清单13 导数的基本问题：切线、单调、极值与最值（清单 导图 考点 题型 变式 ）学案-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）

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【清单01】切线
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
【清单02】单调性
1、单调性基础问题
（1）函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
（2）已知函数的单调性问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
2、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
3、含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
【清单03】极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
【清单04】最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
考点题型1：切线的综合问题
【典例1-1】（2024·高二·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】已知，函数定义域为，
可得，
此时，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
故选：B.
【典例1-2】（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）已知函数的图象在点1,f1处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，则，解得，
则，
所以，即切线经过点，
则该切线的方程为，
即.
故选：C.
【变式1-1】（2024·高二·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，由，得．
设直线与曲线切于点，与曲线切于点，
则，又，
由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1，
即的方程为．
故选：B.
【变式1-2】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】对曲线，在切点处切线的斜率，
所以切线方程为：，
对于曲线，设切点，则在点处切线的斜率，
依题意，即，
又点切点在曲线和切线上，即，
所以，
故选：B.
【变式1-3】（2024·高二·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（ ）
A．不存在B．-1C．3D．3或-1
【答案】D
【解析】因为，所以，，
当为切点时，；
当不为切点时，设切点为，，
所以，
所以切线方程为，
又切线过点，
所以，
即，即，
解得或（舍去），所以切点为，
所以．
综上所述，直线l的斜率为3或-1．
故选：D
【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选：D
【变式1-5】（2024·高二·四川绵阳·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．2B．3C．1D．1.5
【答案】A
【解析】若，则，且，
若，则，且，
又是、的公切线，
设切点分别为、，则，
，则，即.
故选：A
考点题型2：含参数单调区间与不含参数单调区间
【典例2-1】（2024·高二·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 .
【答案】
【解析】因为，，则对恒成立，
所以该函数的严格增区间是.
故答案为：.
【典例2-2】（2024·高二·云南红河·期末）已知函数，（）.
(1)当时，求出方程解的个数；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1）当时，，
即，
设，
则，
且定义域为，
故在时，恒成立，在上单调递增，
在时，恒成立，在上单调递减，
所以，
故只有一个解，
即方程只有一个解.
（2）函数定义域为，
由题意，
当时，在时，恒成立，在上单调递增，
当时，的解为，的解为，
在上递增，在上递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上递增，在上递减．
【变式2-1】（2024·高二·山东烟台·期末）已知函数.
(1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1）当时，，所以.
设切点为，则，
所以，切线方程为，
将代入得，解得或，
故过的切线方程为或.
（2）.
当时，，恒有，函数单调递增，
当时，，当，或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，当，或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减.
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【变式2-2】（2024·高二·浙江·期中）已知．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间．
【解析】（1）由题意可知：的定义域为，且，
当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率为，
所以所求的切线方程为，即.
（2）由（1）可知：的定义域为，，且
令，解得或或（舍去），
当，即时，则，
可知在内单调递增；
当，即时，则有：
若，则；若，则；
可知在内单调递增，在内单调递减；
当，即时，则有：
若，则；若，则；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减为；
当时，的单调递增区间为，单调递减为．
【变式2-3】（2024·高二·广东江门·期中）已知函数．
(1)若，求函数的零点;
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1）若，，
则，
所以函数在单调递增，
又，故有唯一的零点1.
（2）因为，
令，
①当时，，在上，，所以单调递增．
②当时，
当时，，
在上恒成立，所以单调递增．
当或时，，令，
得，
当时，注意到，
所以当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
当时， 注意到，
所以当或时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【变式2-4】（2024·高二·广东清远·期末）函数的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】函数的定义域为R，求导得，
由，得，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
考点题型3：已知单调性求参数
【典例3-1】（2024·高二·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数，则，
因为在0,+∞上单调递增，故f'x≥0在0,+∞上恒成立，
即在0,+∞上恒成立，即，即，
设，x∈0,+∞，，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：D.
【典例3-2】（2024·高二·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（ ）
A．6B．3C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
又，
当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意；
当时，单调递增，令，解得，
所以的单调递增区间为（或），
依题意可得，解得.
故选：C
【变式3-1】（2024·高二·广西南宁·期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题可知，在上恒成立，
显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：D．
【变式3-2】（2024·高二·河南驻马店·期末）若函数 为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数求导得由题意可知，
在内恒成立，即在内恒成立，
故，令，
令，得，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
则函数在有最大值为，
故，
故选：B.
【变式3-3】（2024·高二·辽宁·期末）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，因为在区间上存在单调递减区间，
所以在区间上有解，即在区间上有解，
当显然不出来；
当时，，即，
故选:C．
【变式3-4】（2024·高二·广东·期末）已知函数，若在上单调递减．则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
因为在上单调递减，所以在1,2上恒成立，
即，得在上恒成立，
令，易得在单调递增，
所以，即，所以．
故选：B.
考点题型4：极值问题
【典例4-1】（2024·高二·天津滨海新·期末）若函数只有一个极值点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设，则，故对有，对有.
所以在上递减，在上递增.
同时，有.
当时，根据的单调性，对有.
所以对有，对有.
从而在和上递减，在上递增.
即在上递减，在上递增，这表明恰有一个极值点，满足条件；
当时，根据的单调性，有
.
故，，.
结合，知方程在和上各有一个零点，分别记为.
结合的单调性，知对有，对有.
此时，我们又有.
所以当时，由知，再由知.
所以对有，对有.
从而在和上递减，在和上递增，这表明有三个不同的极值点，不满足条件；
当时，由及，知.
所以对有，对有.
从而在上递减，在和上递增.
此即在上递减，在上递增，这表明恰有一个极值点，满足条件；
当时，由知.
所以对有，对有.
从而在和上递减，在和上递增，这表明有三个不同的极值点，不满足条件.
综上，的取值范围是.
【典例4-2】（2024·高二·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ．
【答案】
【解析】由，可得，
令，解得：，，
令，解得：或，所以在，上单调递增；
令，解得：，所以在上单调递减；
故函数的极大值点为；
故答案为：
【变式4-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）函数在处有极值10，则实数 ．
【答案】
【解析】由求导得，，
依题意，①，②，
联立① ，② ，解得：或.
当，时，，
，函数为增函数，显然不符合题意，故舍去；
当，时，，
，当时，f'x0；当时，f'x