2023~2024学年山东省德州市天衢新区八年级上学期期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省德州市天衢新区八年级上学期期中数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡收回．
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或多选均记零分．
1. 秋天到了，学校组织同学们郊游，某同学收集了漂亮的落叶，下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选项A、B、C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
2. 如图，在中，，点在的延长线上，，则是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
故选：．
3. 如图，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵△ABC≌△CDA，
∴AD=BC=8cm．
故选D．
4. 要测量河两岸相的两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再作出的垂线，使与在一条直线上（如图所示），可以测得的长就是的长（即测得河宽），可由得到，判定这两个三角形全等的理由是（ ）
A. 边角边B. 角边角C. 边边边D. 边边角
【答案】B
【解析】∵证明在△EDC≌△ABC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即角边角这一方法．
故选：B．
5. 若点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵
∴点 关于轴的对称点坐标为
∵在第四象限
∴
解得：
故选：C
6. 在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】①∵，则，，
∴直角三角形；
②∵，设，
则，，，
∴是直角三角形；
③∵，
∴，
则，
∴是直角三角形；
④∵，
∴，
则，
∴是直角三角形；
⑤∵，，，
∴为钝角三角形．
∴能确定是直角三角形的有①②③④共4个，
故选C．
7. 如图，已知，求作一点P，使点P到的两边的距离相等，且，下列确定P点的方法正确的是（ ）
A. P为、两角平分线的交点
B. P为的角平分线与线段CB的垂直平分线的交点
C. P为的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点
D. P为线段AB、AC的垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】∵点P到∠A两边的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上；
∵PA=PB，
∴P点在AB的垂直平分线上，
∴P为∠A的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点．
故选：C．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若DE＝2，则AC的值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】∵∠A＝30°，DE垂直平分AB，DE＝2，
∴AD＝BD＝4，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
即BD平分∠ABC，
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝2，
∴AC＝4+2＝6，
故选B．
9. 如图，在长方形中，连接，以为圆心适当长为半径画弧，分别交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，画射线交于点．若，则的面积为（ ）
A. 9B. 15C. 18D. 30
【答案】B
【解析】过点作交于点，
根据题意可得平分角，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，在正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形，在格纸范围内，与成轴对称的格点三角形的个数为（ ）个．
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】如图，当对称轴在竖直方向时，满足条件的三角形有1个，
当对称轴在水平方向时，满足条件的三角形有5个，
当对称轴与水平方向成方向时，满足条件的三角形有4个，
共（个，
故选：C
11. 如图，在中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，过点D作交于点F，连接，下列结论：
①；②；③长度不变；④；其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】由题意：易证为等腰直角三角形，
∵点D是的中点，
∴，平分，且，
∴，
又，
∴，
∴，
①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
②正确；
∵
，
又，
∴，
∴，
但很明显是变化的，
∴也是变化的，
∴③不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴④正确，
即正确的有3个，
故选：C．
12. 如图1，中，，D为中点，把纸片沿对折得到，如图2，点E和点F分别为，上的动点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部，如图3所示．设，则下列等式成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图1，

∵，D为中点，
∴，，
∴，
如图3，与交于点M，

∵把纸片沿折叠，
∴，
在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由图1可知，
∴．
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13. 点关于轴对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】点关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
14. 如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
【答案】1.9
【解析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为1.9．
15. 如图，AD和CB相交于点E，BE=DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件是____．
【答案】AE=CE
【解析】∵BE=DE，∠AEB=∠CED，
∴要证明△ABE≌△CDE，根据“SAS”只需添加AE=CE即可．
故答案为：AE=CE
16. 小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于_____．
【答案】285°
【解析】∵∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴∠2+∠3=180°-∠D=150°，
∵∠α=∠1+∠A，∠β=∠4+∠C，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠α+∠β=∠A+∠1+∠4+∠C=∠A+∠C+∠2+∠3=45°+90°+150°=285°，
故答案为：285°．
17. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标为______．

【答案】
【解析】
根据反射角等于入射角画图，可知小球从反射后到，再反射到，再反射到，再反射到点之后，再循环反射，每次一循环，
，
点的坐标为，
故答案为：．
18. 如图，中，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是_________．

【答案】
【解析】如图，作AM⊥BC于M，

因为BD平分∠ABC，所以作点Q关于直线BD对称点Q′，连接PQ′，
∴PQ=PQ′，
∴PA+PQ=PA+PQ′，
∴当A、P、Q′共线时，PA+PQ的值最小，
根据垂线段最短可知A、P、Q′共线且与AM重合时取得最小值，
即PA+PQ的最小值为线段AM的长，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，CA=4，
S△ABC=，
∴，
∴AM=，
∴PA+PQ的最小值为，
故答案为：．
三、解答题：本大题共7小题，共78分．
19. （1）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
（2）此时该多边形的对角线共有多少条？
解：①设这个多边形的边数为n．
根据题意得：
解得：；
②这个多边形对角线有：（条），
故答案为：12；54．
20. 下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小芸设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）AP是线段MN的 ．（填下列选项的序号）
①垂直平分线
②角平分线
点P在这条线上的依据是 ．
解：（1）根据直尺和圆规，补全图形如下：
（2）根据作图，可知AP是线段MN的垂直平分线，
故答案为：垂直平分线；
点P在这条线上的依据是到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
故答案为：到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
21. 如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下测量方案．
（1）凉亭与游艇之间的距离是______米；
（2）请你说明小明做法的正确性．
解：（1）凉亭与游艇之间的距离是米，
故答案为：；
（2）理由：
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴米．
22. 如图所示的坐标系中，的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为，点C的坐标为．
（1）写出点A的坐标 ，点A关于y轴的对称点的坐标是 ；
（2）画出关于y轴的对称图形；
（3）的面积是 ．
解：（1）由题意，，点A关于y轴的对称点的坐标是；
故答案：；
（2）如图，即为所求；
（3）．
故答案为：4．
23. 证明：两个全等三角形对应边上的中线分别相等．
解：已知：如图，△ABC≌△A1B1C1，AD，A1D1分别是对应边BC，B1C1的中线．
求证：AD=A1D1．
证明：∵△ABC≌△A1B1C1，
∴AB=A1B1，BC=B1C1，∠B=∠B1．
∵AD，A1D1分别是对应边BC，B1C1的中线，
∴BD=BC，B1D1=B1C1．
∴BD=B1D1．
在△ABD和△A1B1D1中，
，
∴△ABD≌△A1B1D1（SAS），
∴AD=A1D1．
24. 阅读理解：
教材呈现：如图是某数学教材的部分内容．
2.线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任意一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足点为，点是直线的任意一点，求证：．

（1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：
（2）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点，垂足分别为，已知的周长为22，则的长为_________．
（3）如图③，在中，分别是上任意一点，若，，则的最小值是_________．
证明：（1）如图①中，
∴，
在和中，
∴
∴．
（2）∵的周长为22，
∴，
∵垂直平分线段，垂直平分线段，
∴，，，
∴．
故答案为：22；
（3）过点C作，垂足为点E，交于点P，

∵，，
∴
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
此时的值最小，最小值为线段的长，
在中，
∴的面积
∵，，
∴，
∴
故答案为：
25. 综合与实践：
问题情境：数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图，在中，点E是边AC上一点，．
特例分析：
（1）如图1，作的平分线交CB、BE于D、F两点．若，，求和．
类比猜想：
（2）奋斗小组在（1）的基础上，改变的大小，经过探究，他们发现与之间存在特定的等量关系，请直接写出这一等量关系．
拓展探究：
（3）如图2，作的外角的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，请在图2中画出符合题意的图形，并探究（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出结论并说明理由．
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴；
（2）∵是的平分线，
∴，
∵，，
又∵，
∴；
（3）成立．
理由如下：画出符合题意的图形，如图，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
课题
测量凉亭与游艇之间的距离
测量工具
皮尺等
测量方案示意图
测量步骤
小明沿堤岸走到电线杆旁；
再往前走相同的距离，到达点（即）；
然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．
测量结果
，，米