江西省赣州市南康区第十中学2024-2025学年七年级上学期第二次月考数学试卷

这是一份江西省赣州市南康区第十中学2024-2025学年七年级上学期第二次月考数学试卷，共20页。
1．下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cmB．2cm、3cm、6cm
C．3cm、4cm、6cmD．4cm、5cm、10cm
3．正十边形的外角和的度数为（ ）
A．1440°B．720°C．360°D．180°
4．如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72°B．60°C．50°D．48°
5．如果4x﹣3是4x2+5x+m的一个因式，则m的值是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣8D．8
6．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于H，若PH＝7，则点P与射线OA上某一点连线的长度可以是（ ）
A．4B．8C．5D．6
二．填空题（共6小题）
7．分解因式：3x3﹣6x2+3x＝ ．
8．一副三角板有两个直角三角形，其中一个锐角分别是30°、60°，另一个锐角都是45°，把这两个三角形如图方式摆放，那么∠AOC＝ 度．
9．已知x+y＝13，x2+y2＝89，则x﹣y＝ ．
10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AE＝6，EC＝3，则BC的长为 ．
11．如图，AB＝5cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA＝60°．点E沿线段AB由点A向点B运动，点F沿线段BD由点B向点D运动，E、F同两点时出发，它们的运动时间记为t秒．已知点E的运动速度是1cm/s，如果顶点是A、C、E的三角形与顶点是B、E、F的三角形全等，那么点F的运动速度为 cm/s．
12．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝3cm，BC＝9cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．
三．解答题（共11小题）
13．已知一个多边形的内角和等于1620°，求这个多边形的边数．
14．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
15．如图，已知△ABC≌△DEC，AF⊥CD，∠CAF＝25°，求∠BCE的值．
16．如图，AD是等腰三角形底边BC的中线，BC＝10cm，∠B＝48°，求∠BAD的度数和BD的长度．
17．如图，B，C，E，F在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BE＝CF．求证：AC＝DF．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C坐标分别为（﹣3，2），（﹣4，﹣3），（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（A、B、C的对称点分别为A1、B1、C1）
（2）写出△A1B1C1各顶点A1、B1、C1的坐标．A1 、B1 、C1
（3）直接写出△ABC的面积＝ ．
19．计算：
（1）（2x3）2+x•x2•x3﹣x7÷x； （2）36（x﹣1）2＝121．
20．因式分解
①3a2b+9ab3﹣3ab； ②2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）；
③a3﹣9a； ④（x2+4）2﹣16x2．
21．（1）试说明代数式(2n-3)2+(14m+2n)(14m-2n)+12n的值与n无关；
（2）已知x+y＝6，xy＝4，分别求出求x2+y2与x﹣y的值．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AD⊥CB于点D，延长DA至点E，使得DE＝AC，过点E作EF∥AB，交CB的延长线于点F，连接CE．
（1）求证：△ACB≌△DEF；
（2）若∠FCE＝50°，∠CEF＝70°，求∠FCA的度数．
23．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是AB边上的中线，BD的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，∠CDG＝15°．
（1）求证：AD＝AG；
（2）试判断△CDE的形状，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cmB．2cm、3cm、6cm
C．3cm、4cm、6cmD．4cm、5cm、10cm
【分析】根据三角形三边关系判断即可．
【解答】解：A．1+2＝3，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B．2+3＜6，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C．3+4＞6，能组成三角形，故本选项符合题意；
D．4+5＜10，不能组成三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，即“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．
3．正十边形的外角和的度数为（ ）
A．1440°B．720°C．360°D．180°
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【解答】解：正十边形的外角和的度数为360°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
4．如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72°B．60°C．50°D．48°
【分析】全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案．
【解答】解：根据图像可得：边b所对的角度为：180°﹣60°﹣72°＝48°，
∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝48°．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的性质．解题时要认准对应关系．
5．如果4x﹣3是4x2+5x+m的一个因式，则m的值是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣8D．8
【分析】根据题意可得4x2+5x+m＝（4x﹣3）（x+8），再根据多项式乘多项式的运算法则求解即可．
【解答】解：∵4x﹣3是4x2+5x+m的一个因式，
设4x2+5x+m＝（4x﹣3）（x+b），
∴4x2+（4b﹣3）x﹣3b＝4x2+5x+m，
∴4b﹣3＝5，m＝﹣3b，
解得b＝2，m＝﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解，得出另一个因式是解答本题的关键．
6．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于H，若PH＝7，则点P与射线OA上某一点连线的长度可以是（ ）
A．4B．8C．5D．6
【分析】过点P作PM⊥OA于点M，设点N为OA上某一点，连接PN，由角平分线的性质推出PM＝PH＝7，由垂线段最短得到PN≥PM，即可得到答案．
【解答】解：过点P作PM⊥OA于点M，设点N为OA上某一点，连接PN，
∵OC平分∠AOB，PH⊥OB于H，
∴PM＝PH＝7，
∵PN≥PM，
∴点P与射线OA上某一点连线的长度可以是8．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．分解因式：3x3﹣6x2+3x＝ 3x（x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，即可得到答案．
【解答】解：3x3﹣6x2+3x
＝3x（x2﹣2x+1）
＝3x（x﹣1）2；
故答案为：3x（x﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
8．一副三角板有两个直角三角形，其中一个锐角分别是30°、60°，另一个锐角都是45°，把这两个三角形如图方式摆放，那么∠AOC＝ 108 度．
【分析】首先结合题意确定∠BCD，∠ACD的值，再利用∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠ACD求解即可．
【解答】解：根据题意，可知∠A＝∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，∠BCE＝42°，
∴∠BCD＝∠DCE﹣∠BCE＝60°﹣42°＝18°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°﹣18°＝27°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣45°﹣27°＝108°．
故答案为：108．
【点评】本题主要考查了平面内角的运算以及三角形内角和定理，正确理解题意，确定所需数据是解题关键．
9．已知x+y＝13，x2+y2＝89，则x﹣y＝ ±3 ．
【分析】根据完全平方公式求出xy＝40，再根据完全平方公式求出（x﹣y）2，即可求出x﹣y的值．
【解答】解：∵x+y＝13，
∴（x+y）2＝169，
∴x2+2xy+y2＝169，
∵x2+y2＝89，
∴89+2xy＝169，
∴xy＝40，
∴（x﹣y）2
＝（x+y）2﹣4xy
＝132﹣4×40
＝169﹣160
＝9，
∴x﹣y＝±3，
故答案为：±3．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AE＝6，EC＝3，则BC的长为 9 ．
【分析】由线段垂直平分线的性质推出BE＝AE，即可得到BC＝AE+EC＝9．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴BC＝BE+EC＝AE+EC＝6+3＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查线段垂直平分垂线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等．
11．如图，AB＝5cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA＝60°．点E沿线段AB由点A向点B运动，点F沿线段BD由点B向点D运动，E、F同两点时出发，它们的运动时间记为t秒．已知点E的运动速度是1cm/s，如果顶点是A、C、E的三角形与顶点是B、E、F的三角形全等，那么点F的运动速度为 85或1 cm/s．
【分析】设运动的时间为t s，点F的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AE＝BE，AC＝BF，②AE＝BF，AC＝BE，列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设运动的时间为t s，点F的运动速度是x cm/s，
∵∠CAB＝∠DBA＝60°，
∴A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况：
①AE＝BE，AC＝BF，
则1×t＝5﹣1×t，
解得：t=52，
则4=52x，
解得：x=85；
②AE＝BF，AC＝BE，
则1×t＝tx，5﹣1×t＝4，
解得：t＝1，x＝1，
故答案为：85或1．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
12．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝3cm，BC＝9cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 0或6或12或18 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．
【分析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．
【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，
∵AC＝3cm，
∴BP＝3cm，
∴CP＝9﹣3＝6cm，
∴点P的运动时间为6÷1＝6（秒）；
②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等，
这时BC＝PB＝9cm，CP＝0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，
∵AC＝3cm，
∴BP＝3cm，
∴CP＝3+9＝12cm，
∴点P的运动时间为12÷1＝12（秒）；
④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等，
∵BC＝9cm，
∴BP＝9cm，
∴CP＝9+9＝18，
点P的运动时间为18÷1＝18（秒），
故答案为：0或6或12或18．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，解题时注意斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
三．解答题（共11小题）
13．已知一个多边形的内角和等于1620°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得（n﹣2）•180°＝1620°，
解得 n＝11．
即这个多边形的边数为11．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
14．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义求出∠CAE的度数，再根据直角三角形的性质求出∠CAD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC＝40°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝80°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝10°．
答：∠DAE的度数是10°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
15．如图，已知△ABC≌△DEC，AF⊥CD，∠CAF＝25°，求∠BCE的值．
【分析】由根据直角三角形的性质得出∠ACD＝90°﹣25°＝65°，再由△ABC≌△DEC可得∠ACB＝∠DCE，推出∠ACD＝∠BCE＝65°，即可求解．
【解答】解：∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACD+∠CAF＝90°，
又∵∠CAF＝25°，
∴∠ACD＝65°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD＝65°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
16．如图，AD是等腰三角形底边BC的中线，BC＝10cm，∠B＝48°，求∠BAD的度数和BD的长度．
【分析】由等腰三角形的性质推出AD⊥BC，BD=12BC＝5cm，由直角三角形的性质得到∠BAD＝90°﹣∠B＝42°．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，BD=12BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣48°＝42°，
∵BC＝10cm，
∴BD＝5cm．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出AD⊥BC，BD=12BC．
17．如图，B，C，E，F在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BE＝CF．求证：AC＝DF．
【分析】首先利用平行线的性质得∠B＝∠DEF，再利用AAS得出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
又∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C坐标分别为（﹣3，2），（﹣4，﹣3），（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（A、B、C的对称点分别为A1、B1、C1）
（2）写出△A1B1C1各顶点A1、B1、C1的坐标．A1 （3，2） 、B1 （4，﹣3） 、C1 （1，﹣1）
（3）直接写出△ABC的面积＝ 6.5 ．
【分析】（1）、（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A、B、C的对称点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）顶点A1、B1、C1的坐标分别为（3，2），（4，﹣3），（1，﹣1）；
（3）△ABC的面积＝3×5-12×2×3-12×2×3-12×5×1＝6.5．
故答案为（3，2），（4，﹣3），（1，﹣1）；6.5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征．
19．计算：
（1）（2x3）2+x•x2•x3﹣x7÷x；
（2）36（x﹣1）2＝121．
【分析】（1）先根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算，再合并同类项即可；
（2）利用平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）（2x3）2+x•x2•x3﹣x7÷x
＝4x6+x6﹣x6
＝4x6；
（2）36（x﹣1）2＝121，
(x-1)2=12136，
x﹣1=±116，
x=176或x=-56．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、平方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．因式分解
①3a2b+9ab3﹣3ab；
②2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）；
③a3﹣9a；
④（x2+4）2﹣16x2．
【分析】①利用提公因式法分解因式即可；
②先变形，再提公因式分解因式即可；
③先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
④先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：①3a2b+9ab3﹣3ab＝3ab（a+3b2﹣1）；
②2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）
＝2x（a﹣2）+y（a﹣2）
＝（a﹣2）（2x+y）；
③a3﹣9a
＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3）；
④（x2+4）2﹣16x2
＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
＝（x+2）2（x﹣2）2．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法分解因式是解题的关键．
21．（1）试说明代数式(2n-3)2+(14m+2n)(14m-2n)+12n的值与n无关；
（2）已知x+y＝6，xy＝4，分别求出求x2+y2与x﹣y的值．
【分析】（1）先根据完全平方公式、平方差公式计算，再合并即可，根据结果即可作出判断；
（2）根据完全平方公式计算即可．
【解答】解：(2n-3)2+(14m+2n)(14m-2n)+12n
=4n2-12n+9+116m2-4n2+12n
＝9+116m2，
因为结果中不含字母n，所以代数式(2n-3)2+(14m+2n)(14m-2n)+12n的值与n无关；
（2）∵x+y＝6，xy＝4，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×4＝36﹣8＝28，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝62﹣4×4＝36﹣16＝20，
∴x﹣y=±25．
【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式，合并同类项，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AD⊥CB于点D，延长DA至点E，使得DE＝AC，过点E作EF∥AB，交CB的延长线于点F，连接CE．
（1）求证：△ACB≌△DEF；
（2）若∠FCE＝50°，∠CEF＝70°，求∠FCA的度数．
【分析】（1）根据垂直定义、平行线的性质求出∠FDE＝90°＝∠BAC，∠CBA＝∠F，利用AAS即可证明△ACB≌△DEF；
（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CB，∠BAC＝90°，
∴∠FDE＝90°＝∠BAC，
∵EF∥AB，
∴∠CBA＝∠F，
在△ACB和△DEF中，
∠CBA=∠F∠BAC=∠FDEAC=DE，
∴△ACB≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵△ACB≌△DEF，
∴∠FCA＝∠FED，
∵∠FCE＝50°，∠CEF＝70°，
∴∠F＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵∠FDE＝90°，
∴∠FED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠FCA＝30°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是AB边上的中线，BD的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，∠CDG＝15°．
（1）求证：AD＝AG；
（2）试判断△CDE的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据已知条件，根据三线合一以及三角形内角和定理得出CD⊥AB，∠A＝∠B=12（180°﹣∠ACB）＝30°，AD＝DB，进而根据∠CDG＝15°，得出∠AGD＝∠ADG，根据等角对等边即可得证；
（2）根据EF是B的垂直平分线，得出DE＝EB，根据等边对等角得出∠EDB＝∠B＝30°，进而得出∠DCE＝∠CDE＝60°，可得△CDE是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是BC边上的中线，
∴CD⊥AB，∠A＝∠B=12（180°﹣∠ACB）＝30°，AD＝BD，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠CDG＝15°，
∴∠ADG＝90°﹣∠CDG＝75°，
∴∠AGD＝180°﹣∠A﹣∠ADG＝75°，
∴∠AGD＝∠ADG，
∴AG＝AD；
（2）△CDE是等边三角形．理由如下：
∵EF垂直平分线段BD，
∴DE＝EB，
∵∠B＝30°，
∴∠EDB＝∠B＝30°，
∴∠CDE＝90°﹣∠EDB＝60°，
又∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是BC边上的中线，
∴∠DCB=12∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
C
D
A
B