北师大版数学八年级下册第六章平行四边形微专题——折叠问题训练3（含答案）

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北师大版数学八年级下册第六章平行四边形微专题——折叠问题训练3一、选择题1. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是(    )A. 2 10-2 B. 6 C. 4 D. 2 13-22. 如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=1，则▱ABCD的周长为(    )A. 4B. 5C. 6D. 73. 如图，在▱ABCD中，将ΔADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若AB=3,AC=4,则ΔADE的周长为(    )A. 14 B. 15 C. 16 D. 184. 如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4，AD=2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为(    )A. 94 B. 6 77 C. 5 D. 3 745. 如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，∠DEF=60∘.将四边形EFCD沿EF折叠，得到四边形EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为(    )A. 6 B. 12 C. 18 D. 246. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，若∠A=45°，AB=6 2，5BE=AE，则AF长度为(    )A. 152 B. 7 C. 6 D. 20二、填空题7. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，折叠△AEF使得点A落在CD上G点.若∠ABC=120°，AD=4 3，AB=8，则BE长度的最大值为______ ．8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积______．9. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCD=45°，AB=BD=6，E为AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，当点F落在平行四边形的对角线上时，OF的长为______．10. 如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点E处，折痕为AF.若AB=5，AD=3，则CF的长为______．11. 如图，平行四边形ABCD中，∠A=45°，BC=10 2，DC=15，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠点C恰好落在BD边上的点G处，则△BGF的面积为______． 如图，在□ABCD中，∠A=60°，AB=6，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使CD落在直线AB上，点C的对应点为C'，点D的对应点为D'，若BD'=2，则AD的长为__________．三、解答题13. 四边形ABCD中，∠ABC=90º，∠D=60º，AB=4，AD=CD，E为对角线AC的中点，延长BE交CD于F，∠ACB=30º．(1)求证：四边形ABFD是平行四边形；(2)将四边形ABCD折叠，使B、D重合，折痕为MN，求CM、MN的长。14. 如图，平行四边形纸片ABCD中，折叠纸片使点D落在AB上的点E处，得折痕AF，再折叠纸片使点C落在EF上的G点，得折痕FH．(1)请说明：∠AFH=90°；(2)请说明：GH//AB．15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得到△A'PB．(1)如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度．(2)当∠DPA'=10°时，求∠APB的度数．16. 如图，一张四边形纸片ABCD，AB//CD，AD//BC，把纸片的一角沿折痕CN折叠，使BC与DC边重合，B'是点B的对应点，过点C作CM⊥CN，(1)证明：AD//NB'；(2)若∠B=64°，试求∠BCM的度数．17. 如图，在□ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E． (1)求证：四边形BCED'是平行四边形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD'+PB的最小值．18. (1)如图 ①，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F求证：AE=CF;(2)如图 ②，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I，求证：EI=FG．参考答案1.D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.A 7.2 8.7 32 9.3或9 55 10.2 11.3 12.8或16 13.证明：(1)∵∠ABC=90º，∠ACB=30º，∴∠CAB=60º，                                 ∵BE为斜边上的中线，∴AE=BE，∴ΔABE是等边三角形，∴∠AEB=60º，∵AD=CD，∠D=60°∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠CAD=60º，∴∠AEB=∠CAD，∠BAC=∠ACD，∴BF//AD，AB//DF，∴四边形ABFD是平行四边形；(2)∵折叠，可得BM=DM，BN=DN，∵∠ABC=90º，∠ACB=30º，∴AC=2AB=8，BC= AC2-AB2= 82-42=4 3，设CM=x，则BM=MD=8-x ，在RtΔCBM中，由勾股定理得CB2+CM2=BM2， 即x2+(4 3)2=(8-x)2，解得x=1 ，即CM=1，过点B作BP⊥NA延长线于P，∵∠BAD=60º+60º=120º，∴∠BAP=180º-120º=60º，∴∠ABP=30º，∴AP=12AB=2，PB= AB2-AP2= 16-4=2 3，设AN=y，则BN=DN=AD-AN=AC-AN=8-y，在Rt△NPB中，由勾股定理得：PB2+NP2=BN2,(2 3)2+(y+2)2=(8-y)2 ，解得y=125，则DN=AD-AN=8-125=285，过点M作MQ⊥AD于Q，∵∠D=60º， ∴∠DMQ=90º-60º=30º，∴DQ=12DM=72，∴QN=DN-DQ=285-72=2110，∵MQ= DM2-DQ2= 72-(72)2=72 3，MN = MQ2+NQ2= 7 322+21102=7 215． 14.解：(1)∵折叠纸片使点D落在AB上的点E处，∴∠DFA=∠EFA，∵折叠纸片使点C落在EF上的G点，∴∠CFH=∠GFH，∵∠DFA+∠EFA+∠GFH+∠CFH=180°，∴∠EFA+∠GFH=12×180°=90°，∴∠AFH=90°；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠DFA=∠FAE，∵∠DAF=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，由折叠的性质得，AD=AE，∴AE=DF，∵AE//DF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AD//EF，∴EF//BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∴∠C=∠BEF，由折叠的性质的，∠C=∠FGH，∴∠FGH=∠BEF，∴GH//AB． 15.解：(1)如图2中，作BH⊥AD于H．在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=10，∠A=60°，∴∠ABH=30°，∴AH=12AB=12×10=5，BH= AB2-AH2= 102-52=5 3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∵PA'⊥BC，∴PA'⊥AD，∴∠APA'=90°，∴∠HPB=∠BPA'=45°，∴PH=BH=5 3，∴PA=AH+PH=5+5 3；(2)如图，①当PA'在直线AD的右侧时，∵∠DPA'=10°，∴∠APA'=180°-∠DPA'=180°-10°=170°，由翻折的性质可知：∠A'PB=∠APB=12××170°=85°；②当PA'在直线AD的左侧时，∠APB=∠A'PB=12(180°+10°)=95°，③当点P在AD的延长线上时，由折叠知，∠APB=∠A'PB=12∠DPA'=5°故∠APB的度数为85°或95°或5°； 16.(1)证明：∵AB//CD，AD//BC，∴∠B+∠A=180°，∠A+∠D=180°，∴∠B=∠D，由折叠知：∠B=∠NB'C，∴∠D=∠NB'C，∴AD//NB'；(2)解：∵AB//CD，∴∠B+∠DCB=180°，∴∠DCB=116°，∴∠NCB=12∠DCB=58°，又∵CM⊥CN，∴∠NCM=90°，∴∠BCM=90°-58°=32°． 17.证明：(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，∴∠DAE=∠D'AE，∠DEA=∠D'EA，∠D=∠AD'E，∵DE//AD'，∴∠DEA=∠EAD'，∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA，∴∠DAD'=∠DED'，∴四边形DAD'E是平行四边形，∴DE=AD'，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB//DC，∴CE=D'B，CE//D'B，∴四边形BCED'是平行四边形；∵AD=AD'，∵AB=2，AD=1，∴AD=AD'=BD'=CE=BC=1，∴▱BCED'是菱形，(2)∵四边形DAD'E是菱形，∴D与D'关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD'+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，∵CD//AB，∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，∴AG=12，DG= 32，∴BG=52，∴BD= DG2+BG2= 7，∴PD'+PB的最小值为 7． 18.证明：(1)如图1，∵AD//BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵OA=OC，∴△AOE≅△COF，∴AE=CF．(2)证法一：由(1)得AE=CF.如图2，∵AE=A1E，∴A1E=CF．∵∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠5=∠6.在△A1IE与△CGF中，∠5=∠6,∠A1=∠C,A1E=CF,∴△A1IE≌△CGF(AAS)，∴EI=FG．证法二：由(1)得AE=CF.如图3，∵A1E//B1F，∴∠A1EI+∠1+∠2=180∘．又∵DE//CF，∴∠CFG+∠1+∠2=180∘，∴∠A1EI=∠CFG．又∵∠A=∠A1=∠C，A1E=AE=CF，∴△A1EI≌△CFG，∴EI=FG．