中考数学二轮压轴题培优训练二次函数专题一0：范围问题（2份，原卷版+解析版）

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例1：（2021南京中考）已知二次函数的图像经过两点．
（1）求b的值．
（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．
（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）；（2）1；（3）或．
【解析】
【分析】（1）将点代入求解即可得；
（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；
（3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】解：（1）将点代入得：，
两式相减得：，
解得；
（2）由题意得：，
由（1）得：，
则此函数的顶点的纵坐标为，
将点代入得：，
解得，
则，
下面证明对于任意的两个正数，都有，
，
（当且仅当时，等号成立），
当时，，
则（当且仅当，即时，等号成立），
即，
故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；
（3）由得：，
则二次函数解析式为，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当时，则当时，；当时，，
即，
解得；
②如图，当时，
当时，，
当时，，
解得，
综上，的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．
专题过关
1、（2021温州中考）（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【分析】（1）将点（﹣2，0）代入求解．
（2）分别求出点A,B坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得6＝4a+4a﹣6，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x﹣8，
∵y＝x2﹣5x﹣8＝（x﹣1）5﹣9,
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣6）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣4x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x5﹣2x﹣8，
解得n＝2或n＝﹣3，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣8<xP＜5,﹣9≤yP＜16．
2、（2021嘉兴中考）（10分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m﹣n＝3得到关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝0，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，
当x＝t+3时，m＝（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣或．
3、（2021新疆中考）（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；
（3）设点P（a，y1），Q（2，y2）在抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）根据x＝﹣，可得抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1；
（2）由根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立等式可求出a的值；
（3）当x＝2时，y2＝3，由y1＞y2可列出不等式，求解即可．′
【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1；
（2）抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，可得y′＝ax2﹣2ax+3﹣3|a|，
∵抛物线的顶点落在x轴上，
∴△＝（2a）2﹣4a（3﹣3|a|）＝0，解得a＝或a＝﹣．
（3）当x＝2时，y2＝3，
若y1＞y2，则a3﹣2a2+3＞3，解得a＞2．
4、（2021绵阳中考）（14分）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．
【分析】（1）将A（a，﹣2a）代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解方程求出a，即可求得抛物线解析式，当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），建立方程求解即可；
（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，得出P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），进而得出M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解方程即可，将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解方程即可得出答案；
（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，利用勾股定理可得R'M＝＝，当n＝时，R'M长度的最小值为，进而可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，
解得：a＝﹣，
抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，
当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），
则，
解得或（舍去），
∴P的坐标为（1，﹣2）；
（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，
由（1）方法知，P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），
由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），
矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，
然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，
将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，
解得：t＝，或t＝﹣1（舍），
将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，
解得：t＝1+或t＝1﹣（舍）．
所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，
时间t的取值范围是：≤t≤1+；
（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），
当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），
过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，
则R'M＝＝，
又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n，
消去m得：R'M＝
＝
＝
＝，
当n＝时，R'M长度的最小值为，
此时，n＝﹣m2﹣2m+2＝，
解得：m＝﹣1±，
∴点R的坐标是（﹣1±，）．
5、（2021乐山中考）（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；
（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．
【分析】（1）把A,B代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论．
（2）由题意，x＝1或x＝3时，y取得最大值1,由此构建方程求解即可．
（3）把问题转化为不等式组，可得结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，经过点A（0，），B（2，﹣），
∴,
∴b＝﹣2a﹣1(a＞0)．
(2)∵二次函数y＝ax2﹣(2a+1)x+,a＞0,在1≤x≤3时，y的最大值为1,
∴x＝1时，y＝1x＝3时，y＝1,
∴1＝a﹣(2a+1)+或1＝9a﹣3(2a+1)+,
解得a＝﹣(舍弃）或a＝．
∴a＝．
(3)∵线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′,
∴A′(2,),B′(4,﹣)．
∵线段A′B′与抛物线y＝ax2﹣(2a+1)x++4a仅有一个交点,
∴,
解得，≤a≤．
或不等式组无解，
∴≤a≤．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题．
6、 （2021威海中考）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是 ；（直接写出结果即可）
（3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值．
【答案】(1)顶点A的坐标为；(2)；(3)或
【解析】
【分析】(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标；
(2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解；
(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值．
【详解】解：(1)由题意可知：
抛物线，
∴顶点A的坐标为；
(2)将代入中，
得到，
将代入中，
得到，
由已知条件知：，
∴，
整理得到：，
解得：，
故m的取值范围是：；
(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为，
分类讨论：
①当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故符合题意；
②当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故或都不符合题意；
③当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故符合题意；
综上所述，或．
【点睛】本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．
7、（2021泰州中考） 二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜＜2．
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案；
（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；
（3）利用（2）的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案．
【详解】（1）∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，
∴顶点横坐标为=．
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），
∴p=-1．
（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0），
∵-1＜0，
∴该二次函数的图象开口向下，
∵图象顶点在y轴右侧，
∴＞0，
∴，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴-1＜m＜a，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，
∴＜3，
解得：，
∴a的范围为1＜＜2．
【点睛】本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．
8、（2021吉林中考）（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范图；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解．
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
（3）①由0＜PQ≤7求出m取值范围，
②通过数形结合求解．
【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2+x﹣．
（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．
∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，
∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），
∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．
（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，
当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，
当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，
∴﹣3m+1＞0满足题意，
解得m＜．
②∵0＜PQ≤7，
∴0＜﹣3m+1≤7，
解得﹣2≤m＜，
如图，当x＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，
m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，
直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣，
∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点，
当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，
综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．
9、（2021永州中考）（12分）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．
【分析】（1）由待定系数法，及对称轴为直线x＝﹣，可求出二次函数的表达式；
（2）需要分三种情况：①b＜﹣；②b﹣3＞﹣；③b﹣3≤﹣≤b分别进行讨论；
（3）根据二次函数图象的增减性可得结论．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4），
∴c＝4；
∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4．
（2）当b2﹣c＝0时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x2+bx+b2，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当b＜﹣，即b＜0时，二次函数的最小值在x＝b处取到；
∴b2+b2+b2＝21，解得b＝，b＝﹣舍去；
②b﹣3＞﹣，即b＞2时，二次函数的最小值在x＝b﹣3处取到；
∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b＝4，b＝﹣1（舍去）；
③b﹣3≤﹣≤b，即0≤b≤2时，二次函数的最小值在x＝﹣处取到；
∴（﹣）2+b•（﹣）+b2＝21，解得b＝±2（舍去）．
综上，b的取值为或4．
（3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，
对称轴为直线：x＝1，
∵1＞0，
∴当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，且最大值为4；
∵二次函数y2＝2x2+x+m的对称轴为直线：x＝﹣，且2＞0，
∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，且最小值为m，
∵当0≤x≤1时，总有y2≥y1，
∴m≥4，即m的最小值为4．
10、（2021长春中考）（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．
（1）当m＝时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ；
（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+m的最小值为3，求m的值；
（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．
【分析】（1）将m＝代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x＝0，即可求得答案；
（2）运用勾股定理建立方程求解即可；
（3）分两种情况进行讨论：①当m＜0时，2（2m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；②当m＞0时，2（m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；
（4）分情况讨论：当m＞0时，若点B在PM边上，点C在MN边上，令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，解方程即可；若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+，解方程即可；若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，不符合题意；当m＜0时，若点B在NQ边上，点C在PM边上，无解．
【解答】解：（1）当m＝时，y＝2（x﹣）2+1，
∴顶点A（，1），
令x＝0，得y＝，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），
故答案为：（，1），（0，）；
（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA＝，
∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0，
解得：m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；
（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+m的最小值为3，
∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，
①当m＜0时，2（2m﹣m）2+m＝3，
解得：m＝1（舍）或m＝﹣，
②当m＞0时，2（m﹣m）2+m＝3，
解得：m＝3，
综上所述，m的值为﹣或3；
（4）如图1，当m＞0时，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m），
∴M（m，2），N（m，2﹣2m），
抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，
∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，
∴x＝m+，（x＝m﹣不符合题意，舍去），
∴B（m+，2），C（m，2m），
根据题意，得2m＝m+，
解得：m＝，
若点B在PM边上，点C在NQ边上，
则2﹣2m＝m+，
解得：m＝，
若点B在PQ边上，点C在NQ边上，
则4＝2﹣2m，
解得：m＝﹣1＜0，不符合题意；
当m＜0时，如图2，
若点B在NQ边上，点C在PM边上，
则2﹣2m＝2（x﹣m）2+2m，
∴x＝m±，
∴|m+|＝2或|m﹣|＝2，
解得：m＝±﹣3，
综上所述，m的值为或或±﹣3．
11、 (2021襄阳中考)（12分）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．
【分析】（1）先求出点A（0，1），点B（﹣2，0），将点A坐标代入解析式可求c的值；
（2）分a＞0，a＜0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；
（3）①分四种情况讨论，由“AAS”可证△AOM≌△PNA，可得OM＝AN，由三角形的面积公式可求解；
②分三种情况讨论，解不等式可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，
∴点A（0，1），点B（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A，
∴c＝1；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴对称轴为直线x＝1，
当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值，
∴9a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝；
当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y有最大值，
∴4a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝（不合题意舍去），
综上所述：a＝；
（3）①当a＜0时，则1﹣a＞1，
如图1，过点P作PN⊥y轴于N，
∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴点P坐标为（1，1﹣a），
∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，
∵AM⊥AP，PN⊥y轴，
∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，
∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，
∴∠PAN＝∠AMO，
∴△AOM≌△PNA（AAS），
∴OM＝AN＝﹣a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，1﹣a＞0时，即0＜a＜1，
如图2，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0时，即1＜a＜2，
如图3，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；
当a＝2时，点B与点M重合，不合题意，
当a＞0，1﹣a＜﹣1时，即a＞2，
如图4，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝a﹣2，
∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；
综上所述：S＝．
②当1＜a＜2时，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣（a﹣）2+≤，
∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞；
当a＜1且a≠0时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜或a＞（不合题意舍去）；
当a＞2时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜（不合题意舍去）或a＞，
综上所述：a＜或a＞．
12、 （2021河南中考）如图，抛物线与直线把交于点和点B．
求m和b的值；
求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．
【答案】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
将点A的坐标代入直线表达式得：，解得；
故，；
由得，直线和抛物线的表达式为：，，
联立上述两个函数表达式并解得，
即点B的坐标为，
从图象看，不等式 的解集为或；
当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
的距离为3，而AB的距离为3，故此时只有一个交点，即；
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，当 时，抛物线和MN交于抛物线的顶点，即时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上， 或 ．
【解析】用待定系数法即可求解；
求出点B的坐标为，再观察函数图象即可求解；
分类求解确定MN的位置，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中，分类求解确定MN的位置是解题的关键．
13、（2021广州中考）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）不在抛物线上；
（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）；
（3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝1．
【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，
将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，
∴点（2，4）不在抛物线上；
（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），
化简得（，），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而＝﹣（m﹣3）2+5，
∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，
此时顶点坐标为：（2，5）；
（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：
，解得，
∴直线EF的解析式为y＝2x+1，
由得：或，
∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），
∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．
14、（2020金华中考）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上．
（1）当m=5时，求n的值．
（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
【答案】（1）-4（2）1≤x≤5（3）0≤m＜1或1＜m＜2
【解析】
【分析】
1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出时，的值即可判断．
（3）由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．
【详解】解：（1）当时，，
当时，．
（2）当时，将代入函数表达式，得，
解得或（舍弃），
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．
（3）点与点不重合，
，
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，
当点与重合时，，
解得或，
当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，
点在线段上时，的取值范围是：或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题．
15、 （2020上海中考）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
【答案】（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0．
【解析】
【分析】
（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；
（2）设点C（m，-m+5），则BC=|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论．
【详解】（1）针对于直线y=﹣x+5，
令x=0，y=5，
∴B(0，5)，
令y=0，则﹣x+5=0，
∴x=10，
∴A(10，0)，
∴AB==5；
（2）设点C(m，﹣m+5)．
∵B(0，5)，
∴BC==|m|．
∵BC=，
∴|m|=，
∴m=±2．
∵点C在线段AB上，
∴m=2，
∴C(2，4)，
将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得，
∴，
∴抛物线y=﹣x2+x；
（3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0，
∴b=﹣10a，
∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)，
将x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜，
∴﹣＜a＜0．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．
16、（2020威海中考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点的坐标为
（1）求抛物线过点时顶点的坐标
（2）点的坐标记为，求与的函数表达式；
（3）已知点的坐标为，当取何值时，抛物线与线段只有一个交点.
【答案】（1）（1，1）或（3，5）；（2）y＝2x−1；（3）−3≤m≤3且m≠1．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；
（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出y与x的函数表达式；
（3）把C（0，2）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，求得m＝1或−3，结合（1）根据图象即可求得．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2−2mx＋m2＋2m−1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，整理得，m2−4m＋3＝0，
解得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2−2x＋2＝（x−1）2＋1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2−6x＋m2＋14＝（x−3）2＋5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2−2mx＋m2＋2m−1＝（x−m）2＋2m−1，
∴顶点A的坐标为（m，2m−1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x−1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x−1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，得m2＋2m−1＝2，
解得m＝1或−3，
所以当m＝1或−3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝−3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是−3≤m≤3且m≠1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
17、（2020临沂中考）已知抛物线．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）当a＞0时，；当a＜0时，或．
【解析】
【分析】
（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；
（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；
（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．
【详解】（1）∵，
∴，
∴其对称轴为：．
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线顶点在轴上，
∴，
解得：或，
当时，其解析式为：，
当时，其解析式为：，
综上，二次函数解析式为：或．
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，
则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，
则m＜-1或m＞3.
【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．
18、（2020扬州中考） 如图，已知点、，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”
（1）当时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．
【答案】（1）①；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当时，有最大值；当时，有最小值；（2）；
【解析】
【分析】
（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；
②由①得直线AB为，则，利用二次函数的性质，即可求出答案；
（2）根据题意，求出直线AB的直线为，设点P为（x，），则得到，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴，即可求出n的取值范围．
【详解】解：（1）当时，点B为（5，1），
①设直线AB为，则
，解得：，
∴；
②不完全同意小明的说法；理由如下：
由①得，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
∴；
∵，
∴当时，有最大值；
当时，有最小值；
∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在的位置时k值最大．
（2）∵、，
设直线AB为，则
，解得：，
∴，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
当，即n=2时，，则k随x的增大而增大，如何题意；
当n≠2时，则对称轴为：；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．
即k在中，k随x增大而增大；
当时，有
∴，解得：，
∴不等式组的解集为：；
当时，有
∴，解得：，
∴综合上述，n的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．
19、 （2020益阳中考）如图，在平面直角坐标系中，点坐标是，点为一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，点在运动过程中始终满足【提示：平面直角坐标系内点、的坐标分别为、，则】
（1）判断点在运动过程中是否经过点C（0，5）
（2）设动点的坐标为，求关于的函数表达式：填写下表，并在给定坐标系中画出 函数的图象：
（3）点关于轴的对称点为，点在直线的下方时，求线段长度的取值范围
【答案】（1）点在运动过程中经过点C（0，5）；（2）y与x的函数表达式为，表格和图象见解析；（3）1﹤PF﹤
【解析】
【分析】
（1）若点P经过点C，则有PH=5，利用公式求得PF，即可判断；
（2）由PH=PF得，化简可得到关于的函数表达式，分别将表中x值代入表达式，求出对应的y值，则可完善表格，再利用描点法画出对应的图象即可．
（3）由题意，求线段长度的取值范围即是求线段PH长度的取值范围，先求出直线的函数表达式，代入P的函数表达式解之得交点坐标，结合图象即可得到线段PH（即就是PF）长度的取值范围．
【详解】（1）若点P经过点C，则PH=5，
∵,
∴PF=PH，
故点P经过点C；
（2）由PH=PF得，
化简得：，
故y与x的函数表达式为；
分别将x=0、2、4、6、8代入表达式中，则对应的y=5、2、1、2、5，
填写表格为：
函数图象如下：
；
（2）设直线的函数表达式为y=kx+b，
将点F（4，2）、点（0，﹣5）代入，得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
将代入得：
，即，
解得：
分别代入中，得:
,
当x=4时，y=1，
∵点在直线的下方，且﹥1，
∴结合图象知，1﹤y﹤,
即1﹤PH﹤,
又PF=PH，
∴1﹤PF﹤,
【点睛】本题考查二次函数与动点问题，涉及求函数表达式、列表描点画图象、解一元二次方程等，解答的关键是认真审题，寻找相关信息的联系点，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
20、（2020长沙中考）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”
①（ ） ②（ ） ③（ ）
（2）若点与点关于x的“H函数” 的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求的值域或取值范围；
（3）若关于x的“H函数” （a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．
【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；（3）2＜＜2．
【解析】
【分析】
（1）根据“H函数”的定义即可判断；
（2）先根据题意可求出m,n的取值，代入得到a,b,c的关系，再根据对称轴在x=2的右侧即可求解；
（3）设“H点”为（p,q）和（-p,-q）,代入得到ap2+3c=0,2bp=q，得到a,c异号，再根据a+b+c=0，代入求出的取值，设函数与x轴的交点为（x1,0）（x2,0），t=，利用根与系数的关系得到=，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）①是 “H函数”②是 “H函数”③不是 “H函数”；
故答案为：√；√；×；
（2）∵A,B是“H点”
∴A,B关于原点对称，
∴m=4,n=1
∴A(1,4），B（-1，-4）
代入
得
解得
又∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴-＞2
∴-＞2
∴-1＜a＜0
∵a+c=0
∴0＜c＜0，
综上，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；
（3）∵是“H函数”
∴设H点为（p,q）和（-p,-q）,
代入得
解得ap2+3c=0,2bp=q
∵p2＞0
∴a,c异号，
∴ac＜0
∵a+b+c=0
∴b=-a-c，
∵
∴
∴
∴c2＜4a2
∴＜4
∴-2＜＜2
∴-2＜＜0
设t=，则-2＜t＜0
设函数与x轴的交点为（x1,0）（x2,0）
∴x1, x2是方程=0的两根
∴
=
=
=
=2
=
又∵-2＜t＜0
∴2＜＜2．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的性质及根与系数的关系．
21、（2020湘潭中考）如图，抛物线与轴交于，两点．

（1）若过点的直线是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点，使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围．
【答案】（1）①；②存在，或；（2）．
【解析】
【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；
②如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称点在对称轴上，连接、PB，根据轴对称得到，，求出点B的坐标，勾股定理得到，再根据，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；
（2）当时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当时，函数的增减性，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．
【详解】解：（1）①抛物线的对称轴为直线，
∴若过点的直线是抛物线的对称轴，
则，解得：b=4，
∴；
②存在，
如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点在对称轴上，连接、PB，
则，，
对于，令y=0，则，
解得：，
∴A（-1,0），B（5,0），
∴，
∴，
∴，
设点P（2，m），
由可得：，解得：，
∴，
同理，当点P在x轴下方时，，
综上所述，点或
（2）∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当时，取x=2，y有最大值，
即，
∴，解得：，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度不大，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．
22、（2020天门中考）把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；
（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不，见解析；（3），见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；
（2）根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上；
（3）根据抛物线的增减性质即可解答．
【详解】（1）抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为(-1，2)，
根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）动点P不在抛物线上．
理由如下：
∵抛物线的顶点为，开口向上，
∴抛物线的最低点的纵坐标为．
∵，
∴动点P不在抛物线上；
（3）．
理由如下：
由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵点都在抛物线上，且，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23、（2020河南中考）（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
【解答】（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，
∴点B（0，c），
∵OA＝OB＝c，
∴点A（c，0），
∴0＝﹣c2+2c+c，
∴c＝3或0（舍去），
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点G的坐标为（1，4）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），
∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，
∴﹣21≤yQ≤4或﹣21≤yQ≤﹣5．
24、（2020河池中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．
（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；
（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（3，﹣4）；（2）；（3）a≥或a≤﹣
【解析】
【分析】
（1）结合题意，利用配方法解决问题即可．
（2）求出两个抛物线的顶点坐标，根据A，C，D三点在同一条直线上，构建方程求解即可．
（3）求出两种特殊情形a的值，结合图象判断即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴y＝x2﹣6x+5，抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．
（2）如图1中，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F．
由题意抛物线C1为y＝﹣（x+1）（x﹣m）＝﹣（x﹣）2+，
∴C（，），
抛物线C2为y＝﹣（x﹣m）（x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
∴D（，），
∵A，C，D共线，CE∥DF，
∴＝，
∴＝，
解得m＝，
经检验，m＝是分式方程的解，
∴m＝．
（3）如图2﹣1，当a＞0时，
设抛物线的解析式为y＝a（（x+1）（x﹣3），
当抛物线经过F（4，3）时，3＝a×5×1，
∴a＝，
观察图象可知当a≥时，满足条件．
如图2﹣2中，当a＜0时，顶点在线段EF上时，顶点为（1，3），
把（1，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得a＝﹣，
观察图象可知当a≤﹣时，满足条件，
综上所述，满足条件的a的范围为：a≥或a≤﹣．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常压轴题．
25、 （2020广州中考）平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．
（1）用含的式子表示；
（2）求点的坐标；
（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．
【答案】（1）；（2）或；（3）当时，有＜
【解析】
【分析】（1）把代入：，即可得到答案；
（2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与的交点为，确定顶点的位置，分情况利用，求解，从而可得答案；
（3）分情况讨论，先求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解 结合二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）把代入：，


（2）
抛物线为：
抛物线的对称轴为：
顶点不在第一象限，
顶点在第四象限，
如图，设＜ 记对称轴与的交点为，
则

，





当＞同理可得：
综上：或
（3）

当，设为：

解得：
为

消去得：
由根与系数的关系得：
解得：

当时，
当时，
当时，，
当时，有＜
当，由于抛物线开口向上，情况不存在
综上：当时，有＜
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
26、（2020北京中考）在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中．
（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，
（2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值；
（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t值，再进行总结即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=c，
即抛物线必过（0，c），
∵，抛物线的对称轴为，
∴点M，N关于对称，
又∵，
∴，；
（2）由题意知，a＞0，
∴抛物线开口向上
∵抛物线的对称轴为，
∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立
情况2：当都位于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立
情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即
解得，
∴3≥2t，
∴
综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想．
27、（2020安徽中考）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【解析】
【分析】
（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；
（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
【详解】（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．
28、（2021鞍山中考改编）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；动点型；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）2≤t≤．
【分析】（1）运用待定系数法将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求得答案；
（2）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），过点O′作O′H⊥y轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，
以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，
则O′（，），OO′＝O′B＝，
以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），
过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM＝90°，O′H＝，O′M＝OO′＝，
∴MH＝＝＝，
∴t＝+＝，
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，
连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，
∵OB＝OC＝3，
∴⊙O经过点C，
连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则OM＝OB＝3，OE＝1，
∵∠MEO＝90°，
∴ME＝＝＝2，
∴t＝2，
综上所述，2≤t≤．
29、（2021本溪中考改编）（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠BAQ为直角时，求出直线BQ的表达式为y＝x+3，得到n＝5；当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出n＝；当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），
当∠BAQ为直角时，如图2﹣1，
设BQ交x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，
故设直线BQ的表达式为y＝x+t，
该直线过点B（0，3），故t＝3，
则直线BQ的表达式为y＝x+3，
当x＝时，y＝x+3＝5，
即n＝5；
②当∠BQA为直角时，
过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，
∴∠BQN＝∠MAQ，
∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，
即，则，
解得n＝；
③当∠BAQ为直角时，
同理可得，n＝﹣；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，
故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5．
30、（2020新疆中考改编）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点是A(1，3)，将OA绕点O逆时针旋转后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与的边分别交于M，N两点，将以直线MN为对称轴翻折，得到．
设点P的纵坐标为m．当在内部时，求m的取值范围；
【答案】；（2）
【分析】
（1）作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，然后证明△AOD≌△BOE，则AD=BE，OD=OE，即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）由点P为线段AC上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P与点A重合时；点P与点C重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；
【详解】解：（1）如图：作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵将OA绕点O逆时针旋转后得到OB，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠AOD=∠BOE，
∴△AOD≌△BOE，
∴AD=BE，OD=OE，
∵顶点A为（1，3），
∴AD=BE=1，OD=OE=3，
∴点B的坐标为（3，），
设抛物线的解析式为，
把点B代入，得
，
∴，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）∵P是线段AC上一动点，
∴，
∵当在内部时，
当点恰好与点C重合时，如图：
∵点B为（3，），
∴直线OB的解析式为，
令，则，
∴点C的坐标为（1，），
∴AC=，
∵P为AC的中点，
∴AP=，
∴，
∴m的取值范围是；
31、 （2020大庆中考改编）如图，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），且经过点和点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）把和点代入：，从而可得答案；
（2）记抛物线与轴的交点为 过作轴交抛物线于，先求解的坐标，可得当时，有 结合已知条件可得答案．
【详解】解：（1）把和点代入：，

解得：
所以：抛物线的解析式为：，
（2）
令
记抛物线与轴的交点为 过作轴交抛物线于，

令 则
解得：

抛物线的顶点为
当时，

当时，的取值范围是，


32、（2020咸宁中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点B且与直线相交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标；
（3）点在x轴的正半轴上，点是y轴正半轴上的一动点，且满足．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜
【解析】
【分析】
（1）利用一次函数求出A和B的坐标，结合点C坐标，求出二次函数表达式；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，当点P在x轴下方时，AP与y轴交于点Q，求出AQ表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P；
（3）①过点C作CD⊥x轴于点D，证明△MNO∽△NCD，可得，整理可得结果；
②作以MC为直径的圆E，根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置，即可得到m的取值范围.
【详解】解：（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，
∴A（4，0），B（0，2），
∵抛物线经过B（0，2），，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足，
∵，
∴，
当点P在x轴下方时，如图，AP与y轴交于点Q，
∵，
∴B，Q关于x轴对称，
∴Q（0，-2），又A（4，0），
设直线AQ的表达式为y=px+q，代入，
，解得：，
∴直线AQ的表达式为：，联立得：
，解得：x=3或-2，
∴点P的坐标为（3，）或（-2，-3），
综上，当时，点P的坐标为：或（3，）或（-2，-3）；
（3）①如图，∠MNC=90°，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠MNO+∠CND=90°，
∵∠OMN+∠MNO=90°，
∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°，
∴△MNO∽△NCD，
∴，即，
整理得：；
②如图，∵∠MNC=90°，
以MC为直径画圆E，
∵，
∴点N在线段OD上（不含O和D），即圆E与线段OD有两个交点（不含O和D），
∵点M在y轴正半轴，
当圆E与线段OD相切时，
有NE=MC，即NE2=MC2，
∵M（0，m），，
∴E（，），
∴=，
解得：m=，
当点M与点O重合时，如图，
此时圆E与线段OD（不含O和D）有一个交点，
∴当0＜m＜时，圆E与线段OD有两个交点，
故m的取值范围是：0＜m＜.
【点睛】本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.
33、（2020襄阳中考改编）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B．

（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）将线段绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】（1）A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）对直线，分别令x=0，y=0求出相应的y，x的值即得点A、C的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称性即可求出点B的坐标；
（2）当m＞0时，分旋转后点与点落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3，分别用m的代数式表示出点与点的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出m的值，进而可得m的范围；当m＜0时，用同样的方法可再求出m的一个范围，从而可得结果．
【详解】解：（1）对直线，当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，
∴点A的坐标是（0，2），点C的坐标是（4，0），
把点A、C两点的坐标代入抛物线的解析式，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴是直线，C（4，0），
∴点B的坐标为（﹣2，0）；
∴A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是；
（2）若m＞0，当旋转后点落在抛物线上时，如图2，线段与抛物线只有一个公共点，
∵点的坐标是（m+2，m），
∴，解得：或（舍去）；
当旋转后点落在抛物线上时，如图3，线段与抛物线只有一个公共点，
∵点的坐标是（m，m），
∴，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；
∴当m＞0时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：；
若m＜0，当旋转后点落在抛物线上时，如图4，线段与抛物线只有一个公共点，
∵点的坐标是（m，m），
∴，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；
当旋转后点落在抛物线上时，如图5，线段与抛物线只有一个公共点，
∵点的坐标是（m+2，m），
∴，解得： 或（舍去）；
∴当m＜0时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：；
综上，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：或．
34、 （2020吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形．
（1）求的值．
（2）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；
（2）分，，，四种情况讨论，结合图形分析即可．
【详解】解：（1）将点代入
得，
解得b=1,；
（2）①如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，
即且，
解得，
解得，
∴，
②如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，
即，解得，
∴；
③当时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；
④如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，
即，解得或，
故，
综上所述或．
【点睛】本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M、P、Q的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．
35、（2020丹东中考改编）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求的值和点坐标；
（3）如图2，是轴上一点，其坐标为，动点从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设的运动时间为（），连接，过作于点，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围．
【答案】（1）；（2）m=2，D(﹣1，)；（3）
0＜t≤．
【解析】
【分析】
(1)根据A，C两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．
(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B点坐标，代入一次函数,即可求出m的值，联立二次函数与一次函数可求出D点坐标．
(3)由A，D两点坐标求出AD的函数关系式，因为以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，所以∥AD，即可求出的函数关系式，设直线与抛物线交于第一象限P点，所以当与P重合时，t有最大值，利用中点坐标公式求出PQ中点H点坐标,进而求出MH的函数关系式，令y=0求出函数与x轴交点坐标，从而可求出t的值,求出t的取值范围．
【详解】解：(1)∵A，
把A,C代入抛物线，
得：
解得
∴．
（2）令y=0即，
解得 ，
∴B（4,0）
把B（4,0）代入
得
m=2
，
∴ 得 或
∴B(4,0),D(﹣1，)
∴,m=2，D(﹣1，)．
（3）由（2）问得D(﹣1，)，又A，
设AD：y=kx+b，
，
∴ ，
∴AD：y=x+5，
又GM⊥AD，
∴可设GM： y=x+p，
以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，
∴∥AD，
可设：y=x+q，又Q，代入，
得：×+q=0，
q=2，
∴：y=x+2，
设直线与抛物线交于第一象限N点,,所以当与N点重合时,t有最大值，
∴ ，
解得： 或 ，
∴N(1,)又Q，
设H为N,Q中点，
则H（，），
又∵H在直线GM上，
∴把H代入GM y=x+p ，
得：，
P= ，
∴y=x+，
令y=0得：0=x+，
∴x= ，
即QM=+= ，
∵M的速度为5，
∴t=÷5= ，
∴0＜t≤．
...
...
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...
...
...
5
2
1
2
5
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