河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

这是一份河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷共4页，满分150分，已知点是直线，已知，过抛物线，已知椭圆，吹奏乐器“埙”，以下说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
说明：1．本试卷共4页，满分150分．
2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．3C．D．1
2．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
3．双曲线的左焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）
A．2B．C．1D．
4．已知点是直线：上一动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为、，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，过抛物线：的焦点作直线交于，两点，若上存在点，使得四边形PAQB为平行四边形，则．（ ）
A．是定值B．有最大值
C．有最小值D．以上说法均不正确
6．已知椭圆：，，是左右顶点，，在椭圆上，满足，则直线PQ恒过定点（ ）
A．B．C．D．
7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
8．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ）
图1图2
A．B．
C．D．
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．以下说法正确的有（ ）
A．若，，且，则一定有，，，四点共面；
B．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底；
C．若，，则；
D．正方体，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面上．
10抛物线：的准线为，为上的动点，过作：的一条切线，为切点，过作的垂线，垂足为，则（ ）
A．与相切
B．当，，三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
11．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当过时，光由所经过的路程为13
C．射线所在直线的斜率为，则
D．若点，直线PT与相切，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．设双曲线：的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为______．
13．过点与圆相切的直线方程为______
14．伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654—1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．
在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹就是伯努利双纽线，的方程为，其形状类似于符号，若点是轨迹上一点，给出下列四个结论：
①曲线关于原点中心对称；②恒成立；
③曲线上任一点到原点的距离不超过；④当时，取得最大值或最小值．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知圆过原点和点，圆心在轴上．
（1）求圆的方程；
（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程．
16．（15分）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，，，，，点是的中点，点是平面与直线的交点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
17．（15分）抛物线：上的点到的准线的距离为5．
（1）求的方程；
（2）已知直线与交于，两点，若（为坐标原点），交AB于点．点坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值．
18．（17分）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线PM，PN分别交双曲线于不同于点的、两点，求点到直线MN距离的最大值．
19．（17分）已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线PF的斜率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点．
（ⅰ）求点的轨迹方程；
（ⅱ）求周长的最小值．
邢台一中2024—2025学年第一学期第三次月考
高二数学参考答案
一、
二、
12．13．或14．①②③
三、15．（1）解；设圆心为，由题意可得，
则，解得，所以，圆的半径为，
故圆的方程为．
（2）解：设点，共中，则，设点，
因为，则，
可得，可得，
因为点在圆上，则，即．
故点的轨迹方程为．
16（1）因，平面，平面，则平面，
又因平面．平面平面，故，
故；
（2）
因平面，，，可得，
故可以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，故可取，
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成的角的正弦值为．
17．（1）根据题意利用抛物线定义可知，解得；
所以抛物线的方程为；
（2）如下图所示：
设直线的方程为，与抛物线方程联立整理可得，
设，，则可得，；
由于，所以可得，即，
可得，解得或（舍）；
又，所以可得直线OD的方程为，
联立，可得点的坐标为；
又，所以可得
；
即的长度为定值2．
18．（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以双曲线的，又因为，所以，，所以双曲线的方程为．
（2）当直线MN的斜率不存在时，设，则，，，依题意，，即，由解得或（舍去），
所以，，此时到直线MN的距离为．
当直线MN的斜率存在时，设，，设直线MN的方程为．
由消去并化简得：，
，①，
，，
依题意，所以
，
整理得，即，
由于直线MN，，所以，，
函数的开口向上，
判别式为，故①成立．
所以直线MN的方程为，即，
所以到MN的距离，，
当时，：当时，
当且仅当，时等号成立．
所以，，．综上所述，点到直线MN的距离的最大值为．
19．（17分）
【解析】（1）由题意得，直线PF的方称为，即，
当时，，故，由解得或（舍去），
椭圆的方程．
（2）（ⅰ）设直线MN：，，，，
与联立，
所以，，
由可得
；化简可得①
设的方程为，即，与联立
，令
，结合，解得，
所以切线方程为，即直线方程为：，
不存在时也满足此直线方程，同理可得方程为：，
由在直线，上，则，即，在直线上，
所以直线MN方程为：，即②，
由①②可得，时也满足此方程，所以的轨迹方程为．
（ⅱ）由（ⅰ）可知在以为焦点，以为准线的抛物线上，过，分别向直线作垂线，垂足分别为，，
由抛物线定义可得：，
当且仅当，，共线时取等，所以周长的最小值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
B
D
A
C
B
D
ACD
ABD
CD