中考数学二轮压轴题培优训练类型七：抛物线上平行四边形存在性问题的探究（2份，原卷版+解析版）

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第一步：寻找分类标准；
第二步：画图；
第三步：计算．
平行四边形顶点坐标公式：
□ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA) ，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，
则xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD．
证明： 如图，连接AC，BD，相交于点E．∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(，)．又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(，)．
∴xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD．即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
典例分析
例：（2021郴州中考改编）（12分）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a（x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；
（2）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；
②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
专题过关
1、 （2021湘西中考改编） 如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3）存在，或．
【解析】
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；
（3）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）存在，理由如下：
由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：
连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，
∴点D为AC、MN的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
解得：，
∴；
②当AM为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
③当AN为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．
2、（2021锦州中考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．
（1）求抛物线的表达式．
（2）M为抛物线上的动点．N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；
【考点】二次函数综合题．
【专题】数形结合；分类讨论；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；模型思想．
【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝；
（2）点M的坐标为（，）或（，）；
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝x+1＝1，
∴C点坐标为（0，1），
令y＝0，则，①
∴，
∴A点坐标为（，0），
令x＝6，则y＝，
∴D点坐标为（），
将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：y＝；
（2）设N（n，0），
∵四边形CDMN为平行四边形，
∴由平移与坐标关系可得M（n+6，），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴n2+9n﹣4＝0，
∴，
∴点M的坐标为（，）或（，）；
3、（2021黔东南中考改编）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；多边形与平行四边形；图形的相似；数据分析观念．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上平移3个单位得到点Q（P），即可求解；
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，解得，
∴抛物线得函数关系为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣＝1，
故设点P（1，m），
设点Q（x，0），
当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，
点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上平移3个单位得到点Q（P），
则1±3＝x且m±3＝0，
解得或，
故点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；
4、（2021海南中考改编）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为、点C的坐标为．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图，有两动点在的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线按方向向终点B运动，点E沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，在点运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接得到的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点F的坐标．
【答案】（1）；（2）点F的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）直接将两点坐标代入解析式中求出a和c的值即可；
（2）分别讨论当点D在线段上运动时的情况和当点D在线段上的情况，利用平行四边形的性质和平移的知识表示出F点的坐标，再代入抛物线解析式中计算即可．
【详解】（1）∵抛物线经过两点，

解得
该地物线的函数表达式为
（2）如图4-4，当点D在线段上运动时，；
∵，
当四边形ADFE平行四边形时，
AE可通过平移得到EF，
∵A到D横坐标加1，纵坐标加，
∴，
∴，
化简得：，
∴，
∴，
∴;
如图4-5，当点D在线段上运动时，
AE可通过平移得到EF，
∵，
∵A到D横坐标加，纵坐标不变，
∴，
∴
∴，
因为，
∴，
∴，
综上可得，F点的坐标为或．

5、（2021赤峰中考）如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，符合题意的点坐标为或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先求抛物线与y轴交点，利用勾股定理求，利用待定系数法求直线的解析式，由，交于点，可得为定值，由，把，记为定值，再求；再利用二次函数的性质可得答案；
（3）当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上，，点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，当点Q在x轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q与E的纵坐标互为相反数即可．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得，
∴；
故答案为；
（2）将代得，
∴，
设直线的解析式为将，，
得，
解得，，
∴，
∵，交于点，
∴为定值，
∵，
把，记为定值，
过点作轴，垂足为，交于点，
设，则，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴有最大值，此时，
将代入中，得；
（3）存在，符合题意的点坐标为或或；
当点Q在x轴上方抛物线上时，
因为PF在x轴上，
又∵，
∴点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，
∴y=，
∴，
∴解得，
∵x=时为E点，
∴，
Q1()，
当点Q在x轴下方抛物线上时，
∵PF在x轴上，
又∵四边形平行四边形，
∴Q与E的纵坐标互为相反数，
所以yQ=，
∴，
整理得，
△=，
解得，
∴Q2（），Q3（），
符合题意的点坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质是解题关键．
6、（2021凉山中考）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理求出OA、OC，得出点A、C的坐标，进而得出点B的坐标，运用待定系数法即可求出答案；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，利用待定系数法求出设直线BC解析式，设P(t，﹣t2﹣2t+3)，则K(t，t+3)，根据S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC，得出S四边形PBAC＝﹣(t+)2+，运用二次函数求最值方法即可得出答案；
（3）如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方.①当点Q在x轴上方时，根据P与Q纵坐标相等，建立方程求解即可；②当点Q在x轴下方时，根据P与Q纵坐标互为相反数，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，
∴OA2+OC4＝AC2，即OA2+(8OA)2＝()2，
解得：OA＝8，
∴OC＝3，
∴A(1，6)，3)，
∵OB＝OC＝3，
∴B(﹣4，0)，
设抛物线解析式为y＝a(x+3)(x﹣3)，将C(0，
得：﹣3a＝4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣(x+3)(x﹣4)＝﹣x2﹣2x+2，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+8；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将B(﹣3，C(4，
得：，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x+2，
设P(t，﹣t2﹣2t+3)，则K(t，
∴PK＝﹣t2﹣2t+8﹣(t+3)＝﹣t2﹣8t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK•(t+6)+PK＝2﹣3t)，
S△ABC＝AB•OC＝，
∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝(﹣t2﹣3t)+6＝﹣(t+)2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣﹣时，四边形PBAC的面积最大，)；
（3）存在.如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方．
①当点Q在x轴上方时，P与Q纵坐标相等，
∴﹣x3﹣2x+3＝，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣(舍去)，
∴Q1(﹣，)，
②当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，
∴﹣x2﹣5x+3＝﹣，
解得：x7＝﹣，x7＝，
∴Q2(﹣，﹣)，Q3(，﹣)，
综上所述，Q点的坐标为Q1(﹣，)，Q6(﹣，﹣)，Q3(，﹣)．
7、（2021重庆中考B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）8；（3）G（）或G（）或G（）．
【分析】（1）直角代入点A，B坐标即可；
（2）作PE∥y轴交直线AD于E，通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积；
（3）通过平移距离为4，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段DE，分DE为边还是对角线，通过点的平移得出G的横坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得
，
∴，
∴y＝x2﹣3x﹣4，
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴点C（0，﹣4），
∵点D与点C关于直线l对称，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣1，0），
∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，
设P（m，m2﹣3m﹣4），
作PE∥y轴交直线AD于E，
∴E（m，﹣m﹣1），
∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）
＝﹣m2+2m+3，
∴S△APD＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，
当m＝﹣＝1时，S△APD最大为＝8，
（3）∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴沿AD方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
∵P（1，﹣6），
∴E（5，﹣10），
抛物线y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，
∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，
当DE为平行四边形的边时：
若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴，
若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，
∴，
若DE为平行四边形的对角线时，
若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，
∴G的横坐标为，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴
∴G（）或G（）或G（），
8、（2021南充中考）（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；
（3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5,4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①；
（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，
故点B的坐标为（4,0），点C（0,4），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
此时点Q的坐标为（2，﹣2）；
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；
（3）∵D是OC的中点，则点D（0,2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x﹣2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
故设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点E的坐标为（5,4），
设点F的坐标为（0，m），
由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝；
故点F的坐标为（0,1）或（0，﹣1）或（0，）．
9、（2021重庆中考A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】（1）；（2）t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 点P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析
【解析】
分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P，其中0