初中数学人教版（2024）九年级下册26.1.1 反比例函数精品一课一练

这是一份初中数学人教版（2024）九年级下册26.1.1 反比例函数精品一课一练，文件包含人教版数学九年级下册重难点培优训练专题263反比例函数的对称性原卷版doc、人教版数学九年级下册重难点培优训练专题263反比例函数的对称性解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
注意事项：
本试卷满分100分，试题共22题，选择10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•房县期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2＝10π．
解得：r＝2．
∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝（k＜0）与⊙O的一个交点．
∴﹣2a2＝k且＝r．
∴a2＝8．
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
则反比例函数的解析式是：y＝﹣．
故选：D．
2．（2019秋•港南区期末）正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（2，1）
【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y＝2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称．
【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
3．（2021秋•龙泉驿区期中）如图，过原点的一条直线与反比例函数（k≠0）的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为（3，﹣5），则B点的坐标为（ ）
A．（3，﹣5）B．（﹣5，3）C．（﹣3，+5）D．（+3，﹣5）
【分析】根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答．
【解答】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴它的另一个交点的坐标是（﹣3，+5）．
故选：C．
4．（2018秋•兰州期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（4a，a）是反比例函数y＝（k＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k的值为（ ）
A．16B．1C．4D．﹣16
【分析】根据反比例函数的中心对称性得到正方形OABC的面积＝16，则4a×4a＝16，解得a＝1（a＝﹣1舍去），所以P点坐标为（4，1），然后把P点坐标代入y＝即可求出k．
【解答】解：∵图中阴影部分的面积等于16，
∴正方形OABC的面积＝16，
∵P点坐标为（4a，a），
∴4a×4a＝16，
∴a＝1（a＝﹣1舍去），
∴P点坐标为（4，1），
把P（4，1）代入y＝，得
k＝4×1＝4．
故选：C．
5．（2017秋•连平县校级月考）对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是（ ）
A．关于原点中心对称B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称D．关于x轴对称
【分析】根据反比例函数图象的对称性判断即可．
【解答】解：反比例函数y＝的图象关于原点中心对称、关于直线y＝x对称、关于直线y＝﹣x对称，
∵它的图象在第一、三象限，
∴不关于x轴对称，
A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意，
故选：D．
6．（2022秋•绿园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是第一象限内一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连结AO，点C是线段OA上一点，且OC＝2AC．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D．若BD＝1，则AB的长为（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】作CE⊥x轴于E，则CE∥AB，即可得出＝＝＝，由D的纵坐标为1，求得D的横坐标为k，进而求得C的横坐标为k，代入y＝即可求得CE＝，进而求得AB＝．
【解答】解：作CE⊥x轴于E，
∵AB⊥x轴于点B，
∴CE∥AB，
∴＝＝，
∵OC＝2AC，
∴＝＝＝，
∵BD＝1，
∴D的纵坐标为1，
∵点C、D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴D的坐标为（k，1），
∴OB＝k，
∴OE＝k，
∴C的横坐标为k，
∴点C的纵坐标为y＝＝，
∴CE＝，
∴AB＝CE＝，
故选：C．
7．（2022秋•潜山市月考）若一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限内有两个交点，且其中一个交点的横坐标为﹣1，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】依据直线y＝ax+b与反比例函数y＝﹣图象在第二象限内有一个交点的横坐标为﹣1，即可得a﹣b+c＝0，a＞0，进而得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣图象在第二象限内有一个交点的横坐标为﹣1，
∴c＝﹣a+b，
∴a﹣b+c＝0，
∵一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限内有两个交点，
∴a＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c过（﹣1，0）点，
故选：A．
8．（2022春•吴中区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，P为正方形ABCD的对称中心，A，B分别在x轴和y轴上，双曲线y＝（x＞0）经过 C、P两点，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．B．3C．D．4
【分析】作CH⊥y轴于H，设OA＝a，OB＝b，则A（a，0），利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH＝OA＝a，OB＝CH＝b，从而得出C（b，a+b），P（，），根据k＝xy得到关于a、b的方程组，解方程组即可得出答案．
【解答】解：作CH⊥y轴于H，
设OA＝a，OB＝b，则A（a，0），
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OBA＝∠HCB，
∵∠AOB＝∠BHC，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA＝a，OB＝CH＝b，
∴C（b，a+b），
∵P为正方形ABCD的对称中心，
∴点P为AC的中点，
∴P（，），
∵双曲线y＝（x＞0）经过 C、P两点，
∴b（a+b）＝•＝4，
解得a＝3，b＝1，
∴OA＝3，OB＝1，
∴AB＝＝，
故选：C．
9．（2022秋•杜集区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数（k≠0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（﹣3，1），则k的值为（ ）
A．B．﹣3C．3D．
【分析】根据矩形的性质得：矩形DEOF的面积＝矩形BGOH的面积，则矩形BGOH的面积为3，从而得出k的值．
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，
∴△ACD＝S△ABC，S△AOE＝S△AOG，S△COF＝S△COH，
∴矩形DEOF的面积＝矩形BGOH的面积，
∵点D的坐标为（﹣3，1），
∴矩形DEOF的面积为3，
∴矩形BGOH的面积为3，
∵点B在第四象限，
∴k＝﹣3，
故选：B．
10．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点M（1，3），交边BC于点N，若点B关于直线MN的对称点B′恰好在x轴上，则OC的长为（ ）
A．4B．3﹣1C．+1D．+2
【分析】过点M作MQ⊥OC，垂足为Q，连接MB′，NB′，由于四边形OABC是矩形，且点B和点B′关于直线MN对称．且点B′正好落在边OC上，可得△MB′Q∽△B′NC，然后M、N两点的坐标用含a的代数式表示出来，再由相似三角形对应边成比例求出B′C和QB′的长，然后利用勾股定理求出MB′的长，进而求出OC的长．
【解答】解：过点M作MQ⊥OC，垂足为Q，连接MB′，NB′，如图所示：
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点M（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴y＝，
设N（ a，），则B（a，3），
又∵点B和点B′关于直线MN对称，
∴MB＝MB′，∠B＝∠MB′N＝90°，
∵∠MQB′＝∠B′CN＝90°，∠MB′Q+∠NB′C＝90°
又∵∠NB′C+∠B′NC＝90°，
∴∠MB′Q＝∠B′NC，
∴△MB′Q∽△B′NC，
∴，即 ，
解得：B′C＝6a，QB′＝1，
∴MB′2＝MQ2+QB′2＝32+12＝10，
即a﹣1＝，
∴OC＝a＝，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．（2021春•盐都区月考）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点（2，1），则其另一个交点坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是（2，1），
∴另一个交点的坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
12．（2021•滨海县一模）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是 （﹣3，﹣4） ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案是：（﹣3，﹣4）．
13．（2021•茶陵县模拟）如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 y＝ ．
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
πr2＝10π
解得：r＝2．
∵点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴3a2＝k．
＝r
∴a2＝×（2）2＝4．
∴k＝3×4＝12，
则反比例函数的解析式是：y＝．
故答案是：y＝．
14．（2022秋•潜山市月考）若双曲线y＝上的两点（x1，y1）（x2，y2）满足x1＜0＜x2，y1＞y2，则k的取值范围 k＞1 ．
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝，（x1，y1），（x2，y2）为其图象上两点，若x1＜0＜x2，y1＞y2，
∴该函数图象经过第二、四象限，
故1﹣k＜0，k＞1．
故答案为：k＞1．
15．（2022秋•双流区月考）如图，两个边长分别为a，b（a＞b）的正方形连在一起，三点C，B，F在同一直线上，反比例函数y＝在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E．若OB2﹣BE2＝8，则k的值是 4 ．
【分析】设E点坐标为（x，y），则AO+DE＝x，AB﹣BD＝y，根据△ABO和△BED都是等腰直角三角形，得到EB＝BD，OB＝AB，再根据OB2﹣EB2＝8，运用平方差公式即可得到（AO+DE）（AB﹣BD）＝8，进而得到xy＝4，据此可得k＝4．
【解答】解：设E点坐标为（x，y），则AO+DE＝x，AB﹣BD＝y，
∵△ABO和△BED都是等腰直角三角形，
∴EB＝BD，OB＝AB，BD＝DE，OA＝AB，
∵OB2﹣EB2＝8，
∴2AB2﹣2BD2＝8，
即AB2﹣BD2＝4，
∴（AB+BD）（AB﹣BD）＝4，
∴（AO+DE）（AB﹣BD）＝4，
∴xy＝4，
∴k＝4．
故答案为：4．
16．（2022秋•东营月考）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2023＝ 2 ．
【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2021除以3，根据商的情况确定出a2023即可．
【解答】解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，
A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2＝﹣＝﹣，
B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2＝﹣，
A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3＝﹣＝，
B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3＝﹣，
A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4＝﹣＝3，
B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，
…
由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，
∵2023÷3＝674…1，
∴a2023＝a1＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共6小题）
17．（2022秋•娄星区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两个顶点B和C都在函数（x＞0）的图象上，若对角线AC⊥x轴，且AC＝8，求另一条对角线BD的长．
【分析】先根据对角线AC⊥x轴，且AC＝8，可知当y＝8时，8＝，x＝3，得OA＝3，根据菱形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵对角线AC⊥x轴，且AC＝8，
∴当y＝8时，8＝，
∴x＝3，
∴OA＝3，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD＝2OA＝6．
18．（2021秋•莲湖区期末）如图所示，矩形AOBC的边AO，OB在两坐标轴上，双曲线与矩形AOBC的边交于点D，E，点C（8，5），求D，E两点的坐标．
【分析】由题意可知点D的纵坐标为5，点E的横坐标为8，分别代入即可求得点的坐标．
【解答】解：∵点C（8，5），AC∥x轴，BC∥y轴，
∴D点的纵坐标为5，E点的横坐标为8，
∴y＝5时；x＝8时y＝1，
∴点，点E（8，1）．
19．（2022•鹿城区校级开学）如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B，C都在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且AB∥x轴，点C在AB下方．设点B的横坐标为a（a＜0）．
（1）点A的坐标为 （2a，﹣） （用含a的代数式表示）．
（2）当∠A＝∠B＝45°时，求a的值．
【分析】（1）先求得点B的坐标，进而利用y＝﹣（x＜0）即可求得点A的坐标；
（2）利用等腰直角三角形的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵点B的横坐标为a（a＜0），
∴B（a，﹣），
∵AB∥x轴，
∴A点的纵坐标为﹣，
代入y＝﹣（x＜0）得﹣＝﹣，
∴x＝2a，
∴点A的坐标为（2a，﹣），
故答案为：（2a，﹣）；
（2）∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴C（a，﹣+a），
∵点C在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴a（﹣+a）＝﹣2，
解得a＝﹣或a＝（舍去），
a的值为﹣．
20．（2022•许昌二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和矩形ABCD都在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝1，AD＝2，点A的坐标为（1，4）．
（1）直接写出B，C，D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点A、C恰好同时落在反比例函数的图象上，请求出矩形的平移距离和k的值．
【分析】（1）根据矩形性质得出AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，即可得出答案；
（2）设矩形平移后A的坐标是（1，4﹣m），C的坐标是（3，3﹣m），得出k＝1×（4﹣m）＝3（3﹣m），求出m，进而求得反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB＝1，AD＝2，点A的坐标为（1，4）．
∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，
∴B（1，3），C（3，3），D（3，4）；
（2）设矩形平移的距离为m，则平移后的A的坐标是（1，4﹣m），C的坐标是（3，3﹣m），
∵A、C落在反比例函数的图象上，
∴k＝1×（4﹣m）＝3（3﹣m），
解得m＝2.5，
∴k＝1×（4﹣2.5）＝1.5．
∴矩形的平移距离为2.5，k的值为1.5
21．（2022•濮阳二模）研究函数图象性质，需要“列表、描点、用平滑的线依次连接各点“画出函数图象，这个方法叫作描点法．为研究函数图象性质我们也可以利用它们的数学关系去理性分析，对函数的图象作合情推理，然后利用描点法画出图象进行验证．
（1）在研究函数的图象前，老师预先给出了下面四个图象．请你利用函数关系，分析下列图象中可能是函数图象的是 C ．
（2）结合分析的函数图象，写出函数图象的二条性质；
①性质一： 当x＜0时，y随x的增大而增大 ；
②性质二： 当x＞0时，y随x的增大而减小 ．
（3）若y＝x+b与函数图象的两个分支都有交点，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）根据函数解析式可知x≠0，y＞0，故函数的图象在第一、二选项；
（2）根据图象得出结论；
（3）根据图象直线y＝x+b需与函数y＝﹣有交点，据此利用根的判别式得到关于b的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）∵函数，
∴x≠0，y＞0，
∴函数的图象在第一、二选项，
故选：C．
（2）结合分析的函数图象，函数图象的二条性质；
①性质一：当x＜0时，y随x的增大而增大；
②性质二：当x＞0时，y随x的增大而减小．
故答案为：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．
（3）若y＝x+b与函数图象的两个分支都有交点，则直线y＝x+b经过第一、二、三象限，
∴b＞0，
令x+b＝﹣，整理得x2+bx+4＝0，
由题意可知Δ＝b﹣4×1×4≥0，
解得b≥4或b≥﹣4（舍去），
∴b的取值范围是b≥4．
22．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．
（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是 （﹣2，﹣2） ；
函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是 （0，0）或（4，4） ；（直接填结果）
（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函y＝的图象上有“等值点”A（2，2），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为4可得×|b|×|2﹣b|＝4，分类求解即可．
【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝2x+2，解得x＝﹣2
∴函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；
在y＝x2﹣3x中，令x2﹣3x＝x，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴函数y＝x2﹣3x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（4，4）；
故答案为：（﹣2，﹣2）；（0，0）或（4，4）；
（2）在函数y＝中，令x＝，
解得：x＝2，
∴A（2，2），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x＝b，
∴B（b，b），
∵BC⊥x轴，
∴C（b，0），
∴BC＝|b|，
∵△ABC的面积为4，
∴×|b|×|2﹣b|＝4，
当b＜0时，b2﹣4b﹣32＝0，
解得b＝﹣4，
当0≤b＜2时，b2﹣4b+32＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×32＝﹣112＜0，
∴方程b2﹣4b+32＝0没有实数根，
当b≥2时，b2﹣4b﹣32＝0，
解得：b＝8，
综上所述，b的值为﹣4或8．