数学人教版（2024）5.3.1 平行线的性质一课一练

这是一份数学人教版（2024）5.3.1 平行线的性质一课一练，文件包含人教版数学七年级下册同步讲练测专题53平行线的性质讲练原卷版doc、人教版数学七年级下册同步讲练测专题53平行线的性质讲练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。如图所示，如果a∥b，
则 = ； = ； = ； = .
性质2：两直线平行，内错角相等。如图所示，如果a∥b，则 = ； = .
性质3：两直线平行，同旁内角互补。如图所示，如果a∥b，则 + = 180°； + = 180°。性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a∥b，a∥c，则 ∥ .
二、考点点拨与训练
考点1：平行线性质的基本应用
典例：（2020·全国初三专题练习）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是( )
A．80°B．90°C．100°D．110°
【答案】C
【解析】如图，
∵∠1=80°，
∴∠3=100°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=100°．
故选C．
方法或规律点拨
此类问题主要考查了平行线的性质以及邻补角、对顶角等基本概念，能灵活运用定理进行分析推理是解此题的关键．
巩固练习
1、（2020·全国初三专题练习）如图，AB//CD，∠A=50°，则∠1的度数是（ ）
A．40°B．50°C．130°D．150°
【答案】C
【解析】
解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠A＝50°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
2、（2020·山东初二期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝65°，那么∠4的度数是( )
A．55°B．95°C．115°D．145°
【答案】C
【解析】解：
∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠4＋∠5=180°
∠3=65°
∴∠5=∠3=65°
∴∠4=180°-65°=115°
故选C．
3、（2020·山东初二期末）如图,已知CD∥BE, 如果∠1＝60°， 那么∠B的度数为（ ）
A．70°B．100°C．110°D．120°
【答案】D
【解析】
解：
∵∠1=60°，
∴∠2=180°-60°=120°．
∵CD∥BE，
∴∠2=∠B=120°．
故选：D．
考点2：应用平行线的性质探究几何量之间的关系
典例：（2019·武汉市梅苑学校初一期中）如图，在△ABC中，∠1=∠2，ED//BC，CD⊥AB于点D．求证：∠FGB=90°．
【答案】答案见解析
【解析】
∵CD⊥AB（已知）
∴∠CDB=90°（垂直定义）
又∵DE∥BC（已知）
∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠2=∠DCB（等量代换）
∴GF∥DC（同位角相等，两直线平行）
∴∠FGB=∠CDB（两直线平行，同位角相等）
∵∠CDB=90°（已证）
∴∠FGB=90°（等量代换）．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
方法或规律点拨
本题考查了平行线的判定与性质的综合应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
巩固练习
1、（2019·浙江初一期中）如图，若，则、、之间的关系为______.
【答案】
【解析】
过点E作EF∥AB，如图所示。
∵AB∥CD,EF∥AB，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF.
又∵∠AEF+∠CEF=∠β，
∴∠α+∠β−∠γ=180°.
故答案为：∠α+∠β−∠γ=180°.
2、（2019·天津初一期末）完成下面的证明．
已知：如图，D是BC上任意一点，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD，垂足为F．求证：∠1＝∠2．
证明：∵BE⊥AD，
∴∠BED＝ （ ）．
∵CF⊥AD，
∴∠CFD＝ ．
∴∠BED＝∠CFD．
∴BE∥CF（ ）．
∴∠1＝∠2（ ）．
【答案】90；垂直的定义；90；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵，
∴ （垂直定义），
∵，
∴，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
3、（2020·甘肃初二期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝B，
（1）证明：EF∥AB．
（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠AED与∠C相等，理由见解析.
【解析】
解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE，
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）；
（2）∠AED与∠C相等．
∵EF∥AB，
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
考点3：平行线性质和判定的综合应用
典例：（2019·河南初一期末）（1）（感知）如图①，，点在直线与之间，连接、，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）.
证明：如图①过点作.
（ ），
（已知），EF（辅助线作法），
（ ），
（ ），
，
( ).
（2）（探究）当点在如图②的位置时，其他条件不变，试说明.
（3）（应用）如图③，延长线段交直线于点，已知，，则的度数为 .（请直接写出答案）
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）70°.
【解析】
解：（1）证明：如图①，过点作，
（两直线平行，内错角相等），
（已知），EF（辅助线作法），
（平行于同一条直线的两直线互相平行），
（两直线平行，内错角相等），
，
(等量代换)；
（2）证明：如图④，过点作，
(两直线平行，同旁内角互补)，
(已知)， (辅助线作法)，
(平行于同一条直线的两直线互相平行)，
(两直线平行，同旁内角互补)，
；
（3）解：由（2）题的结论知：，
∴，
∴∠MEC==70°.
故答案为：70°.
方法或规律点拨
本题主要考查了平行线的性质、平行公理的推论等知识，属于常考题型，熟练掌握平行线的性质是解题关键.
巩固练习
1、（2019·河北初二期末）课上老师呈现一个问题：
下面提供三种思路：
思路一：过点F作MN∥CD（如图甲）；
思路二：过P作PN∥EF，交AB于点N；
思路三：过O作ON∥FG，交CD于点N．
解答下列问题：
（1）根据思路一（图甲），可求得∠EFG的度数为 ；
（2）根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线；
（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求∠EFG度数的解答过程．
【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）若选思路二，EFG＝120°，解答过程见解析，若选思路三，EFG＝120°，解答过程见解析.
【解析】
（1）如图甲，过F作
（两直线平行，同位角相等）
，即
（两直线平行，同位角相等）
故答案为：；
（2）思路二：利用直尺和直角三角板，通过“一放、二靠、三移、四画”的步骤，过P作，具体如下：
一放：放直角三角板，把直角三角板的一条直角边与直线EF重合
二靠：靠直尺，把直尺靠在直角三角板另一条直角边上
三移：直尺固定不动，移动直角三角板使其边与点P重合
四画：沿着直角三角板边画直线
思路三：按思路二同样的方法即可作出符合要求的辅助线
思路二（图乙）、思路三（图丙）的作图结果如下：
（3）若选思路二，解答过程如下：
如图乙，过P作
，即
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，内错角相等）
又
；（两直线平行，同位角相等）
若选思路三，解答过程如下：
如图丙，过O作
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，内错角相等）
又，即
.（两直线平行，同位角相等）
2、（2020·河南初一期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
（1）数学活动小组经过讨论形成下列推理，请你补全推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
∵PE∥AB(作图知)
又∵AB∥CD，
∴PE∥CD．（ ）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（ ）
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=α，∠BCP=β，求∠CPD与α、β之间有何数量关系？请说明理由．
问题解决：
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与α、β之间的数量关系 ．
【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行 两直线平行同旁内角互补 （2）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β.
【解析】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵PE∥AB(作图知)
又∵AB∥CD，
∴PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（两直线平行同旁内角互补）
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行 两直线平行同旁内角互补
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，
过P作PE∥AD交直线CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β-∠α；
当P在AB延长线时，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α-∠β．