浙教版数学八上期末专题训练专题23 专项题型专训：一次函数与面积问题压轴题四种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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考点一 由一次函数图象求三角形的面积 考点二 由面积求一次函数表达式
考点三 一次函数中动点类面积问题 考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题
典型例题

考点一 由一次函数图象求三角形的面积
例题：（2022·吉林长春·八年级期末）已知：如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B．
(1)点A坐标是______，点B的坐标是______．
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)16
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；
（2）根据三角形面积公式求解；
（1）
解：当时，，解得，
当时，，
∴，，
故答案为：，；
（2）
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）一次函数的图象与轴交点坐标是______，与轴交点坐标是_____，与坐标轴围成的三角形面积是_____．
【答案】 (，0) (0，4) 1
【分析】根据一次函数与坐标轴相交的坐标特点可直接进行求解，然后再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得：
当x=0时，则有y=4；当y=0时，则有0=−8x+4，解得x=，
∴与x轴的交点坐标为(，0)，与y轴的交点坐标为(0，4)，
图像与坐标轴围成的三角形面积为：S=××4=1；
故答案为：(，0)，(0，4)，1．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
2．（2021·云南临沧·八年级期末）直线与x轴的交点坐标是____________，与y轴交点坐标是____________，图象与坐标轴围成的三角形面积是____________．
【答案】 （-2，0） （0，2） 2
【分析】令y=0，计算出x的值，可得与x轴交点坐标；令x=0，计算出y的值，可得与y轴交点坐标，然后可得图象与坐标轴所围成的三角形面积．
【详解】解：∵当y=0时，x+2=0，
解得：x=-2，
∴图象与x轴交点坐标是（-2，0），
∵当x=0时，y=2，
∴与y轴交点坐标是（0，2），
图象与坐标轴所围成的三角形面积是：×2×2=2，
故答案为：（-2，0）；（0，2）；2．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
3．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，一次函数与x轴、y轴分别相交于点A、B，点A的坐标是，是一次函数在x轴上方这部分上的一点，连接PO．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)一次函数的解析式为y=x+3；
(2)△OPA的面积为3．
【分析】（1）将点A的坐标代入即可求出k的值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点P的坐标，根据三角形的面积公式即可求出结论．
（1）
解∶把A (-6，0)代入直线y=kx+3得，
-6k+3=0，解得，
答∶一次函数的解析式为y=x+3；
（2）
解：当x=-4时， n=+3=1，
∴点P的坐标为(-4，1)；
∵点A的坐标为(-6，0) ．
∴OA=6，
∴S△OPA====3．
答：△OPA的面积为3．
【点睛】本题考查了待定系数法一次函数以及一次函数的性质，三角形的面积，求出一次函数的解析式是解题的关键．
4．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）如图，直线经过点A（1，6）和点B（-3，-2）．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)△ABC的面积为8．
【分析】（1）利用待定系数法求出直线l的解析式，解一元一次方程求出直线与坐标轴的交点坐标；
（2）结合图形、根据三角形的面积公式计算即可．
（1）
解：设直线a的函数表达式为+y=kx+b，
把点A（1，6）和点B（-3，-2）代入得：
，
解得：，
∴直线a的函数表达式为：y=2x+4；
（2）
解：设直线a与y轴交于C，
令x=0，则y=4，
∴C（0，4），
∴S△ABO=S△AOC+S△BOC=×4×1+×4×3=8，
∴△ABC的面积为8．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的求法，灵活运用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
5．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第三象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为(0，﹣4)，直角顶点B坐标为(﹣1，0)，一次函数y＝kx+b的图像经过点A、C交x轴于点D．
(1)求点A的坐标；
(2)求直线AC与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作轴于点，证明即可求解；
（2）待定系数法求得直线的解析式，进而求得点的坐标，即可求解．
（1）
解：如图，过点作轴于点，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
设过的直线解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为：，
令，则，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，待定系数法求解析式，求直线与坐标轴交点坐标，求直线与坐标轴围成的三角形面积，数形结合是解题的关键．
6．（2022·陕西西安·八年级期中）已知，直线：与x轴和y轴分别相交于A、B两点，直线的图象向下平移2个单位长度得到直线：且与轴交于C点．
(1)求直线的解析式；
(2)证明：直线和直线相交于一点；
(3)求的面积
【答案】(1)
(2)见解析
(3)28
【分析】(1)根据平移的上加下减规律，确定解析式即可．
(2) 先确定点A的坐标，把A的坐标代入的解析式．满足函数的解析式，同时经过点A即得证二线相交．
(3) 根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）因为直线的图象向下平移2个单位长度得到直线：，
所以的解析式．
（2）因为直线：与x轴和y轴分别相交于A、B两点，
所以点，
因为的解析式，
所以当时，
，
所以直线经过点A．
因为也经过点A．
所以直线和直线相交于一点．
（3）因为直线：与x轴和y轴分别相交于A、B两点，
所以点，
因为的解析式，
所以点．
所以，
所以．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，一次函数的相交，坐标轴上的两点的距离，熟练掌握上加下减平移规律，弄清交点与一次函数解析式的关系是解题的关键．
7．（2022·新疆直辖县级单位·八年级期末）在直角坐标系中，一条直线经过两点．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线与两坐标轴交点的坐标；
(3)求直线和坐标轴围成三角形的面积．
【答案】(1)直线解析式为y=2x-4；
(2)（2，0），（0，-4）；
(3)4
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式；
（2）根据解析式求出直线与x轴和y轴的交点坐标；
（3）根据三角形面积公式求解．
（1）
解：设直线解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，-2），与B（3，2）两点代入得，
解得，
∴直线解析式为y=2x-4；
（2）
解：将x=0代入y=2x-4，得y=-4，
∴与y轴交于点（0，-4），
将y=0代入y=2x-4，得x=2，
∴与x轴交于点（2，0）；
（3）
解：直线AB和坐标轴围成三角形的面积S=×2×4=4．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设一次函数解析式为y=kx+b，再把两组对应值代入得到k、b的方程组，然后解方程组得到一次函数解析式．
8．（2022·广东·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，点，点，．
(1)求直线的函数表达式；
(2)直线与轴交于点，求点的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)24
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）计算函数值所对应的自变量的值即可得到点的坐标；
（3）根据三角形的面积公式，利用进行计算.
（1）
解：设直线的解析式为：，
把，分别代入得：，
解得，
直线的解析式为：；
（2）
当时，，
解得，
点的坐标为；
（3）
．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征和求三角形的面积，掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
考点二 由面积求一次函数表达式
例题：（2022·全国·八年级）直线l经过点A（2，2），且与y轴交于点B，若△AOB的面积为1，则直线l的解析式为__________．
【答案】或
【分析】过A作AD⊥y轴于D，求出AD，根据三角形的面积公式求出OB，得出B的坐标，代入一次函数解析式得出方程组，求出即可（注意有两个解）．
【详解】解：如图，过A作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为（2，2），
∴AD＝2，
∵△AOB的面积为1，
∴OB×AD＝1，
∴OB×2＝1，
OB＝1，
∴B点的坐标是（0，1）或（0，﹣1），
①当B（0，1）时，把A、B的坐标代入y＝kx+b得：，
解得：k＝，b＝1，
②当B（0，﹣1）时，把A、B的坐标代入y＝kx+b得：
解得：k＝，b＝-1．
∴直线l的解析式为y＝x+1或y＝x﹣1
故答案为y＝x+1或y＝x﹣1．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，三角形的面积，解二元一次方程组等知识点，解题的关键是能求出符合条件的所有情况．
【变式训练】
1．（2022·山东聊城·八年级期末）把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【详解】解：如图，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴，
而OB＝3，
∴AB•3＝5，
AB＝，
∴A点坐标为（，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝k，
∴k＝，
∴直线l解析式为y＝x．
故选：A．
【点睛】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．
2．（2022·河南·清丰巩营乡二中八年级期末）已知一次函数的图象经过点A(3，0)，与轴交于点B，O为坐标原点． 若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．
【答案】或
【分析】分两种情况：当点B在y轴正半轴时，当点B在y轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．
【详解】解：点，
，
的面积为6，
，
，
，
或，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
综上所述：一次函数的解析式为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．
3．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x、y轴交于点A、B，点P在x轴的负半轴上，的面积为12.若一次函数的图象经过点P和点B，求这个一次函数表达式．
【答案】
【分析】对于一次函数，分别令与为0求出与的值，确定出与坐标，根据三角形面积求出的长，确定出坐标，将与坐标代入求出与的值，即可确定出一次函数解析式．
【详解】解：对于一次函数，
令，得，点坐标为
令，得，点坐标为，
，
，即，
点的坐标分别为或，
点在轴的负半轴上，
，
一次函数的图象经过点和点，
将与坐标代入得：，
解得：，
这个一次函数的表达式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
4．（2022·广东广州·八年级期末）如图，过点A（1，0）的两条直线，分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知．
(1)求点B的坐标；
(2)若△ABC的面积是3，求直线的解析式．
【答案】(1)（0，3）
(2)y=3x－3
【分析】（1）先根据勾股定理求得线段BO的长，再写出点B的坐标；
（2）先根据△ABC的面积为3，求得线段CO的长，再根据点A、C的坐标，用待定系数法求得直线l2的解析式．
（1）
解：∵点A坐标为(1，0)，
∴AO= 1，
又∵AB= ，
∴BO==3，
∵点B在原点上方，
∴点B的坐标为(0，3)；
（2）
解：∵△ABC的面积为3，
∴ =3，
∴×1 =3，即BC=6，
∵BO=3，
∴CO=3，
∴点C坐标为（0，－3），
设l2的解析式为y= kx + b(k≠0)，
则，
解得，
∴直线l2的解析式为y=3x－3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理求点的坐标和待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是利用勾股定理和三角形面积公式求出点的坐标及待定系数法．
5．（2022·福建省福州格致中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点Q的坐标为（8，0），直线与x轴，y轴分别交于A（10，0），B（0，10）两点，点P（x，y）是第一象限直线上的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)设△POQ的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当△POQ的面积等于20时，在y轴上是否存在一点C，使∠CPO＝22.5°，若存在，请求点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y= -x+10
(2)S= -4x+40(0＜x＜10)
(3)存在，点C的坐标为（0，）
【分析】(1)设直线的解析式为y=kx+b，把A（10，0），B（0，10）两点代入解方程组即可．
（2）根据题意点P(x，y)可变形为P(x，-x+10)，根据S=计算即可．
（3）过点P作PD⊥y轴，垂足为D，作PC平分∠DPO，交y轴于点C，作过点C作CE⊥OP，垂足为E，利用勾股定理，等腰直角三角形的性质计算即可．
(1)
设直线的解析式为y=kx+b，把A（10，0），B（0，10）两点代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为．
(2)
∵点P是直线的点，
∴P（x，），
∴S===-4x+40(0＜x＜10) ．
(3)
∵ S=-4x+40=20，
解得x=5，y=5，
故点P（5，5），
∴过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=DO=5，∠DPO=∠DOP=45°，PO=．
作PC平分∠DPO，交y轴于点C，
则∠CPO=22.5°，
∴过点C作CE⊥OP，垂足为E，
则DC=CE，由PC=PC，得△PDC≌△PEC，
∴PD=PE=5，
∵∠DOP=45°，CE⊥OP，
∴CE=OE=PO-PE=，
∴CO=,
故点C的坐标为（0，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，三角形全等，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，灵活运用勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
考点三 一次函数中动点类面积问题
例题：（2022·安徽·淮北一中八年级阶段练习）如图，在长方形中，，，动点从点开始按的方向以每秒1个单位的速度运动到点．设动点运动的时间为秒，三角形的面积为．（当点与点或重合时，）
(1)写出与之间的函数表达式；
(2)在图2中画出此函数的图象；
(3)根据图象，点运动多少时间三角形的面积为4？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)由图象知点运动时间为2秒或8秒，的面积为4．
【分析】（1）分点P在AB上，点P在BC上，点P在DC上三种情况，根据三角形面积公式表示即可；
（2） 先列表，再画出三段图象即可；
（3）代入关系式计算即可．
（1）
当时，点在上．
；
当肘，点在上，
；
当时，点在上．
．
所以与之时的函数表达式为；
（2）
列表：
描点、连线得到如图所示的函数图象
（3）
当S=4时，2t=4，
解得t=2；
-2t+20=4，
解得t=8．
所以点P运动时间为2秒或8秒，的面积为4．
【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，画分段函数图像等，分情况讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B与点A，，点C是直线AB上的一点，且位于第二象限，当△OBC的面积为3时，点C的坐标为______．
【答案】
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H，由题意易得，然后根据△OBC的面积可得点C的纵坐标，进而问题可求解．
【详解】解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示：
∵直线与x轴、y轴分别交于点B与点A，
∴令时，则有y=-3，即OA=3，
∵，
∴，即，代入直线解析式得：，解得：；
∴直线AB的解析式为，
∵△OBC的面积为3，
∴，
∴，即点C的纵坐标为6，
∴，解得：，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
2．（2022·河南·三门峡市实验中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在的值，使为等腰三角形，的值为或或4
【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将确定的点C代入中，即可求b的值；
（2）①由题意可知P点的坐标为，则，再由，求出t的值即可；
②由①分别求出，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出t的值即可．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∵直线过点C，
∴，
解得；
（2）解：①∵，
∴直线解析式为，
∴，
直线与x轴交点A为，与y轴交点B，
由题意可知P点的坐标为，
∴，
∴，
解得；
②存在t的值，使为等腰三角形，理由如下：
∵A，，P，
∴，
当时，，
解得或；
当时，，
解得（舍或（舍；
当时，，
解得；
综上所述：的值为或或4．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
3．（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）已知：如图1，线段AB＝14cm，的顶点P从点A出发沿折线A-O-B运动时，的面积随着点P运动路程的变化，发生了变化．图2表示这种变化规律．
(1)在P点运动5cm时，的面积为______；当P点运动路程为______cm时，的面积最大为______；
(2)求图1中线段AO、OB的长，以及O到AB的距离；
(3)直接写出a的值为______．
【答案】(1)28，15，84
(2)OA=15cm，OB=13cm，点O到AB的距离为12cm
(3)21.5
【分析】（1）根据图2所示即可得出．
（2）根据三角形面积公式求解即可．
（3）求出一次函数解析式，进而即可求解．
（1）
当在P点运动5cm时，根据图2可得△PAB的面积为28 ，当P点运动路程为15cm时，△PAB的面积最大为84；
故答案为：28，15，84；
（2）
由题意得，AO＝15cm，OB＝28-15=13cm，
设O到AB的距离为h，则，解得h＝12，
∴O到AB的距离为12cm；
（3）
解：设一次函数为y=kx+b，
把（15，84），（28，0）代入一次函数函数可得，

解得
∴
当y=42时，解得：a=21.5
【点睛】此题考查了动点与函数图像，一次函数的性质，解题的关键是把图看懂，得出需要的信息，求出一次函数解析式．
4．（2022·山东济宁·八年级期末）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，求此时△PBC的面积．
【答案】(1)84；
(2)；
(3)112．
【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：BC=BD=25，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解；
（2）设OA=x，AB=14−x，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（，0）代入y=kx−7可得k的值；
（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而利用分割法求出的面积．
（1）
∵将代入，得：，
∴点B（0，-7），
∴，
又∵点D（0，18），即，
∴，
由翻折的性质可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直线BC的坐标三角形的面积为：；
（2）
设，，
∵在中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴点A（，0），
∵将点A（，0）代入，得：，
∴；
（3）
如图，连接CE交AB于点P，
∵点C与点D关于直线AB对称，
∴，
∴，
∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，
设直线CE的解析式，
将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式，
联立，解得：，
∴点P（-9，5），
∴．
【点睛】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小．
考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题
例题：（2021·重庆八中八年级期中）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E(－2，2)，AO＝2OD．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）先求出A点坐标，利用AO＝2OD求出D点坐标，结合E点坐标求出解析式即可；
（2）设Q（m，m+4），求出S△QCD和S△BCE再由求出m的值即可；
【详解】解：（1），
当x=0时，y=4，
∴A（0，4）
∴OA=4，
∵AO＝2OD
∴OD=2
∴D（0，-2）
设直线CD的解析式为
将E(－2，2)，D（0，-2）代入得：
∴
∴直线CD的解析式为
（2）直线CD的解析式为
令，解得，则
设Q（m，m+4），
过作轴交于点，则
S△QCD=×
S△BCE=×
∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了一次函数综合题的知识，此题涉及到求一次函数解析式、两直线交点问题，三角形的面积等知识．
【变式训练】
1．（2022·新疆喀什·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求点C的坐标；
(2)求一次函数的表达式；
(3)若点P是y轴上一点，且的面积为3，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)点C坐标为
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）将点代入即可求解；
（2）根据的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
（3）点P是y轴上一点，且的面积为3，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．
（1）
解：∵点在的图象上，
∴把代入得，，
∴点C坐标为．
（2）
解：∵一次函数过点、点，
∴
解得：
∴一次函数的表达式为：．
（3）
解：由，令，得，
则，
点P是y轴上一点，且的面积为3，
设，则，
解得或，
点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求△AOC的面积；
(3)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点P的坐标．
【答案】(1)y=-2x+6
(2)3
(3)（5，2）或（5，8）
【分析】（1）先求点A坐标，再用待定系数法求函数解析式．
（2）求点C坐标，以OC为底，点A到x轴距离为高计算．
（3）观察面积相等两个三角形，有公共边OA，故可看作是以OA为底，高相等．所以点P在与OA平行的直线上，且到直线OA距离等于点C到OA距离．其中一条即为过点C的直线，根据平移，另一条经过点C关于A的对称点．求出直线后，把x=5代入即求出点P坐标．
（1）
∵点A（2，a）在直线l2：y=x上，
∴a=2，即A（2，2），
∵直线l1：y=kx+b过点A（2，2）、点B（0，6），
∴
解得：，
∴直线直线l1的函数表达式为：y=-2x+6；
（2）
令y=-2x+6=0，解得：x=3，
∴点C（3，0）即OC=3，
∴S△AOC=OC•yA=×3×2＝3，
（3）
∵S△AOP=S△AOC，
∴当以AO为底边时，两三角形等高，
∴过点P且与直线AO平行的直线l3为：y=x+d，
①直线l3过点C（3，0），得l3为：y=x-3，
当x=5时，m=5-3=2，
∴点P（5，2），
②点C（3，0）关于点A（2，2）的对称点为（1，4），
直线l3过点（1，4），得l3为：y=x+3，
当x=5时，m=5+3=8，
∴点P（5，8）
综上所述，点P坐标为（5，2）或（5，8）
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形面积，考查了分类讨论思想．三角形面积相等底相等即高相等是解题关键．
3．（2022·全国·八年级）图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，将直线向右平移6个单位得到直线，分别交x轴、y轴交于点C、D，连接、．
(1)分别求直线、的函数表达式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在直线上是否存在点E，使得？若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)C(2，0)，D(0，-3)
(3)E(-4，-9)，或E(4，3)
【分析】（1）设l1的解析式为y=kx+b，把A(-4,0)，B(0,6)代入，解得，，b=6，得到，根据平移知，l1∥l2，设l2的解析式是，根据点A(-4,0)向右平移6个单位长度得到点C(2,0)，得到，c=-3，得到；
（2）根据（1）小问知，C(2,0)，在中，x=0时，y=-3，得到D(0,-3)；
（3）设，根据C(2,0)，D(0,-3)，得到，，根据l1∥l2，得到，根据，得到，得到x=-4，或x=4，求得，或，得到E(-4,-9)，或E(4,3)．
（1）
设l1的解析式为y=kx+b，
把A(-4，0)，B(0，6)代入，得，
，解得，，
∴
由平移知，l1∥l2，
设l2的解析式是，
∵点A(-4，0)向右平移6个单位长度得到点C(2，0)，
∴，c=-3，
∴；
（2）
由（1）知，C(2，0)，
中，x=0时，y=-3，
∴D(0，-3)；
（3）
存在E(-4，-9)，或E(4，3)，理由：
设，
∵C(2，0)，D(0，-3)，
∴，，
∴
∵l1∥l2，
∴，
∵，
设l1、l2之间的距离为h，
∴，
∴，
∴x=-4，或x=4，
∴，或，
∴E(-4，-9)，或E(4，3)．
【点睛】本题主要考查了一次函数，平移，一次函数与一元一次方程，一次函数与三角形，解决问题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式，直线平移的性质，点平移的坐标性质，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与三角形面积的关系．
4．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
(1)直线l1的表达式为 ；
(2)若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
(3)如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x﹣3
(2)N（0，﹣）
(3)存在，G（1，）或（﹣7，﹣）
【分析】（1）由待定系数法求出答案即可；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，求出直线CM的解析式为y1＝x﹣，则可得出答案；
（3）联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，计算出△ACD的面积，求得△CBD的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可．
（1）
由题意知：A（﹣6，0），B（0，﹣3），
设直线l1的表达式为：y＝kx+b，将A（﹣6，0），B（0，﹣3）代入，得
，
解得：，
∴y＝-x﹣3；
（2）
在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，
∵点A、C关于y轴对称，
∴AN=CN，
∴当AM+MN最小时为MC，△AMN的周长最小，
∵M（﹣2，﹣2），
设直线CM的表达式为：y1＝k1x+b1，将M（﹣2，-2），C（6，0）代入，得
，
解得：，
∴直线CM的解析式为y1＝x﹣，
∴N（0，﹣）；
（3）
如图2，
由
解得：，
∴C（﹣3，﹣），
设直线CD的表达式是：y2＝mx+n，
∴，解得：，
∴y2＝x+3，
令y2＝0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∴AE＝6﹣2＝4，
∴S△ACD＝AE•DF＝，
∵S△CDG＝S△ACD，
∴S△CDG＝×9＝6，
设G（x，x），
∴OD•|x+3|＝6，
即×3•|x+3|＝6，
∴x1＝1，x2＝﹣7，
∴G（1，）或（﹣7，﹣）．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形的面积，两点间距离等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
t
0
3
7
10
s
0
6
6
0