人教版数学七年级上册期末专题训练专题09 一元一次方程 章末重难点题型（12个题型）（2份，原卷版+解析版）

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一、经典基础题
题型1 方程与一元一次方程的辨别
题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值
题型3 等式的性质及应用
题型4 一元一次方程中的同解问题
题型5 方程的特殊解问题（求参数的值）
题型6 解方程
题型7 含参数的一元一次方程
题型8 一元一次方程中的错解和遮挡问题
题型9 一元一次方程中的新定义问题
题型11 一元一次方程中的整体换元
题型12 一元一次方程中的实际应用
二、优选提升题
题型1 方程与一元一次方程的辨别
例1．（2022·吉林·大安市七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+2y=5B．x2+x-1=0C．D．3x+1= 10
变式1．（2022·河南三门峡·七年级期末）在①；②；③；④中，方程共有（ ）
A．1个B．3个C．2个D．4个
变式2．（2022·广东湛江·七年级期末）下列各式中，不是方程的是（ ）
A．B．C．D．
题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值
【解题技巧】依据一元一次方程的定义，x的次数为1，系数不为0
方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
例1．（2022·河南郑州·七年级期末）若使方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2022·福建泉州·七年级期末）若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2B．8C．－3D．－8
变式2．（2022·河南南阳·七年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可
题型3 等式的性质及应用
【解题技巧】
等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
例1．（2022·海南·七年级期末）已知，根据等式的性质，可以推导出的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2022·四川成都·八年级期末）某小组设计了一组数学实验，给全班同学展示以下三个图，其中（a）（b）中天平保持左右平衡，现要使（c）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ）
A．25克B．30克C．40克D．50克
变式2．（2022·江苏泰州·七年级期末）已知方程x-2y=5，请用含x的代数式表示y，则y=_______．
题型4 一元一次方程中的同解问题
解题技巧：通过前一个方程求得x的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程、
例1．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2022·辽宁大连·七年级期末）如果方程与方程的解相同，则k的值为（ ）
A．2B．C．4D．
变式2．（2022·山东烟台·期末）若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=______．
题型5 方程的特殊解问题（求参数的值）
解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程
例1．（2022·河南安阳·七年级期末）关于x的方程的解是正整数，则整数k可以取的值是__________．
变式1．（2022·上海金山·八年级期末）如果关于x的方程ax＝b无解，那么a、b满足的条件（ ）
A．a＝0，b＝0B．a≠0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a＝0，b≠0
变式2．（2022·湖南）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（ ）
A．a≠0B．a≠1C．a≠﹣1D．a≠±1
变式3．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程有无穷多个解，则______．
题型6 解方程
【解题技巧】
解含有括号的一元一次方程：一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。
对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。
同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求解过程更为简单。
解分子分母中含有小数系数的方程：此类题型，需要运用分数的基本性质，先将分子和分母同时扩大，将小数化为整数，然后按照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来解方程。
例1．（2022·黑龙江七年级期末）解方程：（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）； （2）．
变式1．（2022·浙江七年级期末）解方程：
（1） （2）
变式2．（2022·天津和平·七年级期末）解下列方程：
（1）﹣2； （2）．
题型7 含参数的一元一次方程
解题技巧：一元一次方程ax=b的解由a，b共同决定。
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
例1、（2022·江苏七年级期中）解关于的方程：
变式1．（2022·上海市松江区八年级期中）解关于的方程：
题型8 一元一次方程中的错解和遮挡问题
例1．（2022·河南·郑州七年级期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： x - 3 = 2（x + 1）- ，怎么办呢？小明想了想，便翻看书后答案，此方程的解是 x = -5 ，于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数是____．
变式1．（2022·湖南衡阳·七年级期末）关于的方程，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么*处的数字是（ ）
A．－1B．－17C．15D．17
变式2．（2022·重庆酉阳·七年级期末）刘明同学在解一元一次方程时，不小心把？处的系数弄得看不清了，他便问邻桌，但是邻桌只告诉他，该方程的解是（邻桌的答案是正确的），刘明同学便由此计算出了?处的系数，那么这个系数是_________．
题型9 一元一次方程中的新定义问题
例1．（2022·河南驻马店·七年级期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
变式1．（2022·湖南七年级期末）规定：用{}表示大于的最小整数，如{2.6}=3，{7}=8，{}=，用[]表示不大于的最大整数，例如：[]=2，[]=，[]=．如果整数满足关系式2[]{}=29，那么=______．
变式2．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8B．－2C．2D．－5
题型11 一元一次方程中的整体换元
解题技巧：将含x的式子当作一个整体进行求解
例1．（2022·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
变式1．（2022·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______．
变式2．（2022·浙江杭州市·七年级期末）已知关于x的一元一次方程点①与关于y的一元一次方程②，若方程①的解为，则方程②的解为______．
题型12 一元一次方程中的实际应用
解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。
例1．（2022·河南南阳·七年级期末）【问题呈现】
某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一名通信员骑自行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍．
【自主思考】(1)根据题意，请画出示意图：
(2)相等关系为（请填空）：____________．
【建模解答】（请你完整解答本题）
变式1．（2022·山东七年级期末）某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是600元，其中每件A衣服赚25%，每件B衣服赔25%．下列说法正确的有（ ）个
①每件A衣服的成本价是480元． ②每件B衣服的成本价是800元． ③专柜售出这两件衣服是赔了80元． ④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔
A．4B．3C．2D．1
变式2．（2022·江苏南京·初一期末）列方程解应用题：
用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽完，用甲需要24小时，用乙需要30小时，用丙需要40小时，现在甲、丙同时抽了6小时后，把乙机加入，问乙加入后还需要多少时间才能把井里的水抽完．
1．（2022·河南鹤壁·七年级期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·黑龙江大庆·期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．若，则
3．（2022·浙江金华·七年级期末）已知，则代数式的值为（ ）
A．3021B．1021C．21D．4021
4．（2022·长沙市七年级月考）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 •a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
5．（2022·重庆巴南·七年级期末）从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ）
A．B．C．32D．64
6．（2022·山东七年级期末）关于x的方程有负整数解，则符合条件的整数m的值可能是（ ）
A．-1B．3C．1D．2
7．（2022·江苏南通市·七年级期末）在有理数范围内定义运算“”：，如：．如果成立，则的值是（ ）
A．B．5C．0D．2
8．（2022·山东青岛·一模）小贤在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是x﹣2＝x +，怎么办呢？小贤想了想，便翻看书后答案，此方程的解是x＝﹣6，于是他很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣9D．﹣2
9．（2022·河北沧州·七年级期末）规定符号表示，两个数中较小的一个，规定符号表示，两个数中较大的一个，例如：，.则______；若，则的值为______.
10．（2022·福建·厦门市湖滨中学七年级期末）已知5是关于x的方程的解，则关于的方程的解是__________．
11．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为________．
12．（2022·四川成都·七年级期末）关于x的方程5m+3x＝1+x的解比方程2x＝6的解小2，则m＝_____．
13．（2022·浙江丽水·七年级期末）已知关于的方程的解为，则________．
14．（2022·四川成都实外七年级期末）关于x方程是一元一次方程，则方程的解是_____．
15．（2022·湖北襄阳·七年级期末）2021年是中国共产党成立100周年，在庆祝建党100周年活动中，某学校组织开展了一次“中国共产党党史”竞赛，其中笔答环节共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是其中三名参赛者的得分情况．
参赛者D得72分，他答错了______道题．
16．（2022·浙江杭州·七年级期末）解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
17．（2022·山西七年级期末）（1）解方程： （2）解方程：
18．（2022·吉林宽城区·七年级期中）解方程：．
19．（2022·广东七年级期中）春节临近，各商家纷纷开展促销活动，甲、乙两个服装店的促销方式如下：
甲：全场按标价的6折销售；
乙：满100元送80元的购物券，再购买时购物券可以冲抵现金，但不再送券．
（如，顾客在乙店购买服装花370元，赠券240元，再次购买时，这240元券可以冲抵现金，但不再送券，且再次购买金额不低于240元）
小明发现，这两家店同时出售：A型上衣，标价均为340元；B型裤子，标价均为250元．
（1）小明要买一件A型上衣和一条B型裤子，选择哪一家店比较省钱？
（2）小明又发现，这两家店还同时出售C型裤子，标价也相同，且在240元以上．若分别在两家店购买一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额恰好一样，请问C型裤子的标价是多少元？
20．（2022·江西赣州市·七年级期末）已知关于x的方程，在解这个方程时，粗心的小琴同学误将看成了，从而解得，请你帮他求出正确的解．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
18
2
86