始终为
摩擦力方向始终与线速度方向相反，则滑块从A点滑到B点克服摩擦力做的功为
解得
故B错误；
C．块从A点滑到B点过程，根据动能定理有
结合上述解得
故C正确；
D．滑块在A点时，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有
其中
解得轻绳的拉力大小为
故D错误。
故选C。
5．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，轻杆的一端固定在水平转轴O上，另一端固定一小球，轻杆随转轴在竖直平面内做匀速圆周运动，位置A与O等高，不计空气阻力，关于杆对球的作用力F，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到最高点时，F方向竖直向上B．小球运动到最低点时，F大于小球重力
C．小球运动到位置A时，F方向指向圆心D．小球运动到位置A时，F小于小球重力
【答案】B
【详解】A．设小球转动的半径为R，则小球运动到最高点时，根据牛顿第二定律
若速度大于，则F方向竖直向下，若速度小于，则F方向竖直向上，若速度等于，则F为零，故A错误；
B．小球运动到最低点时，根据牛顿第二定律有
所以
故B正确；
C．小球运动到位置A时，则有
向心力方向指向圆心，F指向斜上方，故C错误；
D．小球运动到位置A时，F大于小球的重力，故D错误。
故选B。
6．（2024·北京西城·一模）如图1所示，长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小v、绳子拉力的大小F，作出F与的关系图线如图2所示。下列说法中正确的是（ ）
A．根据图线可以得出小球的质量
B．根据图线可以得出重力加速度
C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变
【答案】A
【详解】AB. 根据牛顿第二定律可知
解得
由图像可知
可得小球的质量
由
可得重力加速度
选项A正确，B错误；
C. 图像的斜率为
则绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更小，选项C错误；
D. 图线与横轴交点的位置
可得
则用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置距离原点的的距离变大，选项D错误。
故选A。
7．（2025·广西柳州·模拟预测）如图为一小朋友在一个空心水泥管里玩“踢球”游戏，将该过程简化为竖直面内半径为r的固定圆环，在圆环的最低点有一质量为m的小球，现给小球一水平向右的瞬时速度v．小球沿圆环内侧运动，重力加速度为g，不计小球与圆环间的摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．若，小球可以通过圆环最高点
B．若，小球在最低点对圆环压力大小为4mg
C．若，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为
D．若，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为
【答案】D
【详解】A．小球恰好通过最高点时满足
根据动能定理有
解得
若，小球不能通过圆环最高点，故A错误；
B．根据牛顿第二定律有
解得
故B错误；
CD．若，设小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为，则有
根据动能定理有
解得
故C错误，D正确；
故选D。
二、多选题(本题共3小题。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。全部选对的得全分,选对但不全的得一半分,有选错的得0分)
8．（2024·河北·三模）如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长度为R的水平轨道，BCDE是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点。一可视为质点的小球从A点以某速度（大小未知）水平向左运动，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．当时，小球刚好过最高点D点
B．当时，小球不会脱离圆弧轨道
C．若小球能通过E点，则越大，小球在B点与E点所受的弹力之差越大
D．小球从E点运动到A点的最长时间为
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球刚好过最高点D点，则由圆周运动知
在A到D过程中，由动能定理可知
联立解得
A正确；
B．当时，设上升高度为，假设小球不会脱离圆弧轨道，则必须满足，由动能定理知
代入得
假设不成立，故当时，小球会脱离圆弧轨道，B错误；
C．B到E运动过程中，由动能定理知
在B点时，小球所受弹力为
在E点时，小球所受弹力为
则小球在B点与E点所受的弹力之差为
故小球在B点与E点所受的弹力之差不变，C错误；
D．在D到E过程中，由动能定理知
代入得
从E到A运动过程中，小球做竖直下抛运动，则
代入得
D正确；
故选AD。
9．（2024·河南漯河·三模）如图所示，质量为、半径为、内壁光滑的圆形轨道竖直放置在水平地面上，轨道圆心为，、是轨道上与圆心等高的两点。一质量为的小球沿轨道做圆周运动且刚好能通过轨道最高点，运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过轨道最低点时，速度为
B．小球经过点时，轨道对地面的压力为
C．小球经过轨道最高点时，轨道对地面的压力最小
D．小球经过点时，轨道对地面的摩擦力沿水平面向右
【答案】BD
【详解】A．由题意可知，小球恰好能通过轨道最高点，则有小球的重力恰好提供向心力，设小球在最高点的速度为，则有
解得
小球从最高点运动到最低点，设小球在最低点的速度为，由机械能守恒定律可得
解得
A错误；
B．小球经过点时，圆轨道的弹力提供向心力，小球处于完全失重状态，由平衡条件可知，地面对轨道的支持力大小等于轨道的重力，由牛顿第三定律可知，则轨道对地面的压力大小为，B正确；
C．小球经过轨道最高点时，则有小球的重力恰好提供向心力，此时小球处于完全失重状态，则轨道对地面的压力大小为，小球在下半轨道运动时，小球对轨道的压力有竖直向下的分力，则轨道对地面的压力大于轨道重力，小球在上半轨道运动时，（除最高点外）小球对轨道的压力有竖直向上的分力，则轨道对地面的压力小于轨道重力，因此小球经过轨道最高点时，轨道对地面的压力不是最小，C错误；
D．小球经过点时，轨道对小球向左的弹力提供向心力，由牛顿第三定律可知，小球对轨道有向右的弹力，即轨道有向右的运动趋势，则地面对轨道有向左的静摩擦力，则轨道对地面的摩擦力沿水平面向右，D正确。
故选BD。
10．（2024·安徽·二模）如图所示为蛤蟆夯，工作时铁砣转动，带动夯跳起向前移动砸实地基。因工作方式像蛙跳而得名。其结构可等效为如图乙所示的示意图，质量为的夯架，夯架上O点有一水平转轴，一质量为m的铁砣通过一半径为R的轻杆连接在转轴上，铁砣可以绕转轴在竖直面内做圆周运动。在一次检测夯性能时杆在竖直方向上，铁砣静止于最低点A，现给铁砣一个水平方向的初速度，之后铁砣在竖直平面内做逆时针方向的圆周运动，支架相对地面始终保持静止。已知铁砣可视为质点，重力加速度大小为g，不计转轴处的摩擦和转轴重力，不计空气阻力，则在铁砣运动过程中以下说法正确的是（ ）
A．铁砣运动到最高点时对杆的弹力最小
B．支架对地面的最小压力为
C．支架对地面的最大摩擦力为
D．支架对地面的最大压力为
【答案】AB
【详解】A．通过定性分析可得杆受到铁砣最小弹力的位置应该在小球运动到圆心О点以上，如图所示
设此位置与О点的连线与水平方向的夹角为θ，此点的速度为，从A点到此点过程，根据机械能守恒定律可得
设杆对铁砣的弹力为，在此点做圆周运动有
两式联立解得
根据牛顿第三定律，杆对铁砣的弹力为
所以当时，即铁砣运动到轨道最高点时，此时有最大值，杆对铁砣的弹力有最小值为
故A正确；
B．通过定性分析可得支架对地面压力最小的位置应该在小球运动到圆心О点以上，以支架为研究对象，设地面对支架的支持力为，根据平衡条件，竖直方向上有
联立解得
即是关于的二次函数，函数图像为开口向上的抛物线，根据二次函数性质可知当
时，有最小值，将代入得地面对支架的最小支持力为
根据牛顿第三定律可知，支架对地面的最小压力也为，故B正确；
D．铁砣运动到轨道最低点时，支架对地面的压力最大。铁砣在轨道最低点时，由牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律得，铁砣对支架的向下的拉力
地面对支架的支持力
由牛顿第三定律得，支架对地面的压力
支架对地面的最大压力为。故D错误；
C．通过定性分析可知支架对地面的最大摩擦力的位置应该在铁砣运动到圆心点以下，如图所示
设此位置与点的连线与水平方向的夹角为，此点的速度为，从A点到此点过程根据机械能守恒定律可得
设轻杆对铁砣的弹力为，在此点做圆周运动的向心力为
两式联立解得
根据牛顿第三定律铁砣对支架的弹力为
以支架为研究对象，设地面对支架的摩擦力为，转轴对支架的力为
根据平衡条件，水平方向上有
当，
而摩擦力的最大值不在的位置。摩擦力对求导得
当时，即
时摩擦力有最大值。故C错误。
故选AB。
三、计算题（本题共2小题。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）
11．（2024·北京海淀·二模）如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在距离水平地面高为h的O点，另一端系有质量为m，可视为质点的小球，将小球拉至O点正上方的A点，给其一水平方向的初速度，使其恰好通过A点后，在竖直平面内以O点为圆心做半径为r的圆周运动。当小球运动到最低点B时，绳恰好被拉断，小球水平飞出。不计空气阻力及绳断时的能量损失，重力加速度为g。求：
（1）小球初速度的大小。
（2）绳能承受拉力的最大值。
（3）小球落地时的速度大小v。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小球刚好通过A点，绳子拉力为零，仅重力提供向心力
解得
（2）从A点到B点，由动能定理
解得
在B点，由绳子拉力和小球重力共同提供向心力
解得
再由牛顿第三定律可得
（3）小球从B点到落地的过程中，只有重力做功，由动能定理
解得
12．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图所示为一电动打夯机的原理图，电动机的转轴上固定一轻杆，轻杆的另一端固定一铁球。工作时电动机带动杆上的铁球在竖直平面内转动。若调整转速使打夯机恰好不离开地面，且匀速转动一段时间后，切断电力，铁球继续做圆周运动。整个过程中打夯机的底座始终与地面相对静止。已知打夯机（包括铁球）的总质量为，重力加速度为g，铁球可视为质点，不计一切阻力。
（1）求切断电力前，打夯机匀速转动时对地面产生的最大压力；
（2）若切断电力后，打夯机对地面产生的最大压力为，求铁球的最小质量m。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设小球质量为，切断电力前，最高点打夯机对小球的作用力为，最低点最高点打夯机对小球的作用力为，匀速转动的角速度为，小球做圆周运动的半径为。在最高点，对小球由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律得，小球在最高点对打夯机的反作用力大小
打夯机恰好不离开地面，则
得
即
小球在最低点时，由牛顿第二定律得
得
切断电力前，打夯机匀速转动时，地面对打夯机的最大支持力
由牛顿第三定律得打夯机匀速转动时对地面产生的最大压力大小
（2））若切断电力后，铁球的最小质量m，最高点小球速度为零，最低点速度为，最低点打夯机对小球的力为，则小球从最高点到最低点，由动能定理得
得
最低点，对小球由牛顿第二定律得
得
小球对打夯机的作用力的大小
地面对打夯机的最大支持力
由牛顿第三定律得，打夯机对地面产生的最大压力
解得
绳模型
杆模型
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力
示意图
F弹向下或等于零
F弹向下、等于零或向上
力学
方程
过最高
点的临
界条件
即
讨论
分析
①过最高点时, ,,绳、圆轨道对球产生弹力
②不能过最高点时, ,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
①当时, ,为支持力,沿半径背离圆心
②当时, ,背离圆心,随v的增大而减小
③当时,
④当时, ,指向圆心并随的增大而增大