清单14 导数的综合问题（清单 导图 考点 题型 变式 ）学案-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）

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【清单01】导数的综合问题
1、恒成立问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
2、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．

图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．
3、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
5、利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
考点题型1：构造函数解不等式问题
【典例1-1】（2024·高二·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2024·高二·安徽安庆·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·高二·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·高二·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2024·高二·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
考点题型2：证明不等式
【典例2-1】（2024·高二·山东菏泽·期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，时，证明：；
(3)证明：.
【典例2-2】（2024·高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数.
(1)若，求在区间上的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，求证：.
【变式2-1】（2024·高二·福建福州·期末）已知函数．
(1)当时，判断的单调性；
(2)证明：当时，．
【变式2-2】（2024·高二·黑龙江·期末）已知，函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：，.
【变式2-3】（2024·高二·河南漯河·期末）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)对任意的恒成立，求的值；
(3)证明：.
【变式2-4】（2024·高二·吉林长春·期末）已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)令，证明：当时，.
【变式2-5】（2024·高二·北京丰台·期末）已知函数（）．
(1)若在区间上单调递减，求的取值范围；
(2)当时，求证：．
考点题型3：恒成立问题
【典例3-1】（2024·高二·北京海淀·期末）已知函数，其中.
(1)若在处取得极值，求的单调区间；
(2)若对于任意，都有，求的值.
【典例3-2】（2024·高二·黑龙江绥化·期末）已知函数，．
(1)若在上有两个极值点，求a的取值范围；
(2)证明：若在 上恒成立，则．
【变式3-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知函数．
(1)当时，求过点的切线方程；
(2)若有极值且恒成立，求的取值范围．
【变式3-2】（2024·高二·江苏南京·期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
考点题型4：能成立问题
【典例4-1】（2024·高二·四川绵阳·期末）已知函数.
(1)若， 求曲线在点处的切线方程;
(2)若无零点，求实数的取值范围;
(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【典例4-2】（2024·高二·四川眉山·期末）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若存在，使，求的取值范围．
【变式4-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2．
(1)求的解析式；
(2)若，使得有解，求实数的取值范围．
【变式4-2】（2024·高二·江苏南京·期末）设 R，已知函数，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 Z，若有解，求 的最小值.
【变式4-3】（2024·高二·黑龙江双鸭山·期末）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)存在且，使成立，求的取值范围．
【变式4-4】（2024·高二·天津·期中）已知函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)若在单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
【变式4-5】（2024·高二·福建泉州·期中）已知函数（为常数）
(1)讨论函数的单调性；
(2)不等式在上有解，求实数的取值范围.
考点题型5：零点问题
【典例5-1】（2024·高二·河南洛阳·期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间;
(2)讨论函数在区间内的零点的个数.
【典例5-2】（2024·高二·河北邢台·期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围.
【变式5-1】（2024·高二·湖南·期末）已知函数.
(1)若是的极大值点，求的值；
(2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数.
注：若，当时，，当时，.
【变式5-2】（2024·高二·广东深圳·期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在的切线方程；
(2)设在区间上的最大值为，求，并判断函数的零点个数.
【变式5-3】（2024·高二·海南海口·期末）已知函数.
(1)当时，求在区间上的极大值；
(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围.
考点题型6：方程的根问题
【典例6-1】（2024·高二·陕西汉中·期末）已知函数.
(1)求的单调区间及极值点；
(2)若方程有三个不同的根，求整数的值.
【典例6-2】（2024·高二·黑龙江·期末）已知函数.
(1)若，求的图象在点处的切线方程；
(2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围.
【变式6-1】（2024·高二·江西景德镇·期末）已知函数.
(1)求的极值点；
(2)判断方程在区间上的解的个数，并说明理由.
【变式6-2】（2024·高二·江苏常州·期末）已知函数，.
(1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明.
【变式6-3】（2024·高二·北京房山·期中）设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若已知，且的图象与相切，求的值；
(3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求的取值范围．
考点题型7：双变量问题问题
【典例7-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）设函数,
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，是函数的两个零点，且，求的最小值.
【典例7-2】（2024·高二·陕西西安·期末）已知函数.
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值.
【变式7-1】（2024·高二·山东威海·期末）设函数.
(1)若直线是曲线的切线，求实数的值；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，记函数，若，证明：.
【变式7-2】（2024·高二·河北石家庄·期末）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知为的两个极值点，证明：．
【变式7-3】（2024·高二·西藏拉萨·期末）已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：
【变式7-4】（2024·高二·山东烟台·期末）已知函数存在两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)设函数的极值点之和为，零点之和为，求证：.
考点题型8：实际应用问题
【典例8-1】（2024·高二·山东德州·期中）某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完.
(1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；
(2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？
【典例8-2】（2024·高二·广东清远·期中）已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且
(1)写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少?
（注：年利润年销售收入-年总成本）
【变式8-1】（2024·高二·福建龙岩·期中）二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【变式8-2】（2024·高二·北京西城·期末）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计）
(1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数；
(2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？
【变式8-3】（2024·高二·重庆·期末）2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元.
(1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？
(2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？
考点题型9：极值点偏移问题
【典例9-1】（2024·高二·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线y=fx在处的切线的斜率为3.
(1)求的值；
(2)证明：当时，；
(3)若对任意两个正实数，且，有，求证：.
【典例9-2】（2024·高二·江苏扬州·期末）已知函数.
(1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若有两个零点，求证：.
【变式9-1】（2024·高二·辽宁本溪·期末）已知函数的导函数为.
(1)若，求的取值范围；
(2)若有两个极值点，证明：.
【变式9-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若有两个零点，且，求证：.
【变式9-3】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)若函数有两个零点.
①求实数的取值范围；
②证明：.
【变式9-4】（2024·高二·江西上饶·期末）已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数的最大值；
(2)讨论的单调性；
(3)若在上单调递增，存在且，使得，证明：．