新疆乌鲁木齐市新潮学校2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷（含答案解析）

这是一份新疆乌鲁木齐市新潮学校2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣D．±2
2．（4分）64的平方根是（ ）
A．8B．﹣8
C．±8D．以上都不对
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．x6÷x3＝x3
C．x3+x3＝2x6D．（﹣2x）3＝﹣6x3
4．（4分）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x,则根据题意，可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52B．2×8（1+x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52D．8（1+x2）＝11.52
5．（4分）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C=50°，则∠D＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
6．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．（4分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体B．正方体C．圆锥D．圆柱
8．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC=2，则DF的长为（ ）
A．1.5B．1.25C．1D．0.75
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请按答题卷中的要求作答）
10．（4分）已知点M（1，2）在反比例函数的图象上 ．
11．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）将半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为 ．
13．（4分）同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是 ．
14．（4分）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2．
15．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P是边DC上的动点，G是AP的中点，以P为中心，将PG绕点P顺时针旋转90°，G的对应点为G′，当B、D、G′在一条直线上时，PD= ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（11分）计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：，其中a＝2．
17．（12分）（1）解不等式组；
（2）我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡和兔各有多少只？
18．（10分）如图，在△ABC中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使DF=EF，连接BE．
求证：（1）△ADF≌△BEF；
（2）四边形BCDE是平行四边形．
19．（11分）某中学1000名学生参加了“环保知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如下频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题．
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加“环保知识竞赛”活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
20．（10分）如图，为测量建筑物CD的高度，在A处测得建筑物顶部D处的仰角为22°，再向建筑物CD前进30m到达B处，测得建筑物顶部D处的仰角为58°（A，B，C在同一条直线上），求建筑物CD的高度（结果取整数）（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60）．
21．（12分）有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：
（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；
（2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
22．（11分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE；
（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；
（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分，请按答题卷中的要求作答）
1．【答案】B
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选：B．
2．【答案】C
【分析】此题直接利用平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵（±8）2＝64，
∴64的平方根±3，
即＝±8．
故选：C．
3．【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法、除法和积的乘方以及合并同类项进行判断即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，选项错误．不符合题意；
B、x6÷x3＝x6，选项正确，符合题意；
C、x3+x3＝3x3，选项错误，不符合题意；
D、（﹣2x）3＝﹣8x3，选项错误，不符合题意；
故选：B．
4．【答案】C
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额，列出方程即可．
【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，
第一个月的销售额为8万元，
第二个月的销售额为8（3+x）万元，
第三个月的销售额为8（1+x）2万元，
∴8（1+x）6＝11.52，
故选：C．
5．【答案】D
【分析】根据∠A＝∠B＝30°，得出AC∥DB，即可得出∠D＝∠C＝50°．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，
∴AC∥DB，
又∵∠C＝50°，
∴∠D＝∠C＝50°，
故选：D．
6．【答案】C
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）＝720°即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝7，
∴这个多边形的边数是6．
故选：C．
7．【答案】C
【分析】根据展开图直接判断该几何体是圆锥即可．
【解答】解：根据展开图得该几何体是圆锥，
故选：C．
8．【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以不是轴对称图形，
故选：C．
9．【答案】A
【分析】延长CF交AB于H，证明△AFC≌△AFH可得CF＝FH，AH＝AC，然后求出BH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
【解答】解：如图，延长CF交AB于H，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠HAF，
∵CF⊥AE，
∴∠AFC＝∠AFH＝90°，
在△AFC和△AFH中，
∵，
∴△AFC≌△AFH（ASA），
∴CF＝FH，AH＝AC，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AC＝5﹣2＝8，
又∵AD是中线，
∴DF是△BCH的中位线，
∴．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请按答题卷中的要求作答）
10．【答案】见试题解答内容
【分析】把点M（1，2）代入反比例函数y＝求出k的值即可．
【解答】解：∵点M（1，2）在反比例函数y＝，
∴3＝，即k＝2．
故答案为：3．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥6．
故答案为：x≥3．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•r＝，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2π•r＝，
解得r＝4，
即这个圆锥的底面圆的半径为5．
故答案为4．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两枚骰子点数的和是小于5的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子点数的和是小于5的结果数为6，
∴两枚骰子点数之和小于7的概率是，
故答案为：．
14．【答案】32．
【分析】设与墙垂直的一边长为x m，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．
【解答】解：设与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，
∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣6x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2＜2，
∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，
故答案为：32．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】作辅助线，构建直角三角形，设PD＝x，利用勾股定理表示AP的长，即PG′的长，根据同角的三角函数值列比例式表示EG′＝x，同理得ED＝x，在直角△EPG′中，利用勾股定理列方程：（）2＝（x）2+（x）2，求出x的值即可．
【解答】解：当B、D、G′在一条直线上时，
过G′作G′E⊥CD，交CD的延长线于E，
设PD＝x，
由勾股定理得：AP＝，
由旋转得：PG′＝PG，∠APG′＝90°，
∴∠APD+∠DPG′＝90°，
∵G是AP的中点，
∴PG＝AP，
∴PG′＝AP＝，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAP+∠APD＝90°，
∴∠DPG′＝∠DAP，
∵sin∠DPG′＝，sin∠DAP＝，
∴＝，
∴EG′＝DP＝x，
∵EG′∥BC，
∴＝，
∵BC＝8，DC＝7，
∴BC＝2DC，
∴ED＝EG′＝x，
∴PE＝PD+DE＝，
由勾股定理得：G′P2＝G′E6+PE2，
即（）2＝（x）2+（x）2，
解得：x＝±，
∵x＞5，
∴x＝，
∴DP＝．
故答案为：DP＝．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．【答案】（1）0；（2），1．
【分析】（1）先化简零次幂、绝对值、立方根、乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（2）先进行括号内除法，得出，再进行减法，然后进行乘法，最后化简代入数值，即可作答．
【解答】解：（1）
＝1+3﹣4+（﹣1）
＝0；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝，
把a＝2代入，得出．
17．【答案】（1）x≤1；
（2）笼中鸡和兔分别有23，12只．
【分析】（1）分别解出每个不等式，再取它们的公共解集，即可作答．
（2）设笼中鸡和兔分别有x，y只，根据从上面看有35个头，从下面看有94条腿，列式进行计算，即可作答．
【解答】解：（1），
由①，得出x≤1，
由②，得出x＜4，
∴不等式组的解集为x≤6；
（2）设笼中鸡和兔分别有x，y只，
依题意，得，
整理x＝35﹣y，把x＝35﹣y代入4x+4y＝94，
得2×（35﹣y）+4y＝94，
解得y＝12，
∴x＝23，
∴笼中鸡和兔分别有23，12只．
18．【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【分析】（1）根据SAS证明△ADF≌△BEF；
（2）根据点D，F分别为边AC，AB的中点，可得DF∥BC，DF＝BC，再由EF＝DE，得EF＝DE，DF+EF＝DE＝BC，从而得出四边形BCDE是平行四边形；
【解答】证明：（1）∵F是AB的中点，
∴AF＝BF，
在△ADF和△BEF中，
，
∴△ADF≌△BEF（SAS）；
（2）∵点D，F分别为边AC，
∴DF∥BC，DF＝，
∵EF＝DF，
∴EF＝DE，
∴DF+EF＝DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
19．【答案】（1）a＝0.24，b＝2，c＝0.04；（2）600；（3）．
【分析】（1）利用50≤x＜60的频数和频率，根据公式：频率＝先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c的值；
（2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数；
（3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率．
【解答】解：（1）样本人数为：＝50（名），
a＝＝8.24，
70≤x＜80的人数为：＝25（名），
b＝50﹣4﹣12﹣25﹣3＝2（名），
c＝4÷50＝0.04，
∴a＝0.24，b＝8；
（2）竞赛分数不低于70分的频率是0.5+6.06+0.04＝0.5，根据样本估计总体的思想
1000×0.6＝600（人），
∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；
（3）成绩是80分以上的同学共有7人，其中第4组有3人，乙，丙，第4组有2人，B
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，作树形图如下
抽取两名同学在同一组的有8种情况，
∴抽取的3名同学来自同一组的概率P＝．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】由锐角三角函数定义得出BC≈CD，AC≈CD，再由AB＝AC﹣BC得CD﹣CD＝30，求解即可．
【解答】解：由题意得：∠A＝22°，∠DBC＝58°，
在Rt△BDC中，tan∠DBC＝，
∴BC≈＝CD，
在Rt△ACD中，tan∠DAC＝，
∴AC≈＝CD，
∴AB＝AC﹣BC≈CD﹣，
解得：CD＝16（m），
答：建筑物CD的高度约为16m．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把数量6分别代入甲乙两公司的计算方法即可求出到哪家公司购买花费较少；可以利用等式总花费＝单价×数量；
（2）把总价7500代入甲乙两公司的计算方法，看哪个适合题意．
【解答】解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用6×（800﹣20×7）＝4080（元），
在乙公司购买需要用75%×800×6＝3600（元）＜4080（元），
∴应去乙公司购买；
（2）设该单位买x台，若在甲公司购买则需要花费x（800﹣20x）元；
若在乙公司购买则需要花费75%×800x＝600x元；
①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器，
则有x（800﹣20x）＝7500，
解之得x1＝15，x3＝25．
当x1＝15时，每台单价为800﹣20×15＝500＞440；
当x2＝25时，每台单价为800﹣20×25＝300＜440，舍去．
②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，
则有600x＝7500，解之得x＝12.2，舍去．
答：该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．
22．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）DB的长为．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠ADC，即可解答；
（2）利用切线的性质可得∠OCE＝90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD＝∠CBE，再利用（1）的结论可得∠OCB＝∠CBE，然后可证OC∥BE，最后利用平行线的性质可得∠E＝90°，即可解答；
（3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠CDB，进而可证△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性质可求出DE的长，最后再利用（2）的结论可证△ACB∽△CEB，利用相似三角形的性质可求出BE的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）证明：∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∵∠DBC+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，
∴BE⊥CE；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵∠ACB＝∠E＝90°，∠CAB＝∠CDB，
∴△ACB∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝，
∵∠CBE＝∠ABC，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴BD＝DE﹣BE＝﹣＝，
∴DB的长为．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）代入x＝0可求出点C的纵坐标，代入y＝0可求出点A、B的横坐标，此题得解；
（2）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），进而可得出PB、QE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBQ关于t的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）根据（2）的结论找出点P、Q的坐标，假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），进而可得出MF的长度，利用三角形的面积结合△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣x﹣4＝﹣4，
∴点C的坐标为（5，﹣4）；
当y＝0时，有x2﹣x﹣4＝3，
解得：x1＝﹣2，x5＝3，
∴点A的坐标为（﹣2，6），0）．
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（8，0），﹣4）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4．
过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（6t﹣2，点Q的坐标为（3﹣t，﹣，
∴PB＝3﹣（2t﹣7）＝5﹣2t，QE＝t，
∴S△PBQ＝PB•QE＝﹣t6+2t＝﹣（t﹣）3+．
∵﹣＜0，
∴当t＝时，△PBQ的面积取最大值．
（3）当△PBQ面积最大时，t＝，
此时点P的坐标为（，0），﹣1）．
假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），m﹣4），
∴MF＝m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）＝﹣m2+6m，
∴S△BMC＝MF•OB＝﹣m6+3m．
∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.3倍，
∴﹣m2+3m＝×1.72﹣3m+2＝0，
解得：m1＝8，m2＝2．
∵4＜m＜3，
∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.7倍，﹣4）或（2，﹣）．
成绩分组
频数
频率
50≤x＜60
8
0.16
60≤x＜70
12
a
70≤x＜80
■
0.5
80≤x＜90
3
0.06
90≤x≤100
b
c
合计
■
1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
B
C
B
C
D
C
C
C
A