天津经济技术开发区第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（9月）数学试题

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【答案】B
【解析】解：∵ABCD-A1B1C1D1为平行四面体，
∴AB+AD-CC1=DC+AD+C1C=AC+C1C=A1C1+C1C=A1C．
故选：B．
根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
本题主要考查向量的加减法法则，属于基础题．
2.已知a=1,0,1，b=-2,-1,1，c=3,1,0，则a-b+2c=( )
A. -9,-3,0B. 0,2,-1C. 9,3,0D. 9,0,0
【答案】C
【解析】【分析】根据向量的运算法则即可求解．
【详解】 a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0) ．
故选：C．
3.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的大正方体).其中实心圆●代表钠离子，空心圆○代表氯离子．建立空间直角坐标系Oxyz后，图中最上层中间的钠离子所在位置的坐标是 ( )
A. 12,12,1B. (0,0,1)C. 1,12,1D. 1,12,12
【答案】A
【解析】解：设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，
作出长方体ABCD-EFGO，如图所示：
∵平面BFGC经过点B与x轴垂直，
∴点B在x轴上的射影为G点，结合G(12,0,0)得B的横坐标为12；
同理可得，点B在y轴上的射影为E点，结合E(0,12,0)得B的纵坐标为12；
点B在z轴上的射影为D点，结合D(0,0,1)得B的竖坐标为1；
由此可得点B的坐标为(12,12,1)．
故选：A．
设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体ABCD-EFGO，分别找出点B在x轴、y轴和z轴上射影点及其坐标，即可得出点B的坐标．
本题考查了空间坐标系的定义和点的坐标表示法的应用问题，是基础题．
4.在空间直角坐标系中，点A(2,1,1)关于yOz平面对称的点的坐标为( )
A. (-2,1,1)B. (2,-1,1)C. (2,1,-1)D. (2,-1,-1)
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间坐标系的对称性，属于基础题．
利用关于yOz平面对称点的坐标性质即可得出．
【解答】
解：点A(2,1,1)关于yOz平面对称点的坐标为点(-2,1,1)．
故选：A．
5.已知a=-3,2,5,b=1,x,-1，且a⋅b=2，则x的值是( )
A. 5B. 6C. 3D. 4
【答案】A
【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标运算可得答案．
【详解】因为 a=-3,2,5,b=1,x,-1 ，
所以 a⋅b=-3+2x-5=2 ，解得 x=5 ，
故选：A
6.已知A2,-5,1，B2,-2,4，C1,-4,1，则AC与AB的夹角是( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
【答案】C
【解析】【分析】先求出向量的坐标，然后利用数量积的夹角坐标公式计算即可．
【详解】因为 A2,-5,1 ， B2,-2,4 ， C1,-4,1 ，所以 AB=0,3,3 ， AC=-1,1,0 ，
所以 csAB,AC=AB⋅ACAB⋅AC=0+3+03 2× 2=12 ，
又 0∘≤⟨AB,AC⟩≤180∘ ，所以 AB,AC= 60∘ ，即 AC 与 AB 的夹角是 60∘ ．
故选：C．
7.如图，在空间四边形OABC中，点E为BC中点，点F在OA上，且OF=2FA ，则EF等于( )
A. 12OA-23OB+12OCB. -23OA+12OB+12OC
C. 12OA+12OB-12OCD. 23OA-12OB-12OC
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量的三角形法则、空间向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用EF=EB+BA+AF，然后进一步转化即可得出．
【解答】
解：EF=EB+BA+AF
=12CB+BA+13AO
=12(OB-OC)+OA-OB-13OA
=23OA-12OB-12OC．
故选D．
8.在正四面体P-ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PE⋅BC的值为
A. -1B. 1C. 3D. 73
【答案】A
【解析】【解析】根据题意，由正四面体的性质可得： PA⊥BC ，可得 PA⋅BC=0 ，由E是棱 AB 中点，可得 PE=12PA+PB ，代入 PE⋅BC ，利用数量积运算性质即可得出．
【详解】如图所示
由正四面体的性质可得： PA⊥BC
可得： PA⋅BC=0
∵E 是棱 AB 中点
∴PE=12PA+PB
∴PE⋅BC=12PA+PB⋅BC=12PA⋅BC+12PB⋅BC=12×2×2×cs120∘=-1
故选： A
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型．
9.已知空间中三点A(1,0,0)，B(2,1,-1)，C(0,-1,2)，那么点C到直线AB的距离为( )
A. 63B. 62C. 33D. 32
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间距离的求法，考查计算能力，属于基础题．
先求出向量AB，AC的夹角的余弦值，然后求出正弦值，进而根据d=|AC|·sin求解即可．
【解答】
解：由题意，可得AB=(1,1,-1)，AC=(-1,-1,2)，
cs=AB→·AC→|AB→||AC→|=-4 3× 6=-2 23，
∵⟨AB→,AC→⟩∈[0,π]，
∴sin=13，
所以点C到直线AB的距离
d=|AC|·sin= 63．
故选A．
10.关于空间向量，以下说法不正确的是( )
A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u=(1,2,-2)，v=(2,1,2)，则α⊥β
B. 若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量为n=(-2,0,23)，则直线l/​/α
C. 若对空间中任意一点O，有OP=14OA+14OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查共面向量基本定理的应用，利用空间向量判断线面、面面的位置关系，属于中档题．
由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据共面向量基本定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D．
【解答】
解：对于A，u⋅ν=2+2+(-2)×2=0，所以u→⊥ν→，则α⊥β，A正确；
对于B， e⋅n=-2+0+2=0，所以e→⊥n→，所以l/​/α或l⊂α，B错误；
对于C，对空间中任意一点O，有OP=14OA+14OB+12OC，满足14+14+12=1，则P，A，B，C四点共面，可知C正确；
对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确．
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
11.若a=(2,-1,2),b=(6,-3,2)，且(a→+λb→)⊥a→，则实数λ= ．
【答案】-919
【解析】【分析】
本题考查了空间向量垂直的性质以及数量积的坐标运算，属于基础题．
求出a+λb的坐标，利用向量垂直得到数量积为零，解之即可．
【解答】
解：∵a=(2,-1,2),b=(6,-3,2)
∴a+λb=2,-1,2+6λ,-3λ,2λ
=2+6λ,-1-3λ,2+2λ，
∵(a→+λb→)⊥a→，
∴22+6λ-1-1-3λ+22+2λ=0，
解得λ=-919，
故答案为-919．
12.已知空间向量a=1,1,2，b=-3,1,1，c=-2,2,m，若a，b，c共面，则m= ．
【答案】3
【解析】【分析】根据共面向量定理可得 c=xa+yb ，然后将坐标代入可求出 m 的值．
【详解】因为 a ， b ， c 共面，所以存在唯一实数 x,y ，使 c=xa+yb ，
即 -2,2,m=x1,1,2+y-3,1,1=x-3y,x+y,2x+y ，
则 x-3y=-2x+y=22x+y=m ，解得 x=1 ， y=1 ， m=3 ．
故答案为：3
13.已知空间向量a=(1,0,1)，b=(2,-1,2)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是______．
【答案】(89,-49,89)
【解析】解：根据题意，空间向量a=(1,0,1)，b=(2,-1,2)，
则|a|= 1+1= 2，|b|= 4+1+4=3，a⋅b=2+2=4，
故向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|×b|b|=49(2,-1,2)=(89,-49,89)；
故答案为：(89,-49,89).
根据题意，求出|a|、|b|和a⋅b的值，进而计算可得答案．
本题考查空间向量数量积的计算，
14.直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC=BC=AA'，∠ACB=90∘，E为BB'的中点，异面直线CE与C'A所成角的余弦值是 ．
【答案】 1010
【解析】【分析】以 C 为原点， CA 为 x 轴， CB 为 y 轴， CC' 为 y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 CE 与 C'A 所成角的余弦值．
【详解】直三棱柱 ABC-A'B'C' 中， AC=BC=AA' ， ∠ACB=90∘ ， E 为 BB' 的中点，以 C 为原点， CA 为 x 轴， CB 为 y 轴， CC' 为 y 轴，建立空间直角坐标系，
设 AC=BC=AA'=2 ， C0,0,0 ， E0,2,1 ， C'0,0,2 ， A2,0,0 ， CE=0,2,1 ， C'A=2,0,-2 ，
设异面直线 CE 与 C'A 所成夹角为 θ ，
则 csθ=CE⋅C'ACE⋅C'A=2 5⋅2 2= 1010 ．
∴ 异面直线 CE 与 C'A 所成角的余弦值为 1010 ．
故答案为： 1010
15.已知空间四个点A(1,1,1)，B(-4,0,2)，C(-3,-1,0)，D(-1,0,4)，点D到平面ABC的距离是 ．
【答案】 142
【解析】【分析】
本题考查空间向量的应用，线面角及点面距的计算，属于基础题．
利用空间向量法求出线面角及点面距．
【解答】
解：∵A(1,1,1)，B(-4,0,2)，C(-3,-1,0)，D(-1,0,4)，
∴AD=-2,-1,3，AB=-5,-1,1，AC=-4,-2,-1，
设平面ABC的法向量为n=x,y,z，
则n⋅AB=-5x-y+z=0n⋅AC=-4x-2y-z=0,
取x=1，得n=1,-3,2，
设直线AD与平面ABC所成的角为θ，
则sinθ=AD·nAD·|n|=-2+3+6 4+1+9× 1+9+4=12，
又0°0，
即得k>-1，
又当k=12时，(a+kb)//(2a+b)，
可得实数k的范围为k|k>-1,且k≠12.

【解析】本题考查空间向量知识的运用，考查向量的共线，夹角问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)先求向量的坐标，利用平行的条件，即可求k的值；
(2)向量a+kb与2a+b的夹角为锐角，则数量积大于0且不共线，即可求k的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，E是棱DD1的中点．
(1)求证：BC⊥AB1；
(2)求平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值．
【答案】(1)证明：因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，
所以BC⊥平面ABB1A1，
AB1⊂平面ABB1A1，
所以BC⊥AB1；
(2)解：建系如图，A(0,0,0)，E(0,1,1)，B1(1,0,2)，
AE=(0,1,1)，AB1=(1,0,2)，
令m=(x,y,z)，
AE⋅m=0，AB1⋅m=0，
可得y+z=0x+2z=0，不妨x=2，y=1，z=-1，所以m=(2,1,-1)是平面AB1E的法向量，
平面ABCD的法向量是n=(0,0,1)，
所以平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值为m⋅n|m||n|=1 6= 66．
【解析】(1)利用线面垂直的性质定理即可证明；
(2)用空间向量数量积计算两平面所成角余弦值；
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角计算问题，属于中档题．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，且AB=2AD=2，PA=2，∠PAB=∠PAD=π3．
(1)求线段PC的长度；
(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
(3)若E为AB的中点，证明：PA⊥ED．
【答案】解：(1)PC=PA+AC=PA+AB+AD，
所以PC2=PA2+AB2+AD2+2PA⋅AB+2PA·AD+2AB⋅AD，=4+4+1-2×2-2×1=3
所以线段PC的长度为 3．
(2)PC⋅BD=(PA+AB+AD)·(AD-AB)=1×2×(-12)+0+1×1+2×2×12-2×2-0=-2，
所以cs=PC·BDPCBD=-2 3× 5=-2 1515，
故异面直线PC与BD所成角的余弦值为2 1515．
(3)因为E为AB的中点，所以AD=AE，
又因为AP⋅DE=AP⋅(AE-AD)=AP⋅AE-AP⋅AD=2×1×12-2×1×12=0，
所以AP→⊥DE→，即PA⊥ED．

【解析】本题考查空间向量的综合应用，考查学生的直观想象及数学运算的素养，属于中档题．
(1)通过求PC2=PA2+AB2+AD2+2PA⋅AB+2PA·AD+2AB⋅AD，即可求线段PC的长度；
(2)通过求cs，即可求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
(3)通过求证AP⊥DE，即可求证PA⊥ED
21.(本小题12分)
如图：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90∘，CA=CB=CC1=1，D是棱BB1的中点，P是C1D的延长线与CB的延长线的交点．
(1)求证：AP //平面A1CD；
(2)若点E在线段AP上，且直线A1E与平面A1CD所成的角的正弦值为 147，求线段AE的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 53 ．

【解析】【分析】(1)在平面 A1CD 中构造与 AP 平行的直线 MD ，通过线线平行推证线面平行即可；
(2)建立空间直角坐标系，求得平面 CA1D,C1A1D 的法向量，通过向量法求解二面角的正弦值；
(3)设出点 E 的坐标，根据已知条件以及线面角的向量求解方法，即可求得点 E 的坐标，从而求得 AE 的长度．
【详解】(1)连接 AC1 交 A1C 于点 M ，连接 MD ，如下所示：
因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，故可得 A1C1CA 是矩形，
故 M 为 AC1 的中点，又 D 是 B1B 的中点，由△ C1B1D≅ △ PBD 可知：
D 也是 C1P 的中点，故在△ C1AP 中， M,D 分别为 C1A,C1P 的中点，
故可得 MD // AP ，又 MD⊂ 面 A1CD,AP ⊄ 面 A1CD ，
故 AP //面 A1CD ．
(2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，故可得 C1C⊥ 面 ABC ，
又 CA,CB⊂ 面 ABC ，则 CC1⊥CA,CC1⊥CB ，又 ∠ACB=90∘ ，
故 CA⊥CB ，综上可得 CC1,CA,CB 两两垂直，
故以 C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则 C0,0,0,C10,0,1,A1,0,0,A11,0,1,B0,1,0,B10,1,1,D0,1,12 ，
由(1)知 BP=C1B1 ，故 CP=2 ，则 P0,2,0 ；
则 CA1=1,0,1,CD=0,1,12,A1C1=-1,0,0,C1D=0,1,-12 ，
设平面 A1CD 的法向量为 m=x,y,z ，
故可得 m⋅CA1=0m⋅CD=0 ，即 x+z=0y+12z=0 ，不妨取 z=-2 ，则 m=2,1,-2 ；
因为 E 在线段 AP 上，设其坐标为 x,y,0
故可设 AE=λAP=x-1,y,0=-λ,2λ,0,λ∈0,1 ，
则点 E 的坐标为 1-λ,2λ,0 ，则 A1E=-λ,2λ,-1 ；
又直线 A1E 与平面 A1CD 所成的角的正弦值为 147 ，
故可得 147=csA1E,m=A1E⋅mA1Em=2 5λ2+1×3 ，
整理得： 45λ2=5 ，又 λ∈0,1 ，故可得 λ=13 ，
此时 AE=13AP= 53 ．
故 AE 的长度为 53 ．