广东省惠州市仲恺区四校2024-2025学年上学期12月 联考九年级数学试卷

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一．单项选择题
1-5 BBCDC 6-10 ABDBC
二．填空题
11.（1，-3） 12. 13. 2025 14. 1 15.
三．解答题（一）
16.解：解法1：原方程可化为 ------------------5分
------------------7分
解法2： ------------------1分

------------------3分
x=−b±b2−4ac2a=−2±362×1=−1±3 ------------------5分
------------------7分
解：（1）如图所示， ------------------3分
------------------4分
如图所示 ------------------7分
解：（1） ------------------2分
（2）画树状图如下：
------------------5分
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好
是“B”和“D”的结果数有2种，
体育老师抽到的两张卡片恰好是B(滑板)和D(运动
攀岩)的概率为. ------------------7分
解答题（二）
19.（1）相切．理由如下： ------------------1分
连接OD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD， ------------------2分
又∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥CB，
∴∠ODC＝∠C＝90°， ------------------3分
∵OD是⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切； ------------------4分
（2）∵∠CDB＝60°，
∴∠CBD＝90°-∠CDB＝30°， ------------------5分
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB＝×4＝2， ------------------8分
在Rt△ABD中，
BD＝ ------------------9分
20.解（1）证明：由旋转的性质得：CD＝CE，∠DCE＝90°， ------------------1分
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD， ------------------2分
在△ACE与△BCD中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴AE＝DB． ------------------5分
（2）解：∵，，
∴AB＝4， ------------------6分
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∵△BDC≌△AEC，
∴S△BDC＝S△AEC，
∴S四边形AECD＝S△BDC+S△ACD， ------------------8分
即S四边形AECD＝S△ACB＝AC•BC＝×4×4＝8． ------------------9分
21.解：（1）设商城每次降价的百分率为x， ------------------1分
依题意得：20（1﹣x）2＝16.2， ------------------2分
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． ------------------3分
答：商城每次降价的百分率为10%． ------------------4分
设每个商品应降价y元，则平均每天可售出（40+10y）个， ----------------5分
则利润：w＝（20﹣y﹣14）（40+10y）， ------------------6分
整理得：w＝﹣10（y﹣1）2+250，
当y＝1时，获得利润最大，最大为250元------------------8分
答：要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元．------------------9分
三．解答题（三）
22.解：（1）将A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，得：
，------------------1分
解得，------------------2分
∴；------------------3分
（2）令y＝0，则，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），------------------4分
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x+8，------------------5分
过点P作PG∥y轴交BC于G，
设，则G（t，﹣t+8），
∴，------------------6分
∴，
∴当t＝4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32；------------------8分
（3）存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下：------------------9分
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴E（3，5），设M（3，m），
∴，，EM＝|m﹣5|，
当BE＝BM时，，
解得m＝5（舍）或m＝﹣5，
∴M（3，﹣5）；
当BE＝EM时，，
解得或，
∴或；
当BM＝EM时，，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
综上所述：M点坐标为（3，0）或（3，﹣5）或或．
------------------13分（每个答案给1分）
解：（1）当OM经过点A时由正方形的性质可知：∠MON＝90°，OA=1
∴S＝S扇形OEF﹣S△OAB＝------------------4分
（2）∴S＝S1﹣S2＝（S1﹣S2）；------------------8分
（3）（2）中的结论仍然成立，理由如下：------------------9分
∵∠EOF＝90°，
∴S扇形OEF＝S圆O＝，------------------10分
过O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为R、S，
易证，四边形ORBS为正方形，
∴OR＝OS，
∵∠ROS＝90°，∠MON＝90°，
∴∠ROG＝∠SOH＝90°﹣∠GOS，
在△ROG和△SOH中，
，
∴△ROG≌△SOH（ASA），
∴S△ORG＝S△OSH，------------------12分
∴S四边形OGBH＝S正方形ORBS，
易证，S正方形ORBS＝S2，
∴S四边形OGBH＝S2，∴S＝S扇形OEF﹣S四边形OGBH＝（S1﹣S2）．------------------14分