辽宁省朝阳市中考数学试卷（含解析版）

这是一份辽宁省朝阳市中考数学试卷（含解析版），共31页。
A．3B．C．﹣3D．﹣
2．（2分）（2015•巴彦淖尔）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）（2014•朝阳）某商店销售一种玩具，每件售价90元，可获利15%，求这种玩具的成本价．设这种玩具的成本价为x元，依题意列方程，正确的是（ ）
A．=15%B．=15%C．90﹣x=15%D．x=90×15%
4．（2分）（2014•朝阳）如图，AB∥CD，∠ABE=60°，∠D=50°，则∠E的度数为（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
5．（2分）（2014•朝阳）计算（﹣xy2）3，结果正确的是（ ）
A．x3y5B．﹣x3y6C．x3y6D．﹣x3y5
6．（2分）（2014•朝阳）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ ）
A．100mB．50mC．50mD．m
7．（2分）（2014•朝阳）六箱救灾区物资的质量（单位：千克）分别是17，20，18，17，18，18，则这组数据的平均数，众数，方差依次是（ ）
A．18，18，3B．18，18，1C．18，17.5，3D．17.5，18，1
8．（2分）（2014•朝阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=72°，现平行移动腰AB至DE后，再将△DCE沿DE折叠，得△DC′E，则∠EDC′的度数是（ ）
A．72°B．54°C．36°D．30°
9．（2分）（2014•朝阳）用圆心角为120°，半径6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．4cm
10．（2分）（2014•朝阳）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＞y2，则x的取值范围是为（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1

二.填空题（18分，每题3分）
11．（3分）（2014•朝阳）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为 ．
12．（3分）（2014•朝阳）如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为 度．
13．（3分）（2014•朝阳）不等式组的解集是 ．
14．（3分）（2014•朝阳）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 ．
15．（3分）（2014•朝阳）如图，是一个圆心人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为 m．
16．（3分）（2014•朝阳）如图，正方形ABCD的边长为2cm，△PMN是直角一块三角板（∠N=30°），PM＞2cm，PM与BC均在直线l上，开始时M点与B点重合，将三角板向右平行移动，直至M点与C点重合为止．设BM=xcm，三角板与正方形重叠部分的面积外ycm2．
下列结论：
①当0≤x≤时，y与x之间的函数关系式为y=x；
②当≤x≤2时，y与x之间的函数关系式为y=2x﹣；
③当MN经过AB的中点时，y=（cm2）；
④存在x的值，使y=S正方形ABCD（S正方形ABCD表示正方形ABCD的面积）．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．

三.解答题（82分）
17．（5分）（2014•朝阳）计算：++|1﹣|
18．（6分）（2014•朝阳）先化简，再求值：，其中x=+1．
19．（8分）（2014•朝阳）“安全教育，警钟长鸣”，为此，某中学组织全校1200名学生参加安全知识测试，为了解本次测试成绩的分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩，绘制出如下不完整的统计图表：
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中m的值为 ，n的值为 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）测试成绩的中位数在哪个分数段？
（4）规定测试成绩80分以上（含80分）为合格，请估计全校学生中合格人数约为多少人？
20．（7分）（2014•朝阳）某工程开准备招标，指挥部现接到甲乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙合作16天可以完成．求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天．原
创作品
21．（8分）（2014•朝阳）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB=3，BC=4，求四边形OCED的面积．
22．（8分）（2014•朝阳）四张形状相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，小明先随机抽一张卡片，记下数字为x；小亮再随机抽一张卡片，记下数字为y．两人在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小亮获胜
（1）若小明抽出的卡片不放回，求小明获胜的概率；
（2）若小明抽出的卡片放回后小亮再随机抽取，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．
23．（8分）（2014•朝阳）如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD=BD．
（1）判断BD与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当OA=3，OC=1时，求线段BD的长．
24．（10分）（2014•朝阳）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）
25．（10分）（2014•朝阳）已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点
（1）如图1，当=且PE⊥AC时，求证：=；
（2）如图2，当=1时（1）的结论是否仍然成立？为什么？
（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF=α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+时，请直接写出α的度数．
26．（12分）（2014•朝阳）如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点D（2，4），且与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，CD，BC
（1）直接写出该抛物线的解析式
（2）点P是所求抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．
①当0≤m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值
②当﹣1≤m≤2时，试探求：是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应的m值；若不存在，请说明理由．

辽宁省朝阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题（20分，每题2分）
1．（2分）（2014•朝阳）3的相反数是（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解：3的相反数是﹣3，故选：C．

2．（2分）（2015•巴彦淖尔）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：从左向右看，得到的几何体的左视图是中间无线条的矩形．
故选D．

3．（2分）（2014•朝阳）某商店销售一种玩具，每件售价90元，可获利15%，求这种玩具的成本价．设这种玩具的成本价为x元，依题意列方程，正确的是（ ）
A．=15%B．=15%C．90﹣x=15%D．x=90×15%
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设这种玩具的成本价为x元，根据每件售价90元，可获利15%，可列方程求解．
【解答】解：设这种玩具的成本价为x元，根据题意得
=15%．
故选A．

4．（2分）（2014•朝阳）如图，AB∥CD，∠ABE=60°，∠D=50°，则∠E的度数为（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质求出∠CFE，根据三角形的外角性质得出∠E=∠CFE﹣∠D，代入求出即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABE=60°，
∴∠CFE=∠ABE=60°，
∵∠D=50°，
∴∠E=∠CFE﹣∠D=10°，
故选D．

5．（2分）（2014•朝阳）计算（﹣xy2）3，结果正确的是（ ）
A．x3y5B．﹣x3y6C．x3y6D．﹣x3y5
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后再选取答案．
【解答】解：原式=﹣（）3x3y6=﹣x3y6．
故选：B．

6．（2分）（2014•朝阳）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ ）
A．100mB．50mC．50mD．m
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先根据题意得：∠ABC=30°，AC⊥BC，AC=100m，然后利用正切函数的定义求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠ABC=30°，AC⊥BC，AC=100m，
在Rt△ABC中，BC===100（m）．
故选A．

7．（2分）（2014•朝阳）六箱救灾区物资的质量（单位：千克）分别是17，20，18，17，18，18，则这组数据的平均数，众数，方差依次是（ ）
A．18，18，3B．18，18，1C．18，17.5，3D．17.5，18，1
【考点】方差；加权平均数；众数．
【分析】分别利用平均数和方差的公式计算即可，众数是出现次数最多的数，可能不唯一．
【解答】解：平均数为：=18；
∵数据18出现了3次，最多，
∴众数为18；
方差为：[2（17﹣18）2+（20﹣18）2]=1，
故选B．

8．（2分）（2014•朝阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=72°，现平行移动腰AB至DE后，再将△DCE沿DE折叠，得△DC′E，则∠EDC′的度数是（ ）
A．72°B．54°C．36°D．30°
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由折叠易得∠EDC′=∠EDC，根据平行及等腰梯形的性质可得DE=DC，那么∠C=∠DEC=∠B=72°，根据三角形内角和定理可得∠EDC的度数，也就求得了∠EDC′的度数．
【解答】解：∵平行移动腰AB至DE，
∴DE=AB=CD，
∴∠C=∠DEC=∠B=72°，∠EDC=180°﹣2∠C=36°，
由折叠的性质知，∠EC′D=∠C=72°，
∴∠EDC'=180°﹣2∠EC′D=36°，
故选：C．

9．（2分）（2014•朝阳）用圆心角为120°，半径6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．4cm
【考点】圆锥的计算．
【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长=4π，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长==4π，
∴圆锥的底面圆的周长为4π，
∴圆锥的底面圆的半径为2，
∴这个纸帽的高==4（cm）．
故选C．

10．（2分）（2014•朝阳）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＞y2，则x的取值范围是为（ ）
A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】先考虑临界位置：当x=﹣1或x=1时y1=y2．由于x≠0，故可分x＜﹣1、﹣1＜x＜0、0＜x＜1、x＞1四种情况讨论，然后只需结合图象就可解决问题．
【解答】解：如图，
结合图象可得：
①当x＜﹣1时，y1＞y2；②当﹣1＜x＜0时，y1＜y2；
③当0＜x＜1时，y1＞y2；④当x＞1时，y1＜y2．
综上所述：若y1＞y2，则x＜﹣1或0＜x＜1．
故选B．

二.填空题（18分，每题3分）
11．（3分）（2014•朝阳）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为 6.75×104 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于67500有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．
【解答】解：67 500=6.75×104．
故答案为：6.75×104．

12．（3分）（2014•朝阳）如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为 72 度．
【考点】扇形统计图．
【分析】根据扇形统计图的定义，各部分占总体的百分比之和为1．则短信费占总体的百分比为：1﹣4%﹣43%﹣33%=20%，乘以360°即可得到所对圆心角的度数．
【解答】解：由图可知，短信费占总体的百分比为：1﹣4%﹣43%﹣33%=20%，
故其扇形圆心角的度数为20%×360°=72°．

13．（3分）（2014•朝阳）不等式组的解集是 1＜x≤3 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故答案为：﹣1＜x≤3．

14．（3分）（2014•朝阳）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 10 ．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，=0.2，
解得，n=10．
故估计n大约有10个．
故答案为：10．

15．（3分）（2014•朝阳）如图，是一个圆心人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为 200 m．
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
【分析】连结OA、OB，如图，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=60°，则可判断△OAB为等边三角形，于是得到OA=AB=100m，从而可得这个人工湖的直径．
【解答】解：连结OA、OB，如图，
∵∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，
而OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=100m，
∴个人工湖的直径为200m．
故答案为200m．

16．（3分）（2014•朝阳）如图，正方形ABCD的边长为2cm，△PMN是直角一块三角板（∠N=30°），PM＞2cm，PM与BC均在直线l上，开始时M点与B点重合，将三角板向右平行移动，直至M点与C点重合为止．设BM=xcm，三角板与正方形重叠部分的面积外ycm2．
下列结论：
①当0≤x≤时，y与x之间的函数关系式为y=x；
②当≤x≤2时，y与x之间的函数关系式为y=2x﹣；
③当MN经过AB的中点时，y=（cm2）；
④存在x的值，使y=S正方形ABCD（S正方形ABCD表示正方形ABCD的面积）．
其中正确的是 ②④ （写出所有正确结论的序号）．
【考点】几何变换综合题．
【分析】①当0≤x≤时，根据正切的概念求出BE，得到y与x之间的函数关系式；
②当≤x≤2时，根据正确的概念和梯形的面积公式求出y与x之间的函数关系式；
③当MN经过AB的中点时，根据BE=1，求出BM的长，求出y的值；
④假设存在x的值，根据题意进行解答，求出x，看是否符合条件．
【解答】解：如图1，当MN经过点A时，
tan∠BAM=，
∴BM=AB×tan30°=，
（1）如图2，当0≤x≤时，
在Rt△EBM中，tan∠EMB=，
∴BE=x，
y=×x×x=x2，
故（1）不正确；
如图3，当≤x≤2时，
作EF⊥BC于F，
则EF=AB=2，FM=，
∴AE=BF=x﹣，
y=（x﹣+x）×2=2x﹣，
故（2）正确；
当MN经过AB的中点时，BE=1，
则BM=，
y=××1=，
故（3）不正确；
当y=S正方形ABCD时，
2x﹣=×22，
解得，x=，符合题意，
故（4）正确，
故答案为：②④．

三.解答题（82分）
17．（5分）（2014•朝阳）计算：++|1﹣|
【考点】实数的运算．
【分析】原式利用平方根，立方根，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3﹣1+﹣1=1+．

18．（6分）（2014•朝阳）先化简，再求值：，其中x=+1．
【考点】分式的化简求值．
【分析】把括号里式子进行通分，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
【解答】解：原式=
=
=x（x﹣1）（4分）
当x=+1时
原式=（+1）（+1﹣1）=3+．（6分）

19．（8分）（2014•朝阳）“安全教育，警钟长鸣”，为此，某中学组织全校1200名学生参加安全知识测试，为了解本次测试成绩的分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩，绘制出如下不完整的统计图表：
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中m的值为 200 ，n的值为 0.3 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）测试成绩的中位数在哪个分数段？
（4）规定测试成绩80分以上（含80分）为合格，请估计全校学生中合格人数约为多少人？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．
【分析】（1）用60≤x＜70的频数和频率先求出总人数，再根据=频率求出n的值即可；
（2）先求出80≤x＜90的频数，再画图即可；
（3）根据中位数的定义找出第100、101个数所在的分数段即可；
（4）用全校的总人数乘以试成绩80分以上（含80分）的人数所占的比即可．
【解答】解：（1）根据题意得：m==200（名），
n==0.3；
故答案为：200，0.3；
（2）80≤x＜90的人数是：200﹣30﹣60﹣20=90（人），补图如下：
（3）因为共有200人，则中位数是100，101个数的平均数，
所以测试成绩的中位数在80≤x＜90分数段；
（4）根据题意得：
1200×=660（人），
答：全校学生中合格人数约为660人．

20．（7分）（2014•朝阳）某工程开准备招标，指挥部现接到甲乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙合作16天可以完成．求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天．
【考点】分式方程的应用．
【分析】首先设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需2x天，根据题意可得等量关系：甲队6天的工作量+甲、乙合作16天的工作量=1，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】解：设甲队单独完成这项工程需x天，由题意得：
×6+（+）×16=1，
解得：x=30，
经检验：x=30是原分式方程的解，
2x=60，
答：甲队单独完成这项工程需30天，乙队单独完成这项工程需60天．

21．（8分）（2014•朝阳）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB=3，BC=4，求四边形OCED的面积．
【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，
（2）由矩形的性质可知四边形OCED的面积为矩形ABCD面积的一半，问题得解．
【解答】解：（1）∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC，
∴四边形CODE是菱形；
（2）∵AB=3，BC=4，
∴矩形ABCD的面积=3×4=12，
∵S△ODC=S矩形ABCD=3，
∴四边形OCED的面积=2S△ODC=6．

22．（8分）（2014•朝阳）四张形状相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，小明先随机抽一张卡片，记下数字为x；小亮再随机抽一张卡片，记下数字为y．两人在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小亮获胜
（1）若小明抽出的卡片不放回，求小明获胜的概率；
（2）若小明抽出的卡片放回后小亮再随机抽取，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，继而利用概率公式即可求得答案，注意此题属于不放回实验；
（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明、小亮获胜的情况，继而利用概率公式求得其概率，比较概率，则可得到他们制定的游戏规则是否公平，注意此题属于放回实验．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，
∴小明获胜的概率为：=；
（2）画树状图得：
，
∵共有16种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，
∴P（小明获胜）==＜，
∴他们制定的游戏规则不公平．

23．（8分）（2014•朝阳）如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD=BD．
（1）判断BD与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当OA=3，OC=1时，求线段BD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OB，由BD=CD，利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB垂直于BD，即可得证；
（2）设BD=x，则OD=x+1，在RT△OBD中，根据勾股定理得出32+x2=（x+1）2，通过解方程即可求得．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OA=OB，DC=DB，
∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；
（2）解：设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，
在RT△OBD中，OB2+BD2=OD2，
即32+x2=（x+1）2，
解得x=4，
∴线段BD的长是4．

24．（10分）（2014•朝阳）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）
【考点】一元二次方程的应用；分段函数．
【分析】（1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；
（2）由销售利润=销售价﹣进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意，得
当0＜x≤5时
y=30．
当5＜x≤30时，
y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．
∴y=；
（2）当0＜x≤5时，
（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，
当5＜x≤30时，
[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，
解得：x1=﹣25（舍去），x2=10．
答：该月需售出10辆汽车．

25．（10分）（2014•朝阳）已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点
（1）如图1，当=且PE⊥AC时，求证：=；
（2）如图2，当=1时（1）的结论是否仍然成立？为什么？
（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF=α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+时，请直接写出α的度数．
【考点】相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）如图1，易证△AEP∽△PFB，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）连接CP，如图2，易证△APE≌△CPF，从而得到PE=PF，故（1）的结论不成立；
（3）在（2）的条件下可得AE=CF，由此可得EC+CF=2，EF=，设CF=x，在Rt△CEF中运用勾股定理可求出CF的值．由于CF的值有两个，需分以下两种情况讨论：①若CF=，如图3，过点P作PH⊥BC于H，先求出PH、FH，然后在Rt△PHF中运用三角函数可求出∠FPH的度数，由此可求出α的值；②若CF=，如图4，过点P作PG⊥AC于G，同理可求出∠APE度数，由此可求出α的值．
【解答】解：（1）如图1，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=∠PEC=90°．
又∵∠EPF=∠ACB=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴∠PFC=90°，
∴∠PFB=90°，
∴∠AEP=∠PFB．
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB，
∴PF=BF，=，
∴==；
（2）（1）的结论不成立，理由如下：
连接PC，如图2．
∵=1，
∴点P是AB的中点．
又∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴CP=AP=AB．∠ACP=∠BCP=∠ACB=45°，CP⊥AB，
∴∠APE+∠CPE=90°．
∵∠CPF+∠CPE=90°，
∴∠APE=∠CPF．
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF，
∴AE=CF，PE=PF．
故（1）中的结论=不成立；
（3）当△CEF的周长等于2+时，α的度数为75°或15°．
提示：在（2）的条件下，可得AE=CF（已证），
∴EC+CF=EC+AE=AC=2．
∵EC+CF+EF=2+，
∴EF=．
设CF=x，则有CE=2﹣x，
在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x2+（2﹣x）2=（）2，
整理得：3x2﹣6x+2=0，
解得：x1=，x2=．
①若CF=，如图3，
过点P作PH⊥BC于H，
易得PH=HB=CH=1，FH=1﹣=，
在Rt△PHF中，tan∠FPH==，
∴∠FPH=30°，
∴α=∠FPB=30+45°=75°；
②若CF=，如图4，
过点P作PG⊥AC于G，
同理可得：∠APE=75°，
∴α=∠FPB=180°﹣∠APE﹣∠EPF=15°．

26．（12分）（2014•朝阳）如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点D（2，4），且与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，CD，BC
（1）直接写出该抛物线的解析式
（2）点P是所求抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．
①当0≤m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值
②当﹣1≤m≤2时，试探求：是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应的m值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把A、B两点坐标代入可求得a、b的值，可求得抛物线线的解析式；
（2）①由A、C坐标可求得直线AC解析式，再用m表示出点M坐标，表示出ME，再由△BCO∽△GME可表示出GE，求得OG，再利用面积的和差可得到△GMC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；②分∠CPM=90°和∠PCM=90°两种情况，当∠CPM=90°时，可得PC∥x轴，容易求得P点坐标和m的值；当∠PCM=90°时，设PC交x轴于点F，可利用相似三角形的性质先求得F点坐标，可求得直线CF的解析式，再联立抛物线解析式可求得P点坐标和相应的m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；
（2）①如图1，过M作ME⊥x轴，交x轴于点E，
由A（3，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y=﹣x+4，
∴M坐标为（m，﹣m+4），
∵MG∥BC，
∴∠CBO=∠MGE，且∠COB=∠MEG=90°，
∴△BCO∽△GME，
∴=，即=，
∴GE=﹣m+1，
∴OG=OE﹣GE=m﹣1，
∴S△COM=S梯形COGM﹣S△COG﹣S△GEM=m（﹣m+4+4）﹣4×（m﹣1）×﹣（﹣m+1）（﹣m+4）=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+2，
∴当m=时，S最大，即S最大=2；
②根据题意可知△AEM是直角三角形，而△MPC中，∠PMC=∠AME为锐角，
∴△PCM的直角顶点可能是P或C，
第一种情况：当∠CMPM=90°时，如图2，
则CP∥x轴，此时点P与点D重合，
∴点P（2，4），此时m=2；
第二种情况：当∠PCM=90°时，如图3，
设PC交x轴于点F，由△FCA∽△COA，得=，
∴AF=，
∴OF=﹣3=，
∴F（﹣，0），
∴直线CF的解析式为y=x+4，
联立直线CF和抛物线解析式可得，解得，，
∴P坐标为（，），此时m=；
综上可知存在满足条件的实数m，其值为2或．
分段数
频数
频率
60≤x＜70
30
0.15
70≤x＜80
60
n
80≤x＜90
90≤x＜100
20
0.1
合计
m
1
分段数
频数
频率
60≤x＜70
30
0.15
70≤x＜80
60
n
80≤x＜90
90≤x＜100
20
0.1
合计
m
1