人教版数学九年级下册重难点培优训练专题27.15相似三角形与二次函数综合问题（2份，原卷版+解析版）

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专题27.15相似三角形与二次函数综合问题（重难点培优）一、解答题（共24题）1．（2022·天津市嘉诚中学九年级期中）已知抛物线与x轴交于点和点B，与直线交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M的坐标．(2)点P为直线上方抛物线上一点，设d为点P到直线的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．(3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标．2．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．(1)求证：；(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．①求的最大值；②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．3．（2022·辽宁·鞍山市第五十一中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于、两点，直线交轴于点．(1)当时，求、两点的坐标；(2)若，求的值；(3)当时，平行于轴的直线交直线和抛物线于、两点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．4．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线经过B、C两点，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，过点P作轴交于点D，垂足为N，连接交x轴于点E，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在（2）的条件下，如图3，过点P作交y轴于点F，．点G在抛物线上，连接，，连接，求直线的解析式．5．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与轴交于点，连接，．(1)求点，，，的坐标；(2)点为抛物线对称轴上的动点，且与相似，请直接写出符合条件的点的坐标；(3)点为抛物线上的动点，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）如图，抛物线（a，c为常数，且）与x轴交于、两点，且与y轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点．(1)求抛物线的解析式；(2)点在x轴上且位于点的左侧，连接，若以，，C为顶点的三角形与相似，求点的坐标．7．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线BC下方抛物线上一点P，作垂直于点Q，连接，当中有一个角等于时，求点P的坐标．8．（2022·黑龙江·肇东市第七中学校三模）如图，抛物线经过三点．(1)求出抛物线的解析式；(2)在直线上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标；(3)P是直线x=1右侧的抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）已知抛物线与轴有两个交点．(1)求实数的取值范围；(2)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在原点的左边，点在原点的右边)，与轴的负半轴交于点，连接，且满足，求抛物线的解析式；(3)如图2，在（2）的条件下，直线，直线交抛物线于两点(点在点的左边)，直线交轴于点，直线交轴于点，设的纵坐标分别为、，试问是否为定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，请说明理由．10．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求点A，B，C的坐标；(2)点P在直线上方的抛物线上，过点P作x轴的垂线l，连接交于点D．当最大时，求点P的坐标及的最大值；(3)在（2）的条件下，在l上是否存在点Q，使是直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022·湖南·长沙市华益中学三模）如图1，已知二次函数的图象的顶点为，且经过点．(1)求二次函数的解析式；(2)过点A的直线与二次函数图象的另一交点为B，与y轴交于点C，若的面积是的两倍，求直线AB的解析式；(3)如图2，已知，是x轴上一动点（E，O不重合），过E的两条直线，与二次函数均只有一个交点，且直线，与y轴分别交于点M、N．对于任意的点E，在y轴上（点M、N上方）是否存在一点，使恒成立．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点．抛物线分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，OA＝OC．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点P为第二象限抛物线上一点，过点P作于点D，设点P的横坐标为t，线段PD的长度为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，当直线PD经过点B时，如图3，点E在线段BD上，点F在线段AE上，且∠DFE＝45°，的面积为，求DF的长．13．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）如图，已知抛物线与直线y=0.5x＋3相交于A，B两点，交ⅹ轴于C，D两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（－3，0）.(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB一MD|的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上的一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.14．（2022·福建· 九年级阶段练习）已知抛物线．(1)如图1，抛物线与直线交于A、B两点（点A在点B左侧）．①求A、B的坐标；②点E在直线上，且在第四象限，过E点作ED⊥x轴交抛物线于D点，交AB于C点，连接BD，过E点作交AB于F，求CF的长．(2)如图2，直线交抛物线于P、F两点，轴，连接PE，求证：直线PE过定点．15．（2022·湖北·武钢实验学校九年级阶段练习）如图，抛物线顶点D在x轴上，且经过和两点，抛物线与直线l交于A、B两点．(1)直接写出抛物线解析式和D点坐标；(2)如图1，若，且 求直线l解析式；(3)如图2，若，求证：直线经过定点，并求出定点坐标．16．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）已知抛物线：与轴交于点，过点与点的直线与交于点．(1)求直线的函数表达式；(2)如图，若点为直线下方的上一点，求点到直线的距离的最大值；(3)如图，将直线绕点顺时针旋转后恰好经过的顶点，沿射线的方向平移抛物线得到抛物线，的顶点为，两抛物线相交于点设交点的横坐标为若，求的值．17．（2022·广东·深圳市南山外国语学校三模）已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是．(1)求抛物线的解析式．(2)当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标．(3)是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于、两点，抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且，．(1)求抛物线的解析式．(2)在上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．19．（2021·浙江·湖州市第四中学教育集团九年级阶段练习）如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作，交x轴于点E，连接OP交BC于点F．(1)直接写出点A，B，C的坐标以及抛物线的对称轴；(2)当点P在线段BC下方抛物线上运动时，求取到最小值时点P的坐标；(3)当点P在y轴右边抛物线上运动时，过点P作PE的垂线交抛物线对称轴于点G，是否存在点P，使以P、E、G为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，来出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2022·辽宁·大连市第七十六中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，将函数为常数的图象记为．(1)若；①点在图象上时，求的值；②直接写出随增大而减小的的取值范围；(2)当时，的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，写出与的关系，并写出的取值范围；(3)直线与直线与分别交于、，若，直接写出的值．21．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；(2)请用含m的代数式表示线段PN的长 ；(3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值 ．22．（2021·湖南·衡阳市第九中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于A两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，已知点是线段AB上的动点（点E不与点A，B重合）．过点E作轴交抛物线于点P．交BC于点F．(1)求该抛物线的表达式；(2)若，请求出m的值；(3)是否存在这样的m，使得与相似？若存在，求出此时m的值，若不存在，请说明理由；(4)当点E运动到抛物线对称轴上时，点M是x轴上一动点，点N是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标．23．（2021·福建省福州第一中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，直接写出t的值．24．（2022·湖南·长沙市一中双语实验中学八年级期末）如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为，点为线段上一动点不与点重合，点在线段上移动，且，设线段，，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；并直接写出的值；(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线，分别与抛物线交于点，，与（2）中的函数图象交于点，问四边形能否为平行四边形？若能，求，之间的数量关系；若不能，请说明理由．