吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年九年级 上学期第三次月考数学试卷(无答案)

这是一份吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年九年级 上学期第三次月考数学试卷(无答案)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若是最简二次根式且能与合并，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，数轴上的点A对应直尺的0刻度线，直尺上的点C和点D分别对应直尺的3刻度线和5刻度线，已知图中的虚线相互平行．若点A在数轴上表示的数，则点B在数轴上表示的数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，已知四边形ABCD内接于，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，把一个长方形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，若，则边BC的长为（ ）
A． B．5 C．4 D．
7．如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个等腰三角形的底边长与正的方形的边长比为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在y轴上，正方形ABCD的顶点B和顶点D在抛物线上．若点B、D两点的横坐标分别为m、n，其中，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_______．
10．若，则________．
11．若关于χ的方程有两个相等的实数根，则实数m的值为________．
12．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水面D．视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为______米．
13．已知点，若抛物线与线段AB只有一个公共点，则a的取值范围是_______.
14．如图，在中，AD是高，矩形PQMN的一边PQ在边BC上，另两个顶点M、N分别在边AC、AB上，AD与MN相交于点E．给出下面四个结论：
①；②当点P是BD的中点时，；．
③当矩形PQMN是正方形时，；
④当时，
上述结论中，正确结论的序号有_________．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15．（6分）计算：．
16．（6分）解方程：．
17．（6分）某校民乐团为了扩大规模，需招收新成员，小明、小红、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小明、小艺来自七年级，小志、小红来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行面试．若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
18．（7分）某版本数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题：“在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗?”
课本所给的方案是．在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）．请你计算出上述方案中绿地的宽．
19．（7分）如图，在中，．求证：．
20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D是边BC与网格线的交点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
图① 图② 图③
（1）在图①中，在AC边上找到一点E，连结DE，使；
（2）在图②中，在AB边上找到一点E，连结DE，使；
（3）在图⑧中，作平行四边形DEPG，使点E在BC边上，点F在AC边上，点G在AB边上，且．
21．（8分）如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置OM，装置上A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，落点B距离喷水柱底端O处．
（1）水喷头A的高度；
（2）在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度，使水流落在距水柱底端处，问喷头A应该向哪个方向调整多少高度?
22．（9分）【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题，如图①，在中，，点D是边AC的中点，连结BD，点E是边BC上一点，，连结AE交BD于点M，求的值．
【问题分析】
小明发现：如图②，过点A作BC的平行线，交BD的延长线于点N，通过证明，根据相似三角形的性质进而解决上述几何问题．
【问题解决】
（1）下面是小明解决这个问题的部分过程，
解：过点A作BC的平行线，交BD的延长线于点N．
∵点D是边AC的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
请你补全余下的解题过程．
图① 图② 图③
【深入研究】
（2）如图③，在中，，点D是边AC上一点，连结BD，点E是BC延长线上一点，连结AE交BD的延长线于点M，其中．
（i）的值为_________；
（ⅱ）当时，________．
23．（10分）如图，在中，，动点P从点C出发，沿射线CB方向向终点B匀速运动，点P运动的同时，动点Q从点B出发，沿着射线BA方向向终点眼匀速运动，连结PQ，直线l是线段PQ的垂直平分线．记点C和点P间的距离为x，点A和点Q间的距离为y，其中y与x满足以下关系：．
（1）边BC的长为________；
（2）当直线l与AB平行时，求x的值；
（3）当是以PQ为腰的等腰三角形时，求x的值；
（4）C关于直线l的对称点是点，当点落在的内部时，直接写出x的取值范围．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b、c是常数）与x轴的两个交点分别为．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当时，y的取值范围是____________；
（3）点是x轴上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点P，当点M和点P不重合时连结PM，点D是线段PM的中点，以PD为边，在PD的右侧作矩形PQND，且矩形的一边PQ长为3．
①当矩形PQND同时有两个顶点落在此抛物线上时，求m的值；
②当此抛物线在矩形PQND内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．