清单07 双曲线及其性质（清单 导图 考点 题型 变式 ）学案-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）

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【清单01】双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
= 1 \* GB3 ①条件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
【清单02】双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
考点题型1：双曲线的定义与标准方程
【典例1-1】（2024·高二·陕西榆林·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”；
若动点的轨迹是双曲线，则为定值，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”.
因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
【典例1-2】（2024·高二·河南驻马店·期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（ ）
A．6或18B．18
C．8或20D．22
【答案】B
【解析】设双曲线的右焦点为，连接.
由题意得，
∵M为线段FP的中点，为线段的中点，
∴，
由双曲线定义得，，故.
故选：B.
【变式1-1】（2024·高二·江苏连云港·期中）方程可化简为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得，
两边平方得，且得，
两边再平方得，
可化简为.
故选：D.
【变式1-2】（2024·高二·上海·期末）设圆C与双曲线的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点，则圆C的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由双曲线可得：，
所以双曲线的渐近线为，即，
又因为双曲线的右焦点为，圆C的圆心在双曲线的右焦点，所以，
因为圆与双曲线的渐近线相切，
所以到直线的距离为，
故圆C的标准方程为.
故答案为：.
【变式1-3】（2024·高二·天津河西·期末）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】椭圆的焦点在轴上，长半轴为，
由于椭圆的离心率为，所以椭圆的半焦距为，焦距为，
由于曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，，
所以曲线的轨迹是双曲线，且实轴长为，半实轴长为，
所以虚半轴长为，
所以曲线的标准方程为.
故选：C
【变式1-4】（2024·高三·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【解析】设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A.
考点题型2：双曲线方程的充要条件
【典例2-1】（2024·高二·浙江·期中）对于方程，表示的曲线，下列说法正确的是 （ ）
A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线
B．若为负角，则曲线为双曲线
C．若为正角，则曲线为椭圆
D．若为椭圆，则曲线的焦点在轴上
【答案】B
【解析】对于A，当，即时，曲线的方程为，即，
此时曲线为两条平行的直线，故A错误；
对于B，若为负角，即，则，
此时曲线为双曲线，故B正确；
对于C，若为正角，即，当时，，
则曲线的方程为1，是圆，故C错误；
对于D，若为椭圆，当，，又可变形为，
则为焦点在轴上的椭圆，故D错误．
故选：B.
【典例2-2】（2024·高二·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，所以方程表示双曲线；
若方程表示双曲线，则，解得或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A
【变式2-1】（2024·高二·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】方程表示双曲线，则，解得或，
当时，方程表示双曲线，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A
【变式2-2】（2024·高二·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】D
【解析】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得；
若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解.
综上所述，.
故选：D.
【变式2-3】（2024·高二·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C为椭圆
B．若曲线C为双曲线，则
C．曲线C不可能是圆
D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则
【答案】D
【解析】对于A项，方程表示椭圆等价于，解得：，故A项错误；
对于B项，方程表示双曲线等价于，解得：或，故B项错误；
对于C项，方程表示圆，等价于解得：,故C项错误；
对于D项，方程表示焦点在x轴上的椭圆等价于，解得：，故D项正确.
故选：D.
考点题型3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【典例3-1】（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（ ）
A．20B．22C．28D．36
【答案】C
【解析】由题意知，，
所以，
又，
所以，
所以的周长为．
故选：C．
【典例3-2】（2024·青海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由双曲线定义可知：，
则三角形的周长为，
故.
故选：D.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．C．D．30
【答案】A
【解析】由，可得
又是是双曲线上的一点，则，
则，，又
则，则
则的面积等于
故选：A
【变式3-2】（2024·高二·河南南阳·期末）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】A
【解析】不妨设为左焦点，为右焦点，为两曲线在第一象限的交点，
则由已知得，
则，
，
，
则，
所以.
故选：A.
【变式3-3】（2024·高二·新疆乌鲁木齐·期中）设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】A
【解析】双曲线的实半轴长，半焦距，因此，，
因，由双曲线定义得，解得，，
显然有，即是直角三角形，
所以的面积.
故选：A
考点题型4：双曲线上两点距离的最值问题
【典例4-1】（2024·高二·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】根据题意可得，，
，，
所以，
由双曲线性质可得，设，，
则，
设，，
设，，
因为，所以，，
所以，即，
所以函数 是上的增函数.
所以当时，取得最小值4，
即的最小值为4，此时点为右顶点.
故答案为：4.
【典例4-2】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设Px0,y0，且，，
又，
又或，
所以
即PF的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值.
故答案为：.
【变式4-1】（2024·高三·浙江嘉兴·阶段练习）已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下图所示：
在双曲线中，，，，
圆的圆心为，半径长为，
所以，双曲线的左、右焦点分别为、，
由双曲线的定义可得，，
所以，，
当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立，
故的最小值是.
故答案为：.
考点题型5：双曲线上两线段的和差最值问题
【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】 9
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，，
则点为圆的圆心，点为圆的圆心，
连接，．当点在双曲线的左支上时（如图），
由双曲线的定义，可得，
由圆的几何性质，得，，
所以，即，
此时的最大值为9，最小值为3．
同理可得，当点在双曲线的右支上时，的最大值为，最小值为．
综上，的最大值为9，最小值为．
故答案为：，
【典例5-2】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
【答案】7
【解析】如图所示：
由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点，
所以，等号成立当且仅当重合，
所以的最小值为7.
故答案为：7.
【变式5-1】（2024·高二·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 .
【答案】8
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点，
，，
要取最大值，点必在双曲线左支上，
所以.
故答案为：
【变式5-2】（2024·高二·上海松江·期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 .
【答案】6
【解析】双曲线，，，
圆的圆心为，半径，
在双曲线的左支上，，
所以，
根据圆的几何性质可知，的最小值是，
所以的最小值是.
故答案为：
【变式5-3】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，，
圆半径为，
，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，
所以，又由双曲线的定义，，
所以，即的最小值为，
故答案为：．
考点题型6：离心率的值及取值范围
【典例6-1】（2024·高二·河南驻马店·期末）已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若OB=3OA，则双曲线 E的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】令点，双曲线E 的渐近线方程为，
由对称性不妨取直线AB:bx−ay=0，取中点，连接，则，
|FC|=bca2+b2=b，而|AB|=2(2b)2−b2=2b，
由OB=3OA，得|OC|=|AB|=2b，在中，c2=(2b)2+b2=5b2，
则a2=c2−b2=4b2，解得c=5b,a=2b，
所以双曲线 E的离心率.
故选：A
【典例6-2】（2024·高二·云南玉溪·期末）设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，可得，
由双曲线定义可知，
所以，，，
由勾股定理可得，可得，
故，
故选:B.
【变式6-1】（2024·高二·江西九江·期末）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取为的中点，为右焦点，
，
，，
在上的投影为，，
，，，
，
，.
故选：C
【变式6-2】（2024·高二·江苏扬州·期中）设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则的离心率等于（ ）
A．B．2C．2或D．或
【答案】D
【解析】由题意可设：，，．
当圆锥曲线为椭圆时，，．离心率；
当圆锥曲线为双曲线时，，，离心率．
综上可知，圆锥曲线的离心率为或．
故选：．
【变式6-3】（2024·高二·河南·期末）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为
设双曲线的一条渐近线方程为，则，
.
故选：D．
考点题型7：双曲线的简单几何性质问题
【典例7-1】（多选题）（2024·高二·江苏南京·期末）已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是圆，其半径为
B．若，，则是两条直线
C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为
【答案】AB
【解析】对于A，， ，则是圆，半径为，故A正确；
对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确；
对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误；
对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误；
故选：AB．
【典例7-2】（多选题）（2024·高二·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（ ）
A．渐近线方程为B．离心率为
C．D．
【答案】BCD
【解析】因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确.
不妨设点在的右支上，则.因为，
所以.在中，，
则，
所以的面积，
故C，D正确.
故选：BCD
【变式7-1】（多选题）（2024·高二·山东青岛·期末）若双曲线方程为，为双曲线的一个焦点，点在该双曲线上，为坐标原点，则（ ）
A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的焦距为D．的最小值为
【答案】BC
【解析】对于选项A，双曲线中，，得，故A不正确；
对于选项B，双曲线，化为形式，反解，得出其渐近线方程为，故选项B正确；
对于选项C，因为，可得双曲线的焦距为，故选项C正确；
对于选项D，为双曲线的焦点，不妨取，设，，
其中，得：（其中），
当且仅当时PF取得最小值，PF最小值为，故D不正确.
故选：BC.
【变式7-2】（多选题）（2024·高二·陕西渭南·期末）已知双曲线的焦距为，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的有（ ）
A．C的离心率为
B．C的标准方程为
C．C的渐近线方程为
D．C的虚半轴长为
【答案】BC
【解析】由题意知，焦距，，又因为双曲线的渐近线方程为，且两条渐近线的夹角为，所以，又，所以，
所以双曲线C的离心率为，故A错误；
双曲线C的标准方程为，故B正确；
双曲线C的渐近线方程为，故C正确；虚半轴长，故D错误；
故选：BC.
【变式7-3】（多选题）（2024·高二·河北保定·期末）已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（ ）
A．0B．－1C．D．
【答案】AB
【解析】由点，且点满足，
根据双曲线的定义，可得点是以为焦点的双曲线的右支，且，
所以双曲线的方程为，
又由直线，可得，
联立方程组，解得，所以直线过定点，
由双曲线的渐近线方程为，
当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支相切，只有一个公共点，符合题意，所以A正确；
当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意，所以B正确；
当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支没有公共点，不符合题意，所以C不正确；
当时，直线的方程为，联立方程组，其中，
可得，此时，且易知方程有两个正根，
所以直线与双曲线有两个公共点，不符合题意，所以D不正确.
故选：AB.
【变式7-4】（多选题）（2024·高二·云南昭通·期末）已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C的离心率为
C．D．C的渐近线方程为
【答案】AB
【解析】由标准方程可得，
所以，A正确；
离心率，B正确；
，，C错误；
渐近线方程为，D错误.
故选：AB.
考点题型8：利用第一定义求解轨迹
【典例8-1】（2024·高二·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
设动圆的圆心，半径为，依题意，，
则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支，
实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为.
故答案为：
【典例8-2】（2024·高二·吉林长春·期中）已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设点，则，，其中，
由题意可得，化简可得.
故顶点的轨迹方程为.
故答案为：.
【变式8-1】（2024·高二·上海·期中）已知平面直角坐标系中B−2,0、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】因为，故的轨迹为双曲线的右支（扣除顶点），
且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为，
的轨迹方程为：.
故答案为：.
【变式8-2】（2024·高二·云南昆明·期中）已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心）
【答案】
【解析】等轴双曲线上三点的垂心的轨迹方程就是等轴双曲线本身.
证明如下：
由题意，反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，
故证明采用反比例函数.
设垂心的坐标为， 且三个顶点都在等轴双曲线上，
设三个顶点坐标为,
所以直线的方程为，
即，
因为,即，
所以直线的方程为，
同理由,即，
所以直线的方程为，
所以由，
解得的垂心坐标为，
即垂心的横纵坐标的乘积为，
所以垂心的轨迹方程就是原来的等轴双曲线本身.
故答案为：.
【变式8-3】（2024·高二·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】∵，，∴，
∵，∴由正弦定理得，即，，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)．
该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为，
所以轨迹方程为．
故答案为：．
【变式8-4】（2024·高二·河南周口·期末）动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，
所以，即，
展开整理得．
故答案为：．
考点题型9：双曲线的渐近线
【典例9-1】（2024·高二·江苏南京·期末）过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线构成平行四边形，则该平行四边形的面积为 .
【答案】
【解析】由可得其渐近线方程为，
不妨设、，
，交于点、交于点，
则、，
有，解得，即，
有，解得，即，
故，
，
由，设直线的倾斜角为，则有，
故，
故，
由在双曲线上，故，即.
故答案为：.
【典例9-2】（2024·高二·江苏盐城·期末）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为 ．
【答案】/0.5
【解析】根据题意可得，故可得，则，
则右焦点坐标为，一条渐近线为，
右焦点到一条渐近线的距离.
故答案为：.
【变式9-1】（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】设，依题意，设的中点为，
由于，所以，所以，，
由于，所以，
所以，所以或，
由于在双曲线的渐近线上，
所以，两式相减并化简得，，
若，则不符合题意，舍去.
若，则，所以，
所以渐近线方程为.
故答案为：
【变式9-2】（2024·高二·山东·期中）若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .
【答案】/
【解析】由题意，即，可得，
所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和，
所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为.
故答案为：.
【变式9-3】（2024·高二·江苏连云港·期中）已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，
因为直线过且与的一条渐近线平行，
不妨设直线的方程为，即，
由的右支上一点到的距离恒大于，
可得直线到直线的距离恒大于等于，
直线到直线的距离，
所以，所以的最大值为.
故答案为：.
考点题型10：共焦点的椭圆与双曲线
【典例10-1】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限.
∵在的中垂线上，
∴，
由椭圆、双曲线的定义得：，
∴，整理得，
∴，即，
∴，
∴，
令，由定义法可证在为增函数，且，
∵，
∴.
故选：B.
【典例10-2】（2024·高二·浙江绍兴·期中）已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，的一个公共点恰在以为直径的圆上，，分别为椭圆与双曲线的离心率，则的值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的长轴长为，焦距为，设点在第一象限，
所以，，两个式子平方和为，
且点在以为直径的圆上，所以，
所以，，即，
所以.
故选：A
【变式10-1】（2024·全国·二模）如图，平面四边形中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】依题意，由对称性知，四边形是等腰梯形，过作于，连接，
则，，
在中，,
所以与的离心率之积为.
故选：C
【变式10-2】（2024·高二·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
根据椭圆及双曲线的定义可得，
所以.
在中，，由余弦定理可得
，
整理可得，，
两边同时除以可得，.
又，，
所以有，
所以，.
因为，所以，
所以，所以，，，
所以，.
则，
故.
故选：C.
【变式10-3】（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（ ）

A．双曲线的渐近线为B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程为D．的面积为
【答案】D
【解析】A选项，双曲线：的渐近线方程为，A错误；
B选项，由题意得，，
故，由双曲线定义得，故，
设椭圆方程为，故，即，解得，
又，故离心率为，B错误；
C选项，，故椭圆的方程为，C错误；
D选项，在中，由余弦定理得
，
故，
所以的面积为，D正确.
故选：D
考点题型11：直线与双曲线的位置关系
【典例11-1】（2024·高二·上海·期中）已知双曲线
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
(2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数
【解析】（1）由题意得，可得，
故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为；
（2）联立方程，消去得，
当或时，
即或时，有1个交点；
当时，即时，有2个交点；
当时，即或时，无交点.
【典例11-2】（2024·高二·江苏镇江·期中）已知双曲线C的方程为.
(1)求与双曲线C有公共渐近线，且过点的双曲线标准方程；
(2)当过点的直线与双曲线C有两个公共点时，求直线斜率取值范围.
【解析】（1）由已知可设双曲线方程为，
又双曲线过点，即，解得，
故双曲线方程为，即；
（2）设直线的方程为，即，
联立得，
，
解得：且，
综上所述：.
【变式11-1】（2024·高二·江苏南通·期中）焦距为2c的双曲线C：，如果满足“”，则称此双曲线为“等差双曲线”.
（1）若双曲线C是“等差双曲线”，求其渐近线的方程；
（2）对于焦距为10的“等差双曲线”，若过点的直线与其仅有一个公共点，求直线的方程.
【解析】（1），且在双曲线中，有，
联立方程：，得，所以，渐近线方程为：
（2）根据题意得，，得，由（1）得，所以，，
双曲线方程为：，又过点的直线与其仅有一个公共点，
当直线平行于该双曲线的渐近线，即直线斜率与渐近线的斜率相等，所以，故所求直线为：或；
当直线与双曲线渐近线不平行时，可设直线方程为，联立直线与双曲线方程得：，直线与双曲线只有一个公共点等价于，即，化简得，故直线方程为；
综上所述，直线方程为或
【变式11-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
【解析】（1）由条件可知，，且，解得：，，
所以双曲线方程为；
（2）设直线的方程为，
联立，，
时，，得；
当时，时，，得，满足条件，
综上可知，或.
【变式11-3】（2024·高二·黑龙江大兴安岭地·期中）已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值．
【解析】（1）由题知，，
设右焦点，取一条渐近线，
则焦点到渐近线的距离，
，从而，
所以双曲线的方程为.
（2）设，，
由，得，
则，，
所以，
则中点坐标为，
代入圆，得，
所以．
标准方程
图形
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程
为切点
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程
为双曲线外一点
为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，．
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．