人教版数学九年级下册重难点培优训练专题27.14相似三角形的几何综合问题（2份，原卷版+解析版）

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专题27.14相似三角形的几何综合问题（重难点培优）一、解答题1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．(1)求证：△ABD∽△CBE；(2)若CD＝CF，试求∠ABC的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到；（2）设∠B＝x ，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答．（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE  ∴∠BAD＝∠BCE 而∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE（2）解：设∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，∴∠ADC＝ 又∵CD＝CF∴∠ADC＝∠DFC＝  ∴   ∴即【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．法的应用是解题关键．2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F．（1）求证：△BEF∽△CFG；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长．【答案】（1）见解析  （2）【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG；（2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG．【详解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F∴∠B=∠C=∠EFG= ∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=∴∠BEF=∠CFG∴△BEF∽△CFG(2)解: ∵△BEF∽△CFG∴∴ ．【点睛】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．【答案】（1）见解析；（2）CE=.【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：∵D，E是AC，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，AB=2DE，∴∠ABF=∠DGF，∵F为AD中点，∴AF=DF，在△ABF和△DGF中，∴△ABF≌△DGF（AAS），∴AB=GD；（2）∵AB=2，∴CD=2，DE=1，∴GE=3，∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA，∵CG=EG，∴∠GEC=∠GCE，∵DE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，∴△GEC∽△CBA，设CE=x，则BC=2x，∴，即，解得：，（负值舍去）∴CE=.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键．4．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，（1）求证：．（2）若，求与的数量关系．（3）在（2）的条件下，请添加一条线段（图中已画线段）长度，求任意一个三角形的面积．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，可得，可证，根据矩形性质，可证；（2）由，可得，由折叠，∠DMC=，可求，在中，即可；（3）开放答案，设AB=6，，由勾股定理可得，可求S△BCE= 9，S△CDM=S△CEM，S△AME =．【详解】解：（1）∵将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，∴，∴，∵矩形，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵折叠，∴∠DMC=，又∵∠DMC+=180°，∴∠DMC=，∴，即，在中，，∴，∵，∴；（3）开放答案设AB=6，∵，∴，∴在Rt△BCE中，由勾股定理，∴S△BCE=BE·BC=，当tan∠MCD=，∴，∴S△CDM=S△CEM=，∴AE=6-3=3，AM=AD-DM=，∴S△AME=AE·AM=．【点睛】本题考查折叠性质，矩形性质，平角定义，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，掌握上述知识、灵活应用相似三角形的判定与性质是解题关键．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点．（1）求证：；（2）若，，求的值．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）只要证明△DAE∽△CAD，可得，推出AD2＝AC•AE即可解决问题；（2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF∥AC，可得，由此可得，再利用第一问的结论，即可解决问题；【详解】（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵，于，∴∠DAE＝∠DAC，∴△DAE∽△CAD，∴，∴AD2＝AC•AE，∵AC＝AB，∴AD2＝AB•AE．（2）解：如图，连接DF．∵AB＝5，∠ADB＝90°，BF＝AF，∴DFAB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴DF∥AC，∴，∴∵AD2＝AB•AE．∴ ∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．6．（2021·湖北武汉·九年级阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：；【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值；【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证；（2）证明，利用线段比等于相似比即可求得；（3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB．【详解】解：（1）如图，∵，，，∴，且，∴，∴，∴（2）如图2，连接BD，∵，，∴在正方形ABCD中，，∴，，，∴；（3）如图，过点作，交于点，连接 又 即【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键．7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．（1）求证：△AFE∽△ADC．（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）EB=2FD．【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证；（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果．【详解】解：（1）∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠BDF，∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，∴∠AFE=∠ADC，又∵∠BAD=∠DAC，∴△AFE∽△ADC；（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，∴∠AEF=∠C，∵∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵，∴，∴，∵，∴，∴EB=2FD．【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键．8．（2022·全国·九年级课时练习）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点．（1）如图1，连接．求证：；（2）如图2，连接．①求证：；②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）四边形是菱形，，则是等边三角形，根据，，，即可得到三角形全等；（2）①连接，延长到点，使，连接，求证出，是等边三角形，即可以证明；②由①中的条件可证，所以，即可以求出DG．【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，，∴ ，，∴是等边三角形，∴，，∵ ∴．（2）①证明：连接，延长到点，使，连接．由（1）知，∴，，，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，，∴∴是等边三角形，∴．②由①可知，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键．9．（2021·山东济南·九年级期末）（1）如图1，△ABC和△DEC均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．填空：①请写出图1中的一对全等三角形： ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ；③∠AFB的度数为 ．（2）如图2，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F．请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，△ABC和△ADE均为直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，AB＝5，AE＝3，当点B在线段ED的延长线上时，求线段BD和CE的长度．【答案】（1）①△ACD≌△BCE；②AD=BE；③60°；（2）∠AFB＝45°，AD＝BE，理由见解析；（3）BD＝4﹣，EC＝【分析】（1）证明△ACD≌△BCE即可解决问题；（2）证明△ACD∽△BCE，可得，∠CBF＝∠CAF，可得结论；（3）分两种情况分别求解即可解决问题；【详解】解：（1）①△ACD≌△BCE；②AD=BE；③60°；思路如下：如图1中，∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠ACD＝∠CBF，设BC交AF于点O．∵∠AOC＝∠BOF，∴∠BFO＝∠ACO＝60°，∴∠AFB＝60°．（2）结论：∠AFB＝45°，AD＝BE． 理由：如图2中，∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，∴∠ACD＝45°+∠BCD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE，∴，∠CBF＝∠CAF，∴AD＝BE，∵∠AFB+∠CBF＝∠ACB+∠CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝45°．（3）如图3中，在Rt△ABE中，BE＝，在Rt△ADE中，DE＝AE＝，∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，∵∠DAE＝∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝∠CAE，∵，∴ ，∴△BAD∽△CAE，∴， ∴EC＝BD·【点睛】本题主要考查了几何变换综合，结合等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理计算是解题的关键．10．（2021·河南开封·九年级期中）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为___________，位置关系为___________．（直接写出答案）（2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系；（3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案）【答案】（1），；（2），；（3）260【分析】（1）延长DG交BE于M，交AB于N，证明△DAG≌△BAE，根据全等三角形的性质得到BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，根据三角形内角和定理得到BE⊥DG；（2）设与交于，与交于点，由比的性质求出、的值，由相似三角形的判定证得，由相似三角形的性质得出，，根据三角形和内角和定理得出，即；（3）连接EG、BD，由（2）得出，，且，由勾股定理求得、的值，由即可得出结论．【详解】（1）延长DG交BE于M，交AB于  N，如图2，∵四边形ABCD、四边形EFGA为正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAB－∠BAG＝∠GAE－∠BAG，即 ∠DAG＝∠BAE，在△DAG和△BAE中，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠AND＝∠BNM，∴∠BMN＝∠NAD＝90°，即BE⊥DG，故答案为：；；（2），，理由如下：设与交于，与交于点，如图3，∵，，，∴，．∵四边形和四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．（3）连接EG、BD，如图3∵，，，∴，．∵四边形和四边形为矩形，∴∴，，由（2）证得，∴．【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E．（1）证明：△ADF∽△DCE；（2）当CF＝1时，求EC的长．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；（2）根据相似三角形的性质解答即可．【详解】证明：（1）四边形是矩形，，．又，，，；（2）， ，，，，，， ，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的性质是解题关键．12．（2018·四川·成都七中九年级阶段练习）如图1，在中，．（1）求边的长．（2）边的中点，过点作交边于点，将绕点顺时针旋转，得到对应的三角形，连接与交于．①求证：．②当时，求的长；③在旋转的过程中，的面积是否存在最大值．若存在，请直接写出最大面积，若不存在，请说明理由．【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②；③存在，最大面积为．【分析】（1）过作于，根据勾股定理计算即可；（2）①根据得到，再根据旋转的性质得到，得出，再求出即可得解；②过作于，证明四点共圆，求出，得到即可得解；③过作于，根据旋转的性质进行求解即可；【详解】（1）过作于，，，在中，．（2）①，，∵点为的中点，，点顺时针旋转得到，，，，，，．②过作于，，四点共圆．，，于，，，，，，，．③过作于．，，∴点到的距离为．即在旋转过程中，点点的距离始终都为，∴点到的最大距离为，，的最大值，即的面积存在最大值，最大面积为．【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合应用，结合旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．13．（2021·湖南·宁远县启慧学校九年级阶段练习）综合与实践动手操作如图1，在中，∠C＝90°，将绕点A逆时针旋转90°得到．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．思考探究（1）∠CAF＝　 　°，∠EAG＝　 　°；（2）若BC＝（+1）AC，则①∠DAG＝　 　°；②＝　 　，请证明你的结论；开放拓展（3）如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，的面积为　 　．【答案】（1）45，90；（2）22.5，，证明见解析；（3）【分析】（1）由旋转的性质可得∠CAD＝∠BAE＝90°，AC＝AD，BC＝DE，∠C＝∠ADE＝90°，可证四边形ACFD是正方形，∠EAG＝90°，可求∠CAF＝45°；（2）①由正方形的性质可得∠CAF＝∠AFC＝45°，AC＝CF＝AD＝DF，AF＝AC，可求BF＝AF＝AC，可得∠FAB＝∠FBA＝22.5°，由平行线的性质可求∠DAG＝∠FBA＝22.5°，②由平行线的性质可求∠DAG＝∠FBA＝22.5°，对顶角性质∠AGD=∠BGF，可证△ADG∽△BFG，由相似三角形的性质可求＝；（3）由勾股定理可求AB＝5，由旋转的性质可求AD＝AC＝3，BC＝DE＝4，AB＝AE＝5，∠C＝∠ADE＝90°，通过证明△ADE∽△FDA，可求AF的长，由三角形的面积公式可求解．【详解】解：（1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．∴∠CAD=∠BAE=90°=∠EAG，,∴∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，BC＝DE，∠C＝∠ADE＝90°，∴∠ADF=180°-∠ADE=90°∴∠CAD=∠C＝∠ADF＝90°，∴四边形ACFD是矩形，∵AC＝AD，∴四边形ACFD是正方形， ∵AF为对角线∴∠CAF=45°，故答案为：45，90；（2）①∠DAG＝　22.5 　°；②＝　，①∵四边形ACFD是正方形，∴∠CAF＝∠AFC＝45°，AC＝CF＝AD＝DF，AF＝AC，∵BC＝（+1）AC，∴BF＝BC-CF=（+1）AC-AC=AC∴BF=AF＝AC，∴∠FAB＝∠FBA，又∵∠CFA＝∠FAB+∠FBA=45°，∴∠FAB＝∠FBA＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAG＝∠FBA＝22.5°，②∵∠DAG＝∠FBA＝22.5°，∵∠AGD=∠BGF，∴△ADG∽△BFG，∴，（3）∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝，∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．∴AD＝AC＝3，BC＝DE＝4，AB＝AE＝5，∠C＝∠ADE＝90°，∴∠E+∠EAD＝90°，∵∠EAF＝90°，∴∠E+∠EAD=∠EAD+∠FAD＝90°，∴∠E＝∠FAD，又∵∠ADE＝∠ADF＝90°，∴△ADE∽△FDA，∴，∴，∴AF＝，在Rt△ACF中，∴CF＝，∴BF＝BC﹣CF＝4﹣＝，∴△AFB的面积＝，故答案为：．【点睛】本题考查旋转性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，掌握旋转性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，会求三角形面积是解题关键．14．（2019·江苏·扬州市梅岭中学九年级期中）如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO＝8，AO＝6，CO＝4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t．（1）线段AN的取值范围是　 　；（2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长；（3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．【答案】（1）O＜AN＜25；（2）①见解析；②；（3）①见解析；②．【分析】（1）首先求出点M运动时间，再求出点N运动的路程即可．（2）如图1中，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，用k的代数式表示MN、NP即可解决问题．②只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°，△MNP∽△MNA∽△BOA，路程比例式即可解决问题．（3）如图2中，当2＜t＜5时，①方法和前面类似．②当点M在OA上时，BN＝5k﹣10．由PO∥HN，得，得到PO＝，根据BP＝BN，列出方程即可解决．【详解】解：（1）∵AC＝OC+AO＝10，点M运动的速度为2单位长度/秒，∴t＝＝5，∵5×5＝25，∴0＜AN＜25．故答案为0＜AN＜25．（2）如图1中，当0＜t＜2时，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，∵NH∥BO，∴，∴AH＝3K，OH＝6﹣3k，OM＝4﹣2k，MH＝10﹣5k，∵PO∥NH，∴＝＝②只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°，△MNA∽△BOA，∴，∴＝，∴k＝，∴CM＝．（3）如图2中，当2＜t＜5时，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，则OH＝3k﹣6，OM＝2k﹣4，∴MH＝5k﹣10，∵PO∥NH，∴＝＝．②当点M在OA上时，BN＝5k﹣10．∵PO∥HN，∴，∴PO＝，若BP＝BN，则8﹣＝5k﹣10，∴k＝，∴CM＝，若PB＝PN或BN＝NP，∵∠PBN＞90°，∴不成立，∴若△BNP是等腰三角形，CM的长为．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用参数表示相应的线段，把几何问题转化为代数问题．15．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，E是边BC的中点，连接DE，AE．（1）直接写出DE的长为　 　．（2）F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若AF⊥EF．①求证：△AGE∽△DGF．②求DF的长．【答案】（1）3；（2）①详见解析；②【分析】（1）只要证明DE是等边△DBC的高即可解决问题；（2）①由△AGD∽△EGF，可得，推出，又∠AGE＝∠DGF，即可推出△AGE∽△DGF；②求出CF的长即可解决问题；【详解】解：（1）连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，∵∠C＝60°，∴△CDB是等边三角形，∴DB＝DC＝AB＝2，∵BE＝EC，∴DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE==30°∴DE＝BD•cos30°＝2 =3．（2）①∵AF⊥EF，∠CDE=30°，∠C=60°∴∠AFE=90°，∠DEC=90°∴∠ADE=∠AFE=90°∵∠AGD＝∠EGF∴∠DAG＝∠FEG∵∠DAG＝∠FEG，∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF，∴，∴，∵∠AGE＝∠DGF，∴△AGE∽△DGF，②作EH⊥CD于H．∵△AGE∽△DGF，∴∠EAG＝∠GDF＝30°，∵∠GFE＝∠ADG＝90°，∴EFAE ，在Rt△ECH中，CH＝，EH，在Rt△EFH中，FH ，∴CF＝FH+CH=+＝，∴DF＝CD﹣CF＝．【点睛】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．16．（2021·河南驻马店·九年级期末）问题发现：（1）如图1，在中，，，，点为上一点，且，过点作，填空：________，________；类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，请求出，的值；拓展延伸：（3）如图3，和同为等边三角形，且，连接，，将绕（）的中点逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值．【答案】（1），；（2），；（3）【分析】（1）在中，由勾股定理求出，由，可得，由，截线段成比例，由，分比，即即可（2）由旋转性质可知：，，，由，，可得，由性质，，可证，利用性质；（3）如图4，连接，，由点是（）的中点，和同为等边三角形，可知，可推得，由，，可证，可得，可求，，由三边关系可得，，当、、三点共线时（如图5），存在最大值为即可求出．【详解】解：（1），；解答如下：在中，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：，；（2）由旋转性质可知：，，，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴；（3）的最大值为；提示如下：如图4，连接，，∵点是（）的中点，和同为等边三角形，由三线合一性质可知，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴，，在中，由三边关系可得，，当、、三点共线时（如图5），存在最大值为，∵，∴当存在最大值时，的最大值．【点睛】本题考查三角形全等变换，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，掌握三角形全等的性质，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，解题关键是根据相似求出线段BO与OE．17．（2021·福建·二模）综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，DC=-，BD=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CB长．【答案】（1）见解析；（2）∠ACB的度数为96°或114°；（3）．【分析】（1）由题意可求出，即证明，即△ACD为等腰三角形．又因为∠CBD=∠ ABC，可证明△BCD∽△BAC，即推出CD是△ABC的完美分割线．（2）分情况讨论①当AD=CD时②当AD=AC时③当AC=CD时，根据题意和完美分割线的定义即可求出∠ACB的大小．（3）根据题意和完美分割线的定义可知，AC=AD=2，△BCD∽△BAC，即推出，即可求出BC长．【详解】（1）∵，，∴ ， ∵，∴ △ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ ACB，∴，∴，∴ △ACD为等腰三角形．∴，∠CBD=∠ ABC，∴ △BCD∽△BAC，∴ CD是△ABC的完美分割线．（2）①如图，当AD=CD时，∠ACD=∠ A=48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②如图，当AD=AC时，∠ACD=∠ ADC=，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③如图，当AC=CD时，∠ADC=∠ A=48°．∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴这与∠ADC>∠BCD矛盾，所以该情况不符合题意．综上所述，∠ACB的度数为96°或114°．（3）∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，AC=2，∴AC=AD=2．∵△BCD∽△BAC，∴ ，即，解得．【点睛】本题考查等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据题意理解完美分割线的定义是解答本题的关键．18．（2020·湖北武汉·八年级期末）如图，在中，，点为的中点，为上一点．（1）若，点为上一点．①如图1，，则的值为_______（直接写出结果）；②如图2，若点在的延长线上，在的延长线上．试判断之间满足的数量关系并说明理由；（2）如图3，若于点的延长线交于点．若，请直接写出的值为______．【答案】（1）①；②，见解析；（2）【分析】（1）①连结AD，由AC=BC，点为的中点，可得AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°，由，可求∠C=∠B=，可得AC=2AD，由，可求∠ADE=90°-∠EAD=90°-60°=30°可得AE=，再求出CE=即可；②结论是：，连接，在上取点，使，连接，先证为等边三角形，再证，可得，可求，可得，AE=AD=，可得AE =GB+BF即可；（2）过G作GH⊥BA交BA延长线于H，先证，再证△GHB∽△AEN，可得由，设GE=4x，BE=5x，GH=GE=4x，BG=BE+GE=9x可求即可．【详解】（1）①连结AD，∵AC=BC，点为的中点，∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°，∵，∴∠C=∠B=，∴AC=2AD，∵，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-60°=30°， AE=，∴CE=AC-AE=2AD-=，∴，故答案为：；②结论是：，连接，在上取点，使，连接，∵点为的中点，，AB=AC，∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°，∴为等边三角形，，又，∴∠ADE+∠EDG=∠EDG+∠GDF=60°，，在△ADE和△GDF中，，，，∴，，AD=，∴AE=GF=GB+BF，∴AE-BF=GB=DG=AD=，∴，（2）过G作GH⊥BA交BA延长线于H，∵∠CAD=∠BAD，∴∠GAH=∠GAE，∵于点的延长线交于点．∠GEA=90°=∠GHA，在△GHA和△GEA中，，，∴GH=GE，又∵∠H=∠AEB，∠HBG=∠EBA，∴△GHB∽△AEB，∴，∴，∵，设GE=4x，BE=5x，GH=GE=4x，BG=BE+GE=9x，∴，故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形性质，30°角直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判断与性质，线段和差，三角形相似判定与性质，掌握等腰三角形性质，30°角直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判断与性质，线段和差，三角形相似判定与性质是解题关键．19．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为（），得到．（1）如图①，当时，设与相交于点．求证：是等边三角形．        图①（2）如图②，连接、，在旋转的过程中，的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由．       图②（3）如图③，设中点为，中点为，，连接，当______时，长度最大，最大值为______．        图③【答案】（1）见解析；（2）的值不变，恒为，理由见解析；（3），．【分析】（1）画出示意图，根据两直线平行，内错角相等，可得，再根据旋转的性质得到，继而由三角形内角和180°解得，最后根据等边三角形的判定方法解题；（2）由旋转的性质可知，，解得继而证明 ，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；（3）由含30°角直角三角形的性质，解得，由中点的性质，解得，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得，接着由三角形三边关系得，由此可知当，此时最大，据此解题．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形；（2）的值不变，恒为．理由如下：∵，，∴，，∴，，∵，∴ ∴；    （3）连接，如图，是的中点，绕顶点顺时针旋转，旋转角为，点为的中点，只有当点在的延长线上时，，此时最大，如图，即的最大值为，点为的中点此时，故答案为：，．【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及旋转的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、相似三角形的判定、含30°的直角三角形、直角三角形斜边的中线、三角形三边关系等知识，是重要考点，综合性较强，难度一般，掌握相关知识是解题关键．20．（2022·全国·九年级）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．（1）求证：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面积；（3）当△CEF的面积最大时，求EC．【答案】（1）见解析.（2）8.（3）EC=5.【分析】（1）利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论；（2）先求出，进而表示出，由，得出，求出，最后用三角形面积公式即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出，即可得出结论．【详解】解：（1）四边形是正方形，，，，，，，；（2），，，，，由（1）知，， ， ，，；（3）设，则，，由（1）知，， ， ，，，当时，．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键．21．（2020·四川成都·九年级期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．（1）求证：△ADH∽△FBA；（2）若△ADH与△FBA的面积比是k：1（k＞1），求的值；（3）若，求证：∠AMB＝∠ADC．【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得出：，，由平行线的性质得出：，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出：，即可得出结论；（3）由三角形相似，推出，由，推出，即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴，∴；（2）∵，∴，∵△ADH与△FBA的面积比是k：1（k＞1），∴，∴，∵DA=BC，∴，∴，∴（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形相似的性质是解答本题的关键．22．（2020·四川·达州市第一中学校九年级阶段练习）（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________；（2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长．【答案】（1）CF=BD，CF⊥BD；（2）成立，证明见解析；（3）．【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论；（2）只需要证明△ABD≌△ACF即可得出结论；（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M．根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求得DF、DM和DB，证明△BDM∽△FDH即可求得．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AF⊥AD，AF=AD，即CF⊥BD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB，∴CF=BD，故答案为：CF=BD，CF⊥BD；（2）BD=CF成立．理由：由旋转得：∠CAF=∠BAD=θ，由（1）得AC=AB，AF=AD，在△ABD和△ACF中，∵∴△ABD≌△ACF，∴BD=CF；（3）如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M．∵四边形ADEF是正方形，∴∠MDA=45°，∵∠MAD=45°∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，∴AM=DM，∵AD=，在△MAD中，AM2+DM2=AD2，∴AM=DM=3，∴MB=AM-AB=3-2=1，在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2，∴在Rt△ADF中，AD=，∴，由（2）得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN=∠ADN，∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠ADN=90°∴∠HFN+∠HNF=90°∴∠NHF=90°，∴∠DHF=∠DMB=90°，∵∠BDM=∠FDH，∴△BDM∽△FDH，∴，∴．【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考压轴题．23．（2022·吉林·长春市双阳区教师进修学校一模）【基础探究】（1）如图①，在中，为上一点，，交延长线于点，若，求的长．【拓展延伸】（2）如图②，在中，为上一点，，交延长线于点，，， ，则 ．【拓展延伸】（3）如图③，点为四边形内部一点，且有，，于点，为上一点，，若，，则的面积为 ．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据，可得，，证明，利用相似的性质得到，代入数据即可得到结论；（2）根据，可得，，证明，利用相似的性质得到，从而求出，，最后利用三角函数可得出结论；（3）过点作交延长线于点，先证明，结合已知并利用相似的性质可得到，，再根据证明，从而求得，最后利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．∴的长为．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵，在中，，∴．故答案为：．（3）如图，过点作交延长线于点，∴，，∴，∴，即：∵，，∴，，∴，∴，，∴，∵，又∵，∴，∴，即，又∵，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴．故答案为：．【点睛】本题属于相似三角形的综合题，考查了三角形相似的判定和性质，三角函数，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积计算等知识．解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的．24．（2021·福建省诏安第一中学九年级期中）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F．(1)如图1，直按写出的值_______；(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)画图见解析，α的值为30°或150°，【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知；由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系；（3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：．（1）是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=45°，，，，，，，，，故答案为：；（2），理由：由（1）知，，，，，由旋转知，，，，；（3）如图3，连接DE，CE∵EA=ED，∴点E在AD的中垂线上，∴AE=DE，BE=CE，∵四边形ABCD是正方形，，AB=BC，，∴△BCE是等边三角形，，，即：，如图4，同理，△BCE是等边三角形，，即：，故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键．