浙教版数学八上期末专题训练专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线（2份，原卷版+解析版）

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考点一 利用“三线合一”作辅助线求线段的长 考点二 利用“三线合一”作辅助线求角的度数
考点三 利用“三线合一”作辅助线求面积 考点四 利用“三线合一”作辅助线证垂直
典型例题

考点一 利用“三线合一”作辅助线解决线段的有关问题
例题：（2022·山东·薛城区北临城中学八年级阶段练习）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】A
【分析】过P作PQ⊥MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在直角三角形OPQ中，利用直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PQ⊥MN于点Q，
∵PM=PN，，
∴MQ=NQ=1，
在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴，
∴ON=OQ+QN=6+1=7．
故选A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁大连·八年级期末）在中，，D是中点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得．
【详解】解：∵，
∴△ABC为等腰三角形，
∵D是中点，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，
∴，，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．
2．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（ ）
A．B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，则CA平分∠HCF，根据角平分线的性质可得AH＝AF，即可得AB的长．
【详解】解：过点C作CH⊥AB于H，
∵CA＝CB，∠ACB＝110°，
∴∠ACH∠ACB＝55°，∠ACD＝70°，
∵∠ECD＝15°．
∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°，
∴∠ACH＝∠ACF＝55°，
∴CA平分∠HCF，
∵AF⊥CE，CH⊥AB，
∴AH＝AF，
∴AB＝2AH＝2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解决问题的关键是得出CA平分∠HCF．
3．（2022·江苏·八年级）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
【答案】D
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质可得DE＝ECCD＝2，根据含30度角的直角三角形的性质可得BE＝3，根据BD＝BE﹣DE即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
又∵AD＝AC，CD＝4，
∴DE＝ECCD＝2．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BEAB6＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．
故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出BE与DE是解题的关键．
4．（2022·山西吕梁·八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD．点E，F分别是BC，AD的中点．若EF＝3，则AD的长为（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】C
【分析】连接AE，根据等腰三角形三线合一得到AE⊥BC，再根据直角三角形的性质得到AD=2EF，故可求解．
【详解】连接AE，
∵AB＝AC，E是BC中点，
∴AE⊥BC，
∴△ADE是直角三角形，
∵F是AD中点，
∴EF=，
∴AD=2EF=6，
故选C．
【点睛】此题主要考查三角形内线段长度，解题的关键是熟知等腰三角形与直角三角形的性质．
5．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）如图，等边边长为，点在的延长线上，点在的延长线上，且满足．已知，，则的值为_________．
【答案】
【分析】过D作DF⊥BE于F，利用等腰三角形三线合一的性质可得BF的长，利用含30度角的直角三角形的性质可得CF的长，进而可得答案．
【详解】解：过D作DF⊥BE于F，
∵DB=DE，
∴△DBE是等腰三角形，
∵BE=4，
∴BF=EF=2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCF=60°，
∴∠CDF=30°，
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．
【答案】
【分析】作AF⊥BC于F，证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：作AF⊥BC于F，
∵AB的垂直平分线交BC于点D．
∴AD=BD，
∵AF⊥BC，BE⊥DE，
∴∠E=∠AFD=90°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴DF=DE，
∴CD-DE=CD-DF=CF，
∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，
∴CF=BC=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___．
【答案】8
【分析】连接AD，AM，根据等腰三角形的性质可知AD垂直BC，则根据△ABC的面积即可求出AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，即有AM=BM，即有BM＋MD=AM＋MD，即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，最小为AD的长，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC=4，△ABC的面积为12,
∴，
∴AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AM=BM，
∴BM＋MD=AM＋MD，
即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，
∴AD的长为BM＋MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为BM+MD＋BD＝AD＋BD＝AD＋BC＝6+2=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
8．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，底边BC＝12，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则______．
【答案】9.6
【分析】连接AP，过A作AF⊥BC于F，由图可得：S△ABC=S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．
【详解】解：连接AP，过A作AF⊥BC于F．
∵AB=AC=10，BC=12，
∴BF=CFBC=6，
由勾股定理得：，
由图可得：S△ABC=S△ABP+S△ACP．
∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴，
∴，
∴48=5(PD+PE)，
∴PD+PE=9.6．
故答案为：9.6．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
考点二 利用“三线合一”作辅助线解决角的有关问题
例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
【答案】
【分析】如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数．
【详解】解：如图，过点A作于点E，
∵AB=AC，
∴E是BC的中点，且AE平分．
∵，
∴BD=BE．
在和中，
，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在中，，AD为BC边上的中线，，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一可知，据此即可求得．
【详解】解：∵，为边上的中线，
∴，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2021·湖北恩施·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，∠ADE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．120°B．110°C．100°D．90°
【答案】C
【分析】根据垂直的定义以及等腰三角形的性质得到∠BDE=∠BED=70°，利用三角形的外角性质得到∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD，
∵∠ADE=20°，BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=∠ADB-∠ADE=70°，
∵∠BED=∠BAD+∠ADE，
∴∠BAD=70°-20°=50°，
∴∠BAC=2∠BAD=100°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键．
3．（2021·山东济南·七年级期末）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】如图，连接BD，延长CA与BD交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明CF是BD的垂直平分线，从而得到AB=AD， 再次利用等腰三角形的性质得到：∠DAF=∠BAF=∠EAC，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接BD，延长CA与BD交于点F，
∵AC平分∠DCB，CB=CD，
∴CF⊥BD，DF=BF，
∴CF是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，
∴∠DAF=∠BAF，
∵
∴∠EAC=55°，
∴∠DAF=∠BAF=∠EAC=55°，
∴∠BAE=180°−55°−55°=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
4．（2022·北京·人大附中八年级期中）如图，在中，，，为等边三角形，连接，则_____，的面积为 _____．
【答案】
【分析】如图，过作于，第一个空：根据为等边三角形，可得，，然后再根据，，利用等腰三角形的性质可求出，然后由即可得到答案；第二个空：根据和可确定的边边上的高等于，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得，则，代入数据计算即可得到答案．
【详解】如图，过作于，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴
∵，
∴，
∴的边边上的高等于，
∵为等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质及三角形面积计算等知识．发现的边上的高等于的一半是解题的关键．
5．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．
【答案】25°
【分析】由题意知，，根据等边对等角，三角形内角和定理求出的值，进而可求出的值．
【详解】解：∵，AD是中线，
∴，
∵
∴
∴
∴的值为25°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质．
考点三 利用“三线合一”作辅助线求面积
例题：（2022·重庆九龙坡·八年级期末）如图，AC＝BC＝BE＝DE．若∠C+∠E＝180°，AB＝6，BD＝8，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．14C．12D．24
【答案】C
【分析】如图所示，过点C作CF⊥AB于F，过点E作EG⊥BD于G，根据三线合一定理得到，，，然后证明△CFB≌△BGE得到CF=BG=4，则．
【详解】解：如图所示，过点C作CF⊥AB于F，过点E作EG⊥BD于G，
∴∠CFB=∠BGE=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，
∵AC=BC=BE=DE，
∴，，，
∵∠ACB+∠BED=180°，
∴∠FCB+∠BEG=90°，
∴∠FBC=∠GEB，
又∵BE=CB，
∴△CFB≌△BGE（AAS），
∴CF=BG=4，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西·梧州市第一中学三模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，点F是AB的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持DF⊥EF，则四边形CDFE的面积是______ ．
【答案】16
【分析】如图所示，连接CF，只需要证明△AFD≌△CFE得到即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，F是AB的中点，
∴∠CFA=90°，，∠A=∠ACF=∠BCF=∠B=45°，
∴∠CFD+∠AFD=90°，
∵DF⊥EF，即∠DFE=90°，
∴∠CFE+CFD=90°，
∴∠AFD=∠CFE，
∴△AFD≌△CFE（ASA），
∴，
∴，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（2022·浙江温州·八年级期末）如图，在中，AE是BC边上的中线，过点C作，交AE的延长线于点D，连结BD．若，的面积为10，则的面积为______．
【答案】30
【分析】作BF⊥AE于点F，先证明△BEF≌△CED，则BF= CD，FE= DE，由AB = BD得AF= DF，设FE=DE=m，BF=CD=n，则AF= DF= 2FE= 2m，AE= 3m．根据S△BCD = 10求出mn的值，再用含mn的式子表示S△ABC，从而求出△ABC的面积．
【详解】解：如图，作BF⊥AE于点F，
∵CD⊥AE，
∴BFE=CDE=90°，
∵AE是BC边上的中线，
∴BE=CE，
在△BEF和△CED中，
∴△BEF ≌△CED（AAS），
∴FE=DE，BF=CD，
∵AB = BD，
∴BF= DF，
设FE=DE=m，BF=CD=n，则AF= DF= 2FE= 2m，
∴AE=AF＋FE= 3m，
∵=DE·BF+12DE·CD=
且=10，
∴，
∴
∴=30．
故答案为：30．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，作BF⊥AE于点F构造全等三角形是解题的关键．
3．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，BC＝4，一个三角尺的直角顶点与 BC 边的中点 O 重合，且两条直角边分别与 AB，AC 分别交于点 E，F ，△BOE与△COF的面积之和为______．
【答案】2
【分析】连接AO，易证△EOA≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性质可得出△COF的面积等于△AOE的面积，从而可进一步得出结论．
【详解】解：连接AO，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA=OC=，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°．
∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴
∴
故答案为：2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△EOA≌△FOC 是本题的关键．
考点四 利用“三线合一”作辅助线证垂直
例题：（2022·江苏·八年级）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
(1)求证：BD＝CE；
(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)90°．
【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论．
（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．
(1)
证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，AD＝AE．
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE．
(2)
解：∵AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝60°．
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA．
∴∠DAB∠ADE＝30°．
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西·交大附中分校八年级阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点O是底边BC的中点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．试说明：AD=AE．
【答案】见解析
【分析】连接AO，由AAS可得△AOD≌△AOE，即可得出结论．
【详解】证明：连接AO，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∵AB=AC，O是BC中点，
∴AO平分∠BAC，即∠DAO=∠EAO，
又AO=AO，∠ADO=∠AEO=90°，
∴△AOD≌△AOE(AAS)，
∴AD=AE．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握这些性质定理是解题关键．
2．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图﹐在中﹐﹐D为的中点﹐点F在上﹐延长至点E﹐使﹐求与之间的位置关系．
【答案】AD∥EF
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根据角平分线的定义和外角的定义，可得∠AEF=∠BAD，进而可证明AD∥EF．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵AE=AF，
∴∠E=∠AFE，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，
∴∠AEF=∠BAD，
∴AD∥EF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
3．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F．
(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；
(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由．
【答案】(1)
(2)图见解析，，理由见解析
【分析】（1）连接，先根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据垂直的定义、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）分①当点在线段的延长线上，且在的下方时，②当点在线段的延长线上，且在的上方时两种情况，参考（1）的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．
（1）
解：如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
故答案为：．
（2）
解：，理由如下：
①如图，当点在线段的延长线上，且在的下方时，
如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
②如图，当点在线段的延长线上，且在的上方时，
如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
综上，线段与的数量关系是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
4．（2022·四川绵阳·八年级期末）如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高．
(1)当点在的什么位置时，？并证明．
(2)，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
(3)若在底边的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必证明．
【答案】(1)当D点在BC的中点位置时，，证明见解析
(2)，证明见解析
(3)（2）中的结论不成立，，，之间的数量关系是：
【分析】（1）根据中点的性质可得，根据等边对等角可得，进而即可；
（2）连接，根据可得，根据可得结论；
（3）同（2）的方法求解即可
（1）
当BD=CD时，DE=DF.
理由：∵是的中点.
∴，
又，
∴，
，，
∴，
∴，
∴
（2）
.
连接，
，
即，
∵，
∴
（3）
连接，
同理可得
即
∵，
∴
故（2）中的结论不成立，，，之间的数量关系是：
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的高，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．