模型17 万有引力定律相关计算及与重力的关系—高考物理热点模型突破训练

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01 模型概述
1.特殊情况的万有引力定律应用：
(1)用万有引力定律的两个推论计算万有引力
推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F＝0。
推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的引力，即。
(2)填补法求解万有引力
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。
2.万有引力与重力的关系
(1) 地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,
①在赤道上: .
②在两极上: .
③一般位置: .
式中r为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即.
(2) 星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，，得.所以，式中g为地球表面附近重力加速度.
02 典题攻破
1.特殊情况的万有引力定律应用
【典型题1】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）如图1所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为的小球体（球心在OP连线上，右端位于O点），如图2所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设球体的密度为ρ，球体的质量为M，可得
则小球体的质量
球体对该质点的万有引力大小
故挖去小球体后，剩余部分对该质点的万有引力大小
解得
故选C。
2. 万有引力与重力的关系
【典型题2】（2024·山西·一模）2023年，神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”！已知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为，空间站离地面的高度为。假设地球质量分布均匀，半径为，不考虑其自转，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，则深度为处和高度为处的重力加速度之比为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设质量为的物体在马里亚纳海沟底处，有
又
质量为的物体在空间站上，有
解得马里亚纳海沟底处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为
故选A。
03 针对训练
一、单选题(本题共7小题。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2022·新疆·一模）上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零
则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有
设半径为（R－d）球的质量为，由密度公式得
所以
解得，F的大小为
B正确，ACD错误。
故选B。
2．（2024·江苏·模拟预测）帝企鹅是南极常见的一种动物，如图所示的是一只处在南极极点的帝企鹅。如果把地球看成一个均匀的球体，关于此帝企鹅与重力有关的问题，下列说法中正确的是（ ）
A．帝企鹅受到的重力的方向一定指向地心
B．帝企鹅受到的重力的方向一定偏离地心
C．帝企鹅对地面的压力就是其受到的重力
D．帝企鹅受到的重力小于地球对它的吸引力
【答案】A
【详解】AB．重力的方向竖直向下，由于把地球看成一个均匀的球体，则帝企鹅受到的重力的方向一定指向地心，故A正确，B错误；
C．帝企鹅对地面的压力的受力物体是地球，帝企鹅的重力的受力物体是企鹅，压力与重力作用在不同物体上，因此，不能够认为帝企鹅对地面的压力就是其受到的重力，故C错误；
D．由于帝企鹅处在南极极点，帝企鹅相对于地心处于静止状态，并没有随地球自转，则帝企鹅受到的重力等于地球对它的吸引力，故D错误。
故选A。
3．（2024·贵州贵阳·三模）亚地球行星GJ367b是一颗超轻、超快的系外行星，该行星的半径为地球半径的72%，质量为地球质量的55%。若取，则该行星的表面重力加速度约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在星球表面有
则
该行星的表面重力加速度约为
故选B。
4．（2023·贵州·模拟预测）已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置到该星球球心的距离，用g表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g与x的关系图像可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】当，设地球的密度为，距地球球心处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为
可得
当，设地球的密度为，地球半径为，距地球球心处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为
可得
故选A。
5．（2024·湖北·模拟预测）半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设小球对另一个大球的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球的万有引力大小为，小球对小球的万有引力大小为，小球对另一个大球剩余部分的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球剩余部分的万有引力大小为。由题可知，挖掉小球的质量
所以
故选D。
6．（2024·山东泰安·模拟预测）中国将全面推进探月工程四期，计划2026年前后发射嫦娥七号。嫦娥七号准备在月球南极着陆，主要任务是勘察月球南极月表环境、月壤水冰和挥发组分等。嫦娥七号探测器在距离月面的高度等于月球半径处绕着月球做匀速圆周运动时，其周期为；当探测器停在月球的南极时，测得重力加速度的大小为。已知月球自转的周期为，月球视为均匀球体，月球赤道处的重力加速度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设月球的半径为，月球的质量为，由题意得
综合以上三式解得月球赤道处的重力加速度
故选A。
7．（2023·浙江·模拟预测）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为的小球体，如图所示，万有引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】挖去小球前球与质点的万有引力
挖去的球体的质量
被挖部分对质点的引力为
则剩余部分对质点m的万有引力
故选A。
二、多选题(本题共3小题。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。全部选对的得全分,选对但不全的得一半分,有选错的得0分)
8．（2023·北京海淀·模拟预测）某科研小组在某深为d的矿井处测得一单摆的周期为T，先将这同一单摆移到地面测得其周期为T0；再将这一单摆移到某高山顶上测得其周期也是T，假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常数为G。则根据题给已知条件可以求出的物理量正确的是（ ）
A．地球的半径RB．地球的质量M
C．地球表面的重力加速gD．高山的海拔高度h
【答案】AD
【详解】设地球密度为,单摆的摆长为，山顶到地球表面的高度为，在某深为d的矿井处，
此处单摆的周期为
在地球表面处
此处单摆的周期为
在山顶处
此处的周期为
解得
根据矿井处和山顶处单摆周期相等
即
在已知地球半径的情况下可求出山顶到地面的高度，由于不知道地球的密度，所以无法求出地球的质量，也无法求得地球表面的重力加速度。
故选AD。
9．（2020·山东济南·模拟预测）地球表面重力加速度的测量在军事及资源探测中具有重要的战略意义，已知地球质量，地球半径R，引力常量G，以下说法正确的是（ ）
A．若地球自转角速度为，地球赤道处重力加速度的大小为
B．若地球自转角速度为，地球两极处重力加速度的大小为
C．若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心，为半径挖一个球形的防空洞，则A处重力加速度变化量的大小为
D．若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心、为半径挖一个球形的防空洞，则A处重力加速度变化量的大小为
【答案】ABC
【详解】AB．在赤道处
得出
在两极处
得出
选项AB正确；
CD．若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心为半径挖一个球形的防空洞，该球形防空洞挖掉的质量
A处重力加速度变化是由该球形防空洞引起的,
选项C正确，D错误。
故选ABC。
10．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2021 年 5 月 15 日，天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务火星车着陆火星取得圆满成功。假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的 a 倍，火星半径是地球半径的 b倍，地球表面的重力加速度为 g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零， 则（ ）
A．火星表面重力加速度为
B．火星表面重力加速度为
C．火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为
D．火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为
【答案】AC
【详解】AB．在地球表面有
在火星表面有
联立解得火星表面重力加速度为
则A正确；B错误；
CD．设火星的密度为，火星的半径为 ，由于质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则在火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度相当火星内部那部分产生的引力产生的，则火星内部那部分质量为
火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为，则有
联立解得
所以C正确；D错误；
故选AC。
三、计算题（本题共2小题。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）
11．（2023·贵州铜仁·二模）我国航天技术水平在世界处于领先地位，对于人造卫星的发射，有人提出了利用“地球隧道”发射人造卫星的构想：沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处分别将等质量的待发射卫星部件同时释放，部件将在通道中间位置“碰撞组装”成卫星并静止下来；另在通道的出口处由静止释放一个大质量物体，大质量物体会在通道与待发射的卫星碰撞，只要物体质量相比卫星质量足够大，卫星获得足够速度就会从对向通道口射出。（以下计算中，已知地球的质量为，地球半径为，引力常量为G，可忽略通道AB的内径大小和地球自转影响。）
（1）如图甲所示，将一个质量为的质点置于质量分布均匀的球形天体内，质点离球心O的距离为r。已知天体内部半径在之间的“球壳”部分（如甲示阴影部分）对质点的万有引力为零，求质点所受万有引力的大小。
（2）如图乙所示，设想在地球上距地心h处沿弦长方向挖了一条光滑通道AB，一个质量为m。的质点在离通道中心的距离为x处，求质点所受万有引力沿弦AB方向的分力；将该质点从A点静止释放，求质点到达通道中心处时的速度大小。
（3）如图丙所示，如果质量为m的待发射卫星已静止在通道中心处，由A处静止释放另一质量为M的物体，物体到达处与卫星发生弹性正碰，设M远大于m，计算时可取。卫星从图丙示通道右侧B处飞出，为使飞出速度达到地球第一宇宙速度，h应为多大？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）当质点处于离球心O的距离为r时，内含球体质量
质点所受引力
整理有
（2）引力沿AB方向的分力为
由上述分析可知，该力与x成正比，由动能定理有
而
解得
（3）上式可知，质量为M的物体到达处时，速度大小为，刚碰撞后，质量为M的物体速度为V，质量为m的物体速度为v，若规定速度由A向B为正，则
解得
返回过程中由动能定理
得
要使卫星飞出通道达到第一宇宙速度，须有
解得