模型26 机械能守恒定律解题的基本思路及在多物体系统、链条、绳、杆中的应用—高考物理热点模型突破训练

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学校：_________班级：___________姓名：_____________
01 模型概述
1. 机械能是否守恒的三种判断方法
1）利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．
2）利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒．
3）利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
4）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒.
2. 系统机械能守恒的三种表示方式
1）守恒角度：系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等，即E1 =E2
说明：选好重力势能的参考平面，且初、末状态必须用同一参考平面计算势能
2）转化角度：系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能，即ΔEk＝－ΔEp
说明：分清重力势能的增加量或减少量，可不选参考平面而直接计算初、末状态的势能差
3）转移角度：系统内A部分物体机械能增加量等于B部分物体机械能减少量，即ΔEA增＝ΔEB减
说明：常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
说明：
①解题时究竟选取哪一种表达形式，应根据题意灵活选取;需注意的是:选用1）式时，必须规定零势能参考面，而选用2）式和3）式时，可以不规定零势能参考面，但必须分清能量的减少量和增加量.
②单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式
3. 机械能守恒定律解题的基本思路
1）选取研究对象；
2）进行受力分析，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒；
3）选取参考平面，确定初、末状态的机械能或确定动能和势能的改变量；
4）根据机械能守恒定律列出方程；
5）解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．
4. 多物体系统的机械能守恒问题
1）对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．
2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
3）列机械能守恒方程时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式解决问题．
4）几种典型问题
①速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化．
②角速度相等情景
Ⅰ、杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
Ⅱ、由v＝ωr知，v与r成正比．
③某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．
02 典题攻破
1. 机械能守恒定律解题的基本思路
【典型题1】（2024·四川巴中·一模）滑板是运动员脚踩滑动的器材，在不同地形、地面及特定设施上，完成各种复杂的滑行、跳跃、旋转、翻腾等高难动作的极限运动，2020年12月7日，国际奥委会同意将滑板列为2024年巴黎奥运会正式比赛项目。如图所示为某滑板训练场地的运动轨道简化图，ABC为半径R=5m的圆弧轨道的一部分，轨道AB段粗糙，BC段光滑，O点为圆弧轨道的圆心，A点与圆心等高，B点为圆弧轨道最低点，OC与竖直方向的夹角为37°，为了研究滑板的运动，研究人员在B点安装了压力传感器。某次训练中，总质量为m=60kg的运动员和滑板从A点静止滑下，通过B点时压力传感器示数F=1140N，之后运动员从C点滑出，在空中飞行一段时间后落在地面上的D点。滑板与AB轨道之间的阻力大小恒定，不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s2，π值取3，运动员和滑板整体视为质点。（结果可保留根式）
(1)求运动员和滑板过B点时的速度大小；
(2)求滑板与圆弧轨道之间的阻力大小；
(3)求BD之间的水平距离。
【答案】(1) (2)220N (3)
【难度】0.65
【详解】（1）在B点，根据牛顿第二定律可得
解得
（2）运动员从A运动到B，根据动能定理可得
代入数据解得
（3）运动员从C点滑出后做斜上抛运动，则
运动员从B运动到C，根据机械能守恒定律有
联立解得，，
所以BD之间的水平距离为
2. 机械能守恒定律在多物体系统、链条、绳、杆中的应用
【典型题2】（2024·河北·模拟预测）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑且等高的小定滑轮连接，在外力作用下使得C与滑轮等高（A、B和C均在空中），且处于静止状态，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为，重物C的质量为。撤除外力，使C由静止开始竖直落下（始终未与地面相碰），A、B、C均可视为质点。则重物C下落的最大距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【详解】设重物C下落的最大距离为，此时重物A、B和C的速度均为0，根据几何关系可知重物A、B上升的高度均为
根据系统机械能守恒可得
解得
故选C。
【典型题3】（2023·全国·模拟预测）（多选题）如图所示，柔软的绳索放置在粗糙水平桌面上，为绳索端点，为绳索中点，且恰好处于桌面边缘。开始时绳索在外力的作用下处于静止状态，由静止释放绳索后，绳索开始滑动，直至离开桌面，此过程中点未落至地面。已知质量分布均匀的绳索总质量为，总长度为，绳索和桌面间的滑动摩擦因数为。下列分析正确的有（ ）
A．绳索离开桌面前的过程中重力势能减少了
B．绳索离开桌面时的动能为
C．绳索离开桌面前的过程中，段的动能增加得越来越快
D．绳索离开桌面前的过程中，段的机械能减小得越来越慢
【答案】ACD
【难度】0.65
【详解】A．绳索离开桌面前的过程中重力势能减少量
故A正确；
B．绳索离开桌面前的过程中，克服摩擦力做功
由动能定理知绳索离开桌面时的动能为，故B错误；
C．由题易得绳索下滑过程加速度逐渐增大，速度增加得越来越快，动能增加得越来越快，C正确；
D．对段利用牛顿第二定律易得点张力逐渐减小，由功能关系得段机械能减小得越来越慢，D正确。
故选ACD。
03 针对训练
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定在地面上，另一端固定一质量为m的小球A，轻杆靠在高、质量为M=4m的物块B上，开始时轻杆处于竖直状态，受到轻微扰动，轻杆开始顺时针转动，推动物块沿地面向右滑至图示位置（杆与地面夹角为，若不计一切摩擦，重力加速度为g，则此时小球A的线速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【详解】小球A顺时针转动，物块B向右运动，如图所示
根据运动的分解有,
小球A转动过程中，系统机械能守恒，则有
联立解得
故选B。
2．（2024·黑龙江吉林·模拟预测）如图所示，两个质量相等可视为质点的小球a、b通过铰链用长为的刚性轻杆连接，a球套在竖直杆M上，b球套在水平杆N上，最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°。两根足够长的细杆M、N不接触（a、b球均可无碰撞通过O点），且两杆间的距离忽略不计，将两小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法中正确的是（ ）
A．a、b两球组成系统机械能不守恒
B．a球到达与b球等高位置时速度大小为
C．a球运动到最低点时，b球速度最大
D．a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力一直做负功
【答案】C
【难度】0.65
【详解】A．a球和b球所组成的系统只有重力做功，则机械能守恒，故A错误；
B．根据系统机械能守恒，则a球到达与b球等高位置时，b球速度为零，则
解得
故B错误；
C．当a球运动到两杆的交点后再往下运动，此时b球到达两杆的交点处，a球的速度为0，b球的速度达到最大，则
所以
故C正确；
D．由于系统机械能守恒，a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力先做负功后做正功再做负功，故D错误。
故选C。
3．如图所示，匀质铁链质量为m，长度为L，现使其放在倾角为30°的光滑斜面上，其余部分竖直下垂。若由静止释放使铁链自由运动，则铁链下滑至整条铁链刚好全部离开斜面时，铁链的速度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【详解】把铁链分成两个部分，下一半铁链重心下落的高度为
上一半铁链重心下落的高度为
对整条铁链从刚释放到刚好全部离开斜面由动能定理得
解得
故选D。
4．（2024·重庆·模拟预测）如图所示，两端分别固定有小球A、B（均视为质点）的轻杆竖直立在水平面上并靠在竖直墙面右侧处于静止状态。由于轻微扰动，A球开始沿水平面向右滑动，B球随之下降，在B球即将落地的过程中两球始终在同一竖直平面内。已知轻杆的长度为l，两球的质量均为m，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．A球动能最大时对水平面的压力大小等于2mg
B．竖直墙面对B球的冲量大小为
C．轻杆对A球先做正功后做负功
D．A球的最大动能为
【答案】C
【难度】0.65
【详解】AD．假设小球B能一直沿着墙面向下运动，设轻杆与水平方向的夹角为θ时，两小球的速度大小分别为、，根据关联速度知识，两小球沿杆方向速度相等，可得
解得
由根据机械能守恒，则有
运用数学知识，整理可得
当，取等号，说明小球A的动能先增大后减小，即杆中先存在挤压的内力，之后出现拉伸的内力，当杆中内力为0时，A球的动能最大，最大动能为
此时对水平面的压力大小等于mg，AD错误；
B．当杆中存在挤压的内力，此时墙壁对B球有冲量，又由于在B球脱离竖直墙面前B球水平方向速度始终为零，所以竖直墙面对B球的冲量大小等于杆对B球在水平方向的冲量大小，进一步可知竖直墙面对B球的冲量大小等于杆对A球在水平方向的冲量大小，该过程就是A球获得最大动量过程，由动量定理，可知
B错误；
C．因为杆中先存在挤压的内力，之后出现拉伸的内力，所以轻杆对A球先做正功后做负功，C正确。
故选C。
5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图ab、cd为在同一竖直面内的两光滑水平轨道，两轨道间的竖直距离为h。轨道上有两个可视为质点的物体A和B，质量均为，它们通过一根绕过定滑轮的不可伸长的轻绳相连接。现有水平向右的拉力拉动物块A，使A、B运动起来，在轨道间的绳子OB与水平轨道成角的瞬间，撤掉拉力，此时物体A在下面的轨道运动速率为，设绳长BO远大于滑轮直径，不计轻绳与滑轮间的摩擦，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．在轻绳OB与水平轨道成时，物体B的速度大小为
B．在轻绳OB与水平轨道成角到角的过程中，绳对B做的功为
C．当轻绳OB与水平轨道成角时，物体B的速度大小为
D．若在轻绳OB与水平轨道角时，绳与物体B恰好分离且物体B恰好离开ab面，物体B下落过程中不与墙面、滑轮相碰，则B落地的速度大小为
【答案】C
【难度】0.65
【详解】A．图示位置时物体B的速度可理解为由沿绳方向的分速度和与绳垂直方向的分速度组成的合速度，设物体B的速度为，结合关联速度的关系可知
解得
故A错误；
C．在之后的运动过程中当轻绳OB与水平轨道成时物体B沿绳方向的分速度为零，即物体A的速度变为零，因为轨道光滑和不计轻绳与滑轮间的摩擦，故物体A和B组成的系统在轻绳OB与水平轨道成90°之前机械能守恒，由
解得
故C正确；
B．在轻绳OB与水平轨道成角到角的过程中，绳对B做的功为
解得
故B错误；
D．物体B下落过程中做平抛运动，可得
则B落地的速度大小为
故D错误。
故选C。
6．（2024·安徽芜湖·三模）（多选题）如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的3倍。用手托住B球，使轻绳拉紧，A球静止于地面，不计空气阻力、定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦。已知重力加速度为g。由静止释放B球，到B球落地前的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．B球重力势能的减少量等于两球动能的增加量
B．轻绳拉力对A球做的功等于A球机械能的增加量
C．B球重力势能的减少量大于A球机械能的增加量
D．轻绳拉力对两小球的总冲量为零
【答案】BC
【难度】0.85
【详解】A．B球落地前的过程中，B球的重力势能减小，A球的重力势能增大，两球的动能均增大，可知，B球重力势能的减少量等于两球动能的增加量与A球重力势能的增加量之和，故A错误；
B．A球上升过程受到重力与轻绳拉力作用，轻绳拉力对A球做正功，根据功能关系可知，轻绳拉力对A球做的功等于A球机械能的增加量，故B正确；
C．结合上述可知，B球重力势能的减少量等于两球动能的增加量与A球重力势能的增加量之和，即B球重力势能的减少量大于A球机械能的增加量，故C正确；
D．对A球分析可知，轻绳拉力对A球冲量方向竖直向上，对B球分析可知，轻绳拉力对B球冲量方向也竖直向上，可知，轻绳拉力对两小球的总冲量不为零，故D错误。
故选BC。
7．（2024·江西上饶·模拟预测）（多选题）如图所示，质量为m的小球套在固定的光滑竖直杆上，一根足够长且不可伸长的轻绳绕过定滑轮，一端与小球相连，另一端吊着质量为M的物块。开始时小球在杆上A点由静止释放，向下运动到B点时速度为零，不计小球及定滑轮大小，不计滑轮质量及轻绳与滑轮的摩擦，重力加速度为g。A点与滑轮的连线与水平方向的夹角为37°，滑轮到杆的距离为L、，O和滑轮的连线水平，，则小球向下运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块先超重后失重，再超重再失重
B．小球运动到O点时加速度大小为g
C．小球和物块的质量之比
D．物块向下运动时机械能减小、向上运动时机械能增大
【答案】BCD
【难度】0.65
【详解】A．设定滑轮所在位置为，根据几何关系有
且小球在杆上A点由静止释放，向下运动到B点时速度为零，可知物块先向下加速后减速，再向上加速后减速，因此物块先失重后超重，再超重后失重，故A错误；
B．小球运动到点时，所受力的合力等于重力，其加速度大小等于，故B正确；
C．根据机械能守恒
解得
故C正确；
D．物块向下运动时，细线对物块做负功，物块机械能减小，物块向上运动时，细线对物块做正功，物块机械能增大，故D正确。
故选BCD。
8．（2024·河北·模拟预测）（多选题）轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻线跨过轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量相等，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．A向下运动，B向上运动
B．B物体速度大小是A物体速度大小的两倍
C．悬挂A的细线与悬挂定滑轮的细线拉力大小均为
D．A物体位移大小为h时，B物体的速度大小为
【答案】BC
【难度】0.65
【详解】AB．A连接动滑轮，释放前瞬间两侧绳子总拉力为B重力的两倍，速度为B的一半，A向上运动，故A错误，B正确；
C．由
解得悬挂B细线拉力为
悬挂A和定滑轮的细线拉力为
故C正确；
D．A上升h高度时，B重物下落2h高度时，由机械能守恒定律得
解得
故D错误。
故选BC。
9．（2024·重庆荣昌·模拟预测）（多选题）如图所示，固定的L形光滑细杆，一边水平，另一边竖直，两弹性小球A，B分别套在两细杆上，两球之间用轻质弹性绳连接，A，B两小球的质量分别是M，m。现在用手将两球沿杆向外拉，小球B受到方向沿杆向下、大小为mg的拉力作用，弹性绳在弹性限度内伸长，一段时间后达到平衡状态，此时小球B距竖直杆顶端的距离为H。某时刻由静止同时释放两小球，当竖直杆上的小球B恰好到达杆顶部时，水平杆上的小球A的速度大小为v。重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．人手刚释放时，小球B的加速度大小为g
B．小球B到达杆顶端时，弹性绳的弹性势能可能为零
C．弹性绳最初的弹性势能可能为
D．弹性绳对两小球做的功一定相等
【答案】ABC
【难度】0.65
【详解】A．由题知，小球B受到方向沿杆向下、大小为mg的拉力作用，弹性绳在弹性限度内伸长，一段时间后达到平衡状态，此时对小球B有F弹y = mg＋mg
某时刻由静止同时释放两小球，对小球B有F弹y－mg = ma
解得a = g
故A正确；
B．根据选项A的分析可知，释放两小球时弹性绳出于拉伸状态，且由于杆光滑，则释放后A向右运动，B向上运动，则B还没有到达杆顶端时，弹性绳可能已经达到原长，则此时弹性绳的弹性势能可能为零，故B正确；
C．根据选项B的分析可知，小球B恰好到达杆顶部时，弹性绳的弹性势能可能为零，且A、B与弹性绳组成的系统机械能守恒，有
故C正确；
D．弹性绳对两小球的力大小相等，但两小球在沿着弹性绳方向的位移不相等，根据微元法可知弹性绳对两小球做的功不相等，故D错误。
故选ABC。
10（2024·四川眉山·模拟预测）（多选题）如图所示，竖直固定的光滑细杆上穿着一个小球B，小球通过一根不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与质量为的物块A相连，用手将物块A竖直向上托起至定滑轮左侧细绳与竖直方向的夹角为，现突然松手，物块A开始在竖直方向上做往复运动，小球最高能到达点。已知定滑轮到细杆的距离为d，Q点和定滑轮的高度相同，，，重力加速度大小为，定滑轮可看作质点，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过点时的加速度大小为
B．小球的质量为
C．除M、P两点外小球B速率始终小于物块A速率
D．小球B在Q点速率最大
【答案】AB
【难度】0.65
【详解】A．小球经过Q点时在竖直方向仅受到重力作用，加速度大小为g，故A正确；
B．A和B组成的系统，整个系统只有重力做功，且无机械能与其他能发生转化，所以系统机械能守恒，有
解得
故B正确；
C．在运动过程中小球B与物块A的速度大小关系为
所以除M、P两点外小球B速率始终大于物块A速率，故C错误；
D．小球B从P点向上运动时，当小球B受到轻绳的拉力向上的分力与重力大小相等，方向相反时小球B的速度最大，在Q点的下方，故D错误。
故选AB。
11（2023·福建福州·模拟预测）如图，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内。重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，重力的功率为___________。

【答案】
【难度】0.65
【详解】[1]链条从静止至左侧斜面上的链条完全滑到右端的过程中，重力做功为
然后链条下端到达斜劈底端这一过程重力做功为
设链条运动至底端的速度为v，有
解得
可知
12（2024·内蒙古包头·一模）如图，倾角为30°的斜面固定在水平地面上，一轻绳绕过两个光滑的轻质滑轮连接着固定点P和物块B，两滑轮之间的轻绳始终与斜面平行，物块A与动滑轮连接。已知A、B的质量均为1kg，A与斜面间的动摩擦因数为，A与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取10m/s2。将A、B由静止释放，求：
（1）物体A、B释放瞬间，轻绳上的拉力大小；
（2）物块B下降2m时（B未落地）的速度大小；
（3）物块B下降2m时，A的机械能增加量。
【答案】（1）6N；（2）4m/s；（3）7J
【难度】0.65
【详解】（1）物体A、B释放瞬间，设轻绳的拉力为T，对物体A，根据牛顿第二定律有
对物体B，根据牛顿第二定律有
由题图可得
所以
（2）根据系统能量守恒有
解得
（3）绳拉力对A做功为
摩擦力对物块A做功为
由功能关系得A的机械能增加量为
13.（2024·山东泰安·一模）链球是一项融合力量、平衡和技巧的竞技运动。如图，某运动员在训练中两手握着链球上铁链的把手带动链球旋转。链球旋转到离地高的A点脱手，脱手时速度大小为，方向与水平面成θ角斜向上飞出。链球落地时速度与水平而夹角为β，且（θ、β未知），不计空气阻力和铁链的影响，。求：
（1）链球落地时速度的大小；
（2）链球脱手后在空中运动的时间；
（3）链球脱手点A与落地点间的水平距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【难度】0.65
【详解】（1）链球脱手后做斜上抛运动，根据机械能守恒定律
解得
（2）链球脱手后做斜上抛运动，设运动时间为，抛出点和落地点水平速度相等，即
在抛出点竖直方向上的分速度大小为
在落地点竖直方向上的分速度大小为,
解得
（3）链球在水平方向上做匀速直线运动，链球脱手点A与落地点间的水平距离
解得