辽宁省铁岭市中考数学试卷（含解析版）

这是一份辽宁省铁岭市中考数学试卷（含解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（2014•铁岭）﹣4的倒数是（ ）
A．﹣4B．4C．﹣D．
2．（3分）（2013•凉山州）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）（2014•铁岭）下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）（2014•铁岭）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+3a=5a3B．a2•a3=a6C．（a3）2=a6D．a3﹣a3=a
5．（3分）（2014•铁岭）下列事件是必然事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，命中靶心
B．单项式加上单项式，和为多项式
C．打开电视机，正在播广告
D．13名同学中至少有两名同学的出生月份相同
6．（3分）（2014•铁岭）不等式1﹣x＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）（2014•铁岭）一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根分别是⊙O1和⊙O2的半径长，圆心距O1O2=4，则⊙O1和⊙O2的位置关系（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
8．（3分）（2014•铁岭）某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（ ）
A．﹣=5B．﹣=5
C．﹣=5D．
9．（3分）（2014•铁岭）如图，▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE=4，CE=3，则AB的长是（ ）
A．B．3C．4D．5
10．（3分）（2014•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y=（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB=4，则双曲线y=的k值为（ ）
A．5B．4C．3D．2

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2014•铁岭）将数据0.0000064用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2014•铁岭）分解因式：a3b﹣2a2b2+ab3= ．
13．（3分）（2014•铁岭）根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制了如下统计表，那么关于该班40名同学一周的体育锻炼时间的中位数是 小时．
14．（3分）（2014•铁岭）如图，直线AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，那么∠E= 度．
15．（3分）（2014•铁岭）有正面分别写有数字1、2、3、4的四张卡片（卡片除数字不同外，其余均相同），背面朝上充分混合后，小明从中随机抽取一张，再从剩下的卡片中随机抽取另一张．若把第一张卡片上的数字作为个位数字，第二张卡片上的数字作为十位数字，组成一个两位数，则所组成的两位数是3的倍数的概率是 ．
16．（3分）（2014•铁岭）用圆心角是216°，半径是5cm的扇形围成一个圆锥体的侧面（接缝处不重叠），则这个圆锥体的高是 cm．
17．（3分）（2014•铁岭）如图，已知点A和点B是直线y=x上的两点，A点坐标是（2，）．若AB=5，则点B的坐标是 ．
18．（3分）（2014•铁岭）将（n+1）个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A、A1、A2、A3、…An+1和点M、M1、M2、M3，…Mn是正方形的顶点，连结AM1，A1M2，A2M3，…AMn，分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2，…AnMn﹣1于点N1，N2，N3，…，Nn，四边形M1N1A1A2的面积为S1，四边形M2N2A2A3的面积是S2，…四边形MnNnAnAn+1的面积是Sn，则Sn= ．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）（2014•铁岭）化简方程：（﹣x+2）÷，其中x=3tan30°﹣（3.14﹣π）0．
20．（12分）（2014•铁岭）“端午节”是我国传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．某食品厂为了了解市民对去年销量较好的A（肉馅粽子）、B（红枣粽子）、C（蛋黄粽子）三种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对市民进行了随机调查．并对调查情况绘制了如下都不完整的统计图．请根据图中信息，完成下列各题．
（1）本次被随机调查的市民有多少人？
（2）将两幅统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中“C”所在的扇形圆心角的度数；
（4）若该市人口约有120000人，请你根据调查结果估计其中喜欢“肉馅粽子”的人数．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）（2014•铁岭）为培养学生养成良好的“爱读书，读好书，好读书”的习惯，我市某中学举办了“汉字听写大赛”，准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，一个书包和一本词典会花去48元，用124元恰好可以购买3个书包和2本词典．
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？
（2）学校计划用总费用不超过900元的钱数，为获胜的40名同学颁发奖品（每人一个书包或一本词典），求最多可以购买多少个书包？
22．（12分）（2014•铁岭）如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是1，=，∠ABC=45°，求OH的长．

五、解答题（满分12分）
23．（12分）（2014•铁岭）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米）

六、解答题（满分12分）
24．（12分）（2014•铁岭）某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）的关系大致满足如图的函数，销售成本y2（元/件）与销售月份x（月）满足y2=，月销售量y3（件）与销售月份x（月）满足y3=10x+20．
（1）根据图象求出销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（6≤x≤12且x为整数）
（2）求出该服装月销售利润W（元）与月份x（月）之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？（6≤x≤12且x为整数）

七、解答题
25．（12分）（2014•铁岭）如图，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），直线CE绕C点顺时针旋转60°与直线AD相交于点F，连接EF．
（1）如图①，当点E在线段BD上时，∠CEF= 度；
（2）如图②，当点E在BD延长线上时，试判断∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系，并说明理由；
（3）如图③，若四边形ABCD为平行四边形，∠DBC=∠DCB=45°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），射线CE绕C点顺时针旋转45°与直线AD相交于点F，连接EF，探究∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系．（直接写出结果）

八、解答题（满分14分）
26．（14分）（2014•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．
①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．

辽宁省铁岭市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2014•铁岭）﹣4的倒数是（ ）
A．﹣4B．4C．﹣D．
【考点】倒数．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣4的倒数是﹣，
故选：C．

2．（3分）（2013•凉山州）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选B．

3．（3分）（2014•铁岭）下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、此三棱柱的三视图分别为长方形，长方形，三角形，故A不符合题意；
B、圆锥的三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故B不符合题意；
C、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，故C不符合题意；
D、球的三视图都是圆，故D符合题意；
故选：D．

4．（3分）（2014•铁岭）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+3a=5a3B．a2•a3=a6C．（a3）2=a6D．a3﹣a3=a
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】运用合并同类项，同底数幂的乘法及幂的乘方的法则计算即可．
【解答】解：A、2a2+3a，不是同类项不能相加，故A选项错误；
B、a2•a3=a5，故B选项错误；
C、（a3）2=a6，故C选项正确；
D、a3﹣a3=0，故D选项错误．
故选：C．

5．（3分）（2014•铁岭）下列事件是必然事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，命中靶心
B．单项式加上单项式，和为多项式
C．打开电视机，正在播广告
D．13名同学中至少有两名同学的出生月份相同
【考点】随机事件．
【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断．
【解答】解：A、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；
B、单项式加上单项式，和为多项式是随机事件；
C、打开电视机，正在播广告是随机事件；
D、13名同学中至少有两名同学的出生月份相同，因为一年又12个月，所以是必然事件，
故选：D．

6．（3分）（2014•铁岭）不等式1﹣x＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【分析】根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
【解答】解；1﹣x＞0，
解得x＜1，
故选：A．

7．（3分）（2014•铁岭）一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根分别是⊙O1和⊙O2的半径长，圆心距O1O2=4，则⊙O1和⊙O2的位置关系（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【考点】圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】首先解方程x2﹣4x+3=0，求得两圆半径r1、r2的值，又由两圆的圆心距为1，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵x2﹣4x+3=0，
∴（x﹣1）（x﹣3）=0，
∴x1=1，x2=3，
即两圆半径r1、r2分别是1，3，
∵3+1=4，两圆的圆心距是4，
∴两圆的位置关系是外切．
故选：B．

8．（3分）（2014•铁岭）某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（ ）
A．﹣=5B．﹣=5
C．﹣=5D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可．
【解答】解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意得，﹣=5．
故选：A．

9．（3分）（2014•铁岭）如图，▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE=4，CE=3，则AB的长是（ ）
A．B．3C．4D．5
【考点】平行四边形的性质；角平分线的性质；勾股定理．
【分析】根据平行四边形的性质可证明△BEC是直角三角形，利用勾股定理可求出BC的长，利用角平分线的性质以及平行线的性质得出∠ABE=∠AEB，∠DEC=∠DCE，进而利用平行四边形对边相等进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC、∠BCD的角平分线的交点E落在AD边上，
∴∠BEC=×180°=90°，
∵BE=4，CE=3，
∴BC==5，
∵∠ABE=∠EBC，∠AEB=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∠DEC=∠ECB，
∴∠ABE=∠AEB，∠DEC=∠DCE，
∴AB=AE，DE=DC，即AE=ED=AD=BC=，
由题意可得：AB=CD，AD=BC，
∴AB=AE=，
故选：A．

10．（3分）（2014•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y=（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB=4，则双曲线y=的k值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过AC的中点P作DE∥x轴交y轴于D，交BC于E，作PF⊥x轴于F，如图，先根据“AAS”证明△PAD≌△PCE，则S△PAD=S△PCE，得到S梯形AOBC=S矩形BODE，再利用S矩形DOFP=S矩形BODE得到S矩形DOFP=S梯形AOBC=×4=2，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得|k|=2，再去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：过AC的中点P作DE∥x轴交y轴于D，交BC于E，作PF⊥x轴于F，如图，
在△PAD和△PCE中
，
∴△PAD≌△PCE（AAS），
∴S△PAD=S△PCE，
∴S梯形AOBC=S矩形BODE，
∵S矩形DOFP=S矩形BODE，
∴S矩形DOFP=S梯形AOBC=×4=2，
∴|k|=2，
而k＞0，
∴k=2．
故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2014•铁岭）将数据0.0000064用科学记数法表示为 6.4×10﹣6 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000064=6.4×10﹣6；
故答案为：6.4×10﹣6．

12．（3分）（2014•铁岭）分解因式：a3b﹣2a2b2+ab3= ab（a﹣b）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3
=ab（a2﹣2ab+b2）
=ab（a﹣b）2．
故填：ab（a﹣b）2．

13．（3分）（2014•铁岭）根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制了如下统计表，那么关于该班40名同学一周的体育锻炼时间的中位数是 8.5 小时．
【考点】中位数．
【分析】根据中位数的定义，将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：∵共有40个数，
∴这组数据的中位数是第20、21个数的平均数，
∴这组数据的中位数是（8+9）÷2=8.5（小时）．
故答案为：8.5．

14．（3分）（2014•铁岭）如图，直线AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，那么∠E= 60 度．
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：
∵AB∥CD，∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∵∠2=110°，
∴∠E=∠2﹣∠3=110°﹣50°=60°，
故答案为：60．

15．（3分）（2014•铁岭）有正面分别写有数字1、2、3、4的四张卡片（卡片除数字不同外，其余均相同），背面朝上充分混合后，小明从中随机抽取一张，再从剩下的卡片中随机抽取另一张．若把第一张卡片上的数字作为个位数字，第二张卡片上的数字作为十位数字，组成一个两位数，则所组成的两位数是3的倍数的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与组成两位数恰好是3的倍数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
【解答】解：画树状图得：
由树形图可知：一共有12种等可能的结果，组成两位数恰好是3的倍数的有：12，21，24，42共4种情况，
所以组成两位数恰好是3的倍数的概率为：=．
故答案为：．

16．（3分）（2014•铁岭）用圆心角是216°，半径是5cm的扇形围成一个圆锥体的侧面（接缝处不重叠），则这个圆锥体的高是 4 cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】设圆锥底面的圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形得到2πr=，解得r=3，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高．
【解答】解：设圆锥底面的圆的半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=3，
所以这个圆锥的高==4（cm）．
故答案为：4．

17．（3分）（2014•铁岭）如图，已知点A和点B是直线y=x上的两点，A点坐标是（2，）．若AB=5，则点B的坐标是 （6，）或（﹣2，﹣） ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据一次函数解析式求出A、B两点的横坐标与纵坐标的差，再分两种情况讨论求解即可．
【解答】解：∵=5，AB=5，
∴5×=3，5×=4，
∴点A、B的横坐标相差4，纵坐标相差3，
∵A点坐标是（2，），
∴点B的横坐标为2+4=6，纵坐标为+3=，
或点B的横坐标为2﹣4=﹣2，纵坐标为﹣3=﹣，
∴点B的坐标为（6，）或（﹣2，﹣）．
故答案为：（6，）或（﹣2，﹣）．

18．（3分）（2014•铁岭）将（n+1）个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A、A1、A2、A3、…An+1和点M、M1、M2、M3，…Mn是正方形的顶点，连结AM1，A1M2，A2M3，…AMn，分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2，…AnMn﹣1于点N1，N2，N3，…，Nn，四边形M1N1A1A2的面积为S1，四边形M2N2A2A3的面积是S2，…四边形MnNnAnAn+1的面积是Sn，则Sn= ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】根据题意得出：△M1MN1∽△M1EA，进而求出MN1的长，进而得出S1，同理得出S2，进而得出Sn的值．
【解答】解：由题意可得出：△M1MN1∽△M1EA，
则==，
故MN1=，
故四边形M1N1A1A2的面积为S1=1﹣×1×=1﹣=；
同理可得出：==，
故四边形M2N2A2A3的面积是S2=1﹣×1×=1﹣=，
则四边形MnNnAnAn+1的面积是Sn=1﹣=．
故答案为：．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）（2014•铁岭）化简方程：（﹣x+2）÷，其中x=3tan30°﹣（3.14﹣π）0．
【考点】分式的化简求值；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，求出x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=÷
=×
=，
当x=3×﹣1=﹣1时，
原式==1﹣．

20．（12分）（2014•铁岭）“端午节”是我国传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．某食品厂为了了解市民对去年销量较好的A（肉馅粽子）、B（红枣粽子）、C（蛋黄粽子）三种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对市民进行了随机调查．并对调查情况绘制了如下都不完整的统计图．请根据图中信息，完成下列各题．
（1）本次被随机调查的市民有多少人？
（2）将两幅统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中“C”所在的扇形圆心角的度数；
（4）若该市人口约有120000人，请你根据调查结果估计其中喜欢“肉馅粽子”的人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）用喜欢B类的人数除以占的百分比即得本次被随机调查的市民人数；
（2）用总人数减去A、B类人数可得C类人数，用A类人数除以总人数得到A类的百分比，用C类人数除以总人数得到C类的百分比；
（3）用360°乘以C类所占的百分比即得“C”所在的扇形圆心角的度数；
（4）该市人口120000人乘以喜欢“肉馅粽子”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）1000÷50%=2000（人），
答：本次被随机调查的市民有2000人；
（2）2000﹣600﹣1000=400（人），
600÷2000=30%，
400÷2000=20%，
统计图如下：
（3）360°×20%=72°，
答：扇形统计图中“C”所在的扇形圆心角的度数为72°；
（4）120000×30%=36000（人），
答：其中喜欢“肉馅粽子”的人数为36000人．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）（2014•铁岭）为培养学生养成良好的“爱读书，读好书，好读书”的习惯，我市某中学举办了“汉字听写大赛”，准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，一个书包和一本词典会花去48元，用124元恰好可以购买3个书包和2本词典．
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？
（2）学校计划用总费用不超过900元的钱数，为获胜的40名同学颁发奖品（每人一个书包或一本词典），求最多可以购买多少个书包？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）利用一个书包和一本词典会花去48元，用124元恰好可以购买3个书包和2本词典，得出等式求出即可；
（2）利用总费用不超过900元的钱数，进而得出不等关系求出即可．
【解答】解：（1）设每个书包和每本词典的价格各是x元，y元，根据题意得出：
，
解得：．
答：每个书包的价格是28元，每本词典的价格是20元；
（2）设购买z个书包，则购买词典（40﹣z）本，根据题意得出：
28z+20（40﹣z）≤900，
解得：z≤12.5．
故最多可以购买12个书包．

22．（12分）（2014•铁岭）如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是1，=，∠ABC=45°，求OH的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OC，利用AB是⊙O的直径，得出∠ACB=∠FCG=90°，再由P是GF的中点，在Rt△FCG中得出∠PCG=∠PGC，然后利用角的关系得出PC是⊙O的切线；
（2）连接OE，交AC于点M，由AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，得出，由=，可得出，得出△AOM是等腰直角三角形，可求出OM，因为OH=OM所以求出OM即可．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠FCG=90°，
∵P是GF的中点，
∴PC=PF=PG，
∴∠PCG=∠PGC，
∵∠PGC=∠HGA，DE⊥AB
∴∠A+∠HGA=90°，
∴∠A+∠PGC=90°，
∵∠A=∠ACO，
∴∠ACO+∠HGA=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接OE，交AC于点M，
∵AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，
∴，
∵=，
∴，
∴OE⊥AC，
∴∠OMA=90°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠AOM=45°，
∵AO=1，
∴OM=，
∵=，
∴AC=DE，OH=OM，
∴OH=OM=．

五、解答题（满分12分）
23．（12分）（2014•铁岭）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECF=30°，作辅助线EF⊥AC，通过平角减去其他角从而得到∠AEF=45°即可求出AE的长度．
【解答】解：作EF⊥AC，
根据题意，CE=18×15=270米，
∵tan∠CED=1，
∴∠CED=∠DCE=45°，
∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°，
∴EF=CE=135米，
∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，
∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°，
∴AE=135≈190.4米

六、解答题（满分12分）
24．（12分）（2014•铁岭）某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）的关系大致满足如图的函数，销售成本y2（元/件）与销售月份x（月）满足y2=，月销售量y3（件）与销售月份x（月）满足y3=10x+20．
（1）根据图象求出销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（6≤x≤12且x为整数）
（2）求出该服装月销售利润W（元）与月份x（月）之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？（6≤x≤12且x为整数）
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据销售额减去销售成本，可得销售利润，根据函数的性质，可得最大利润．
【解答】解：（1）设销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式为y1=kx+b （6≤x≤12），
函数图象过（6，60）、（12，100），则
，
解得．
故销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式y1=x+20 （6≤x≤12且x为整数）；
（2）由题意得w=y1•y3﹣y2•y3即
w=（x+20）•（10x+20）﹣x•（10x+20）
化简，得
w=20x2+240x+400，
∵a=20，x=﹣=﹣=﹣6是对称轴，
当x＞﹣6时，w随x的增大而增大，
∴当x=12时，销售量最大，W最大=20×122+240×12+400=6160，
答：12月份利润最大，最大利润是6160元．

七、解答题
25．（12分）（2014•铁岭）如图，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），直线CE绕C点顺时针旋转60°与直线AD相交于点F，连接EF．
（1）如图①，当点E在线段BD上时，∠CEF= 60 度；
（2）如图②，当点E在BD延长线上时，试判断∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系，并说明理由；
（3）如图③，若四边形ABCD为平行四边形，∠DBC=∠DCB=45°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），射线CE绕C点顺时针旋转45°与直线AD相交于点F，连接EF，探究∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系．（直接写出结果）
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由菱形的性质可以得出△BCE≌△DCF，就可以得出CE=CF，得出△ECF是等边三角形，就可以得出结论；
（2）先由等式的性质可以得出∠BCE=∠DCF，由菱形的性质就可以得出△BCE≌△DCF，就有CE=CF，得出△ECF是等边三角形，就可以得出∠CEF=60°，进而得出结论；
（3）如图3，由等式的性质可以得出∠BCE=∠DCF，由平行四边形的性质就可以得出△BCE∽△DCF，就有，就可以得出△BCD∽△ECF，求出∠DBC=∠FEC，从而得出结论．
【解答】解：（1）如图①∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠A=∠BCD=60°，AD∥BC，
∴∠CDF=∠BCD=60°，△BDC是正三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠DBC=∠CDF．∠BDF=120°．
∵∠ECF=60°，
∴∠BCD=∠ECF，
∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECF﹣∠ECD，
∴∠BCE=∠DCF．
在△BCE和△DCF中
，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴CE=CF．
∵∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60°．
故答案为：60；
（2）∠DEF+∠DFE=2∠CEF；
理由：如图②，∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠A=∠BCD=60°，AD∥BC，
∴∠CDF=∠BCD=60°，△BDC是正三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠DBC=∠CDF．∠BDF=120°．
∵∠ECF=60°，
∴∠BCD=∠ECF，
∴∠BCD+∠ECD=∠ECF+∠ECD，
∴∠BCE=∠DCF．
在△BCE和△DCF中
，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴CE=CF．
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60°．
∵∠DEF+∠DFE=∠BDF=120°，
∴∠DEF+∠DFE=2∠CEF；
（3）∠DEF+∠DFE=3∠CEF
理由：如图3，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDC=∠BCD．
∵∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠BDC=90°．
∴∠FDC=45°．
∴∠FCE=∠DBC．
∵∠ECF=45°，
∴∠BCD=∠ECF，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECF+∠DCE，
∴∠BCE=∠DCF．
∴△BCE∽△DCF，
∴，
∴△BCD∽△ECF，
∴∠DBC=∠FEC，
∴∠FEC=45°．
∵∠DEF+∠DFE=∠BDF=135°
∴∠DEF+∠DFE=3∠CEF．

八、解答题（满分14分）
26．（14分）（2014•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．
①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式；
（2）①根据题意设E′（2t，t），代入抛物线的解析式即可求得t的值，进而求得D、E′的坐标，根据A（6，0），B（0，3）求得直线AB的解析式，根据D（2，0），E′（4，2）求得直线DE′的解析式，进而求得G、H的坐标，即可求得三角形DGH的面积，即是△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②根据菱形的性质分三种情况分别讨论即可求得P的坐标；
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3；
（2）①根据题意设E′（2t，t），
∴t=﹣×4t2+×t+3，解得：t=2，t=﹣3（舍去），
∴D（2，O），E′（4，2）
∵A（6，0），B（0，3）．
∴直线AB为y=﹣x+3，
把x=2代入得y=﹣×2+3=2，
∴G（2，2），
∵D（2，0），E′（4，2），
∴直线DE′的解析式为y=x﹣2，
解，得，
∴H（，），
∴S△DGH=×2×（﹣2）=，
∴t为2时点E′恰好在抛物线上，此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积为；
②如图，当AD为对角线时，∵A（6，0），D（2，0），E′（4，2），以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，
则DE′=AE′，
∴E′和P关于x轴对称，
∴P（4，﹣2）
所以点P的坐标为（4，﹣2）；
当AD、DE是边时；∵AD=6﹣t，菱形ADE′P
∴E'P=AD=DE′=6﹣t
∵E'（2t，t），D（t，0）
∴DE′2=t2+t2=2t2
∴2t2=（6﹣t）2
∴t1=﹣6+6，t2=﹣6﹣6（舍去），
∵P（t+6，t）
∴P（6，﹣6+6），
当AD、AE是边时；∵AD=6﹣t，菱形AE'PD
∴E'P=AD=AE′=6﹣t，
∵E'（2t，t），D（t，0），
∵AE′2=（6﹣2t）2+t2，
∴（6﹣2t）2+t2=（6﹣t）2，
∴t3=3，t4=0（舍去），
∴P（3，3）．
综上，P（4，﹣2）或P（6，﹣6+6）或（3，3）．

时间（小时）
7
8
9
10
人数（人）
3
17
14
6
时间（小时）
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8
9
10
人数（人）
3
17
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