北师大版（2024）八年级下册4 角平分线一课一练

这是一份北师大版（2024）八年级下册4 角平分线一课一练，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
B．线段的垂直平分线上的点与该线段的两端点均能构成等腰三角形；
C．三角形一边的两端到这边中线所在的直线的距离相等；
D．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．
2．如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中错误的是（ ）
A．△ABE≌△ACFB．△BDF≌△CDE
C．点D是BE的中点D．点D在∠BAC的平分线上
3．如图，AD是∠EAC的平分线，AD//BC，∠B=30°，则∠C=（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如图，在ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3．则BD的长（ ）
A．4B．5C．6D．10
5．如图，在中，，是的平分线，若，，则为( )
A．B．C．D．
6．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交x轴的负半轴和y轴的正半轴于A点，B点，分别以点A，点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于P点，若点P的坐标为(m，n)，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝2nB．2m＝nC．m＝nD．m＝－n
8．如图，点在内，且到三边的距离相等．若，则的度数为( )
A．B．C．D．
9．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD平分∠BAC的是（ ）
A．图2 B．图1与图2C．图1与图3D．图2与图3
10．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
二、填空题
11．如图，点在内，因为，，垂足分别是、，，所以平分，理由是______．
12．如图，在△ABC中，AP为∠BAC的平分线，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，△ABC的面积是24cm2，AB＝14cm，AC＝10cm，则PE＝_____cm．
13．在中，，CD=4，则点到的距离是_______
14．如图，在中，，，平分，交于点，若，则______________．
15．如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
16．如图，以点为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交两边于点．分别以点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点．已知点到边的距离为，则点到边的距离为_________．
17．如图，点在内部，，分别平分和，于点，若的周长为32，且，则的面积为__________．
18．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是__．（填序号）
19．如图所示，点D在AC上，∠BAD=∠DBC，△BDC的内部到∠BAD两边距离相等的点有________个，△BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点有________个．
20．如图所示，中，是斜边上的高，角平分线交于点，于点，则下列结论：①；②；③；④．正确结论的序号___．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若△BDE的周长为20，求AB的长．
22．如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高线．
（1）求证：AD垂直平分EF．
（2）若∠BAC＝90°，直接写出图中所有的等腰直角三角形（不添加新的字母）．
23.如图，于，于，若，．
（1）求证：平分；
（2）直接写出，，之间的等量关系．
24．如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
25．如图，在中，已知：，，AD是它的角平分线，且．
（1）求的面积；
（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确？若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．
26．（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB_______PC（填“”“”或“=”）；
（2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则，请帮小明说明原因．
（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，
①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？
②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？
答案
一、单选题
C．C．A．A．B.B．D．A.C．D．
二、填空题
11．角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．
12．2．
13．4．
14．2．
15．3
16．3.
17．48．
18．①②③④．
19．无数；1.
20．①②④．
三、解答题
21．
（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90，DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90，
∵AD＝AD，
∴△ADC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE．
（2）解：∵△ADC≌△ADE，
∴AC＝AE，DE＝DC，
∵△BDE的周长＝DE+BD+BE＝20，
∴DC+DB+BE＝20，
∴BC+BE＝20，
∵BC＝AC＝AE，
∴AE+EB＝20，
∴AB＝20．
22．
解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
又DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵∠BAC＝90°，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠EAF＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是正方形，
∴∠EDF＝90°，
∴EDF是等腰直角三角形．
∵∠BAC＝90°，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高线，
∴∠DAE=∠DAF=∠BAC=45°,∠AED=∠AFD=90°
∴∠ADE=∠ADF=45°
∴△ADE和△ADF都是等腰直角三角形．
故△AEF、△DEF、△ADE和△ADF都是等腰直角三角形．
23.
解：（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）．
理由如下：
∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴CF=BE，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∵AE=AF，
∵AC=AF+CF=AE+BE=AE+AE-AB=2AE-AB．
即：
24．
（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°，
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS），
∴AM＝AN，
∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD＋BD，
∴AD＝PD，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP，
∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，
∴AD＝AP＝PD，
即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．
25．
解：（1）如图，过点D作于点F，
是的角平分线，且，
，
，
，
，
，
，
即的面积为36；
（2）小智和小慧的发现都正确，证明如下：
由（1）可知，，
则，即小智的发现正确；
如图，过点A作于点G，
则，
所以，即小慧的发现正确．
26．
解：（1）∵OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，
∴PB=PC
故答案为：=；
（2）理由：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF
∴；
（3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2，
由对称的性质可得AP1=AP=AP2，DP1=DP，EP2=EP，
∴PD+DE+PE= DP1+DE+ EP2= P1P2，根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此时PD+DE+PE最小，即P1P2的长
即当AP⊥BC于P时，PD+DE+PE最小；
②∵S△ABC=10，BC=5，
∴BC·AP=10
解得：AP=4
由对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP
∴∠DAP1＋∠EAP2=∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30°
∴∠P1AP2=60°
∴△P1AP2是等边三角形
∴P1P2= AP1=4
即PD+DE+PE的最小值是4．