广东省深圳市明德外语实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省深圳市明德外语实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了 方程的两个根为， 下列四种说法等内容，欢迎下载使用。
试卷总分：100分 考试时间：90分钟 2024.9
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 方程的两个根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将进行因式分解，，计算出答案．
【详解】∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
2. 已知关于的一元二次方程的两个实数根是，且，则的值是（ ）
A. 8B. C. 6D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式和已知条件得到，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系解题的关键是熟练掌握若，是一元二次方程的两根时：，．
3. 下列四种说法：①矩形的两条对角线相等且互相垂直；②菱形的对角线相等且互相平分；③有两边相等的平行四边形是菱形；④有一组邻边相等的菱形是正方形．其中正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质、菱形的性质以及菱形的判定方法、正方形的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：①矩形的两条对角线相等且互相平分，但不垂直，故该选项原说法不正确；
②菱形的对角线垂直且互相平分，但不一定相等，故该选项原说法不正确；
③有两邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项原说法不正确；
④有一组邻边垂直的菱形是正方形，故该选项原说法不正确；
综上所述，其中正确的有0个．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及菱形的判定方法、正方形的判定方法，解题的关键是熟练掌握各种特殊四边形的判方法定和性质．
4. 根据下列表格的对应值：
由此可判断方程必有一个根满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用表中数据得到时，，时，，则可以判断方程时，有一个解满足．
【详解】解：由表格中数据可得，
当时，，
当时，，
∴方程必有一个根满足．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图像与性质是解题的关键．
5. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ）
A. 2016B. 2018C. 2020D. 2022
【答案】D
【解析】
【分析】令代入原方程即可求出原式的值．
【详解】解：令代入
∴
∴原式
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题关键是熟练运用一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
6. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断▱ABCD是菱形的为（ ）
A. AO＝COB. AO＝BOC. ∠AOB＝∠BOCD. ∠BAD＝∠ABC
【答案】C
【解析】
【分析】在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此逐个选项分析即可．
【详解】A、由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，则此项不符题意
B、由中可推得，可以证明为矩形，但不能判定为菱形，则此项不符题意
C、当时，因为，所以，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知是菱形，则此项符合题意
D、由平行四边形的性质可知，，故当时，可推出，从而可判定为矩形，则此项不符题意
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键．
7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， 自点A作AE⊥BD于点E，且BE：ED=1：3，过点O作OF⊥AD于点F，若OF=3cm，则BD的长为（ ）cm．
A. 6B. 9C. 12D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出AC=BD，BD=2BO=2OD，AC=2AO，∠BAD=90°，求出AO=BO，根据等边三角形的判定得出△ABO是等边三角形，求出∠BAO=60°，∠DAO=30°，即可求出AO，即可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，BD=2BO=2OD，AC=2AO，∠BAD=90°，∴AO=BO，
∵BE：ED=1：3，∴BE=EO，
∵AE⊥BD，∴AB=AO，即AO=OB=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，∴∠DAO=90°-60°=30°，
∵OF⊥AD于点F，OF=3cm，∴∠AFO=90°，AO=2OF=6cm，
∴AC=2AO=12cm，∴BD=12cm，故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形性质，矩形的性质的应用，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
8. 如图，在菱形中，菱形的边长为，对角线的长为，延长至，平分，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接交于，由菱形的性质和勾股定理求出，得出，证，得出，得出即可．
【详解】解：连接交于，如图所示：

四边形是菱形，
，，，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的性质，证出是解题的关键．
9. 如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( )
A. 4B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接BP，通过菱形的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值．
【详解】解：连接BP，如图，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB=BC=20÷4=5，
又∵菱形ABCD的面积为24，
∴SABC=24÷2=12，
又SABC= SABP+SCBP
∴SABP+SCBP=12，
∴ ，
∵AB=BC，
∴
∵AB=5，
∴PE+PF=12×=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值．
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A. 2B. 4C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当BP⊥时，PB取得最小值，由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴∥CE且=，
当点F在EC上除点C、E的位置处时有DP=FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P= ,
∴当点P的运动轨迹是线段，
∴当BP⊥时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=1，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，
∴∠DP2P1=90°，
∴∠DP1P2=45°，
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥，
∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC=1，
∴BP1=,
∴PB的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】时为一元一次方程，有实根；
时为一元二次方程，根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：依题意得：时，即，方程为：，是一元一次方程，有实根，
时，一元二次方程有实数根，，
解得．
综上所述：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了根的判别式及一元一次方程的解，对学生的思维缜密性有一定要求，体现了分类讨论的数学思想．
12. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，解决本题的关键是把阴影部分进行合理转换．根据题意作图，连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．
【详解】解：连接、，如图：
根据题意得每个正方形的面积为，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，为正方形的中心，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理得，，
∴．
故答案为：2．
13. 已知：如图所示，是正方形边延长线一点，若，交于，则__度．

【答案】112.5
【解析】
【分析】根据正方形的性质可先求得，由，可得，再由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得， ，计算即可得出的度数．
【详解】解：，
，
四边形是正方形，为正方形的对角线，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角与外角关系，掌握正方形的每条对角线平分一组对角的性质及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．
14. 如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE//BD，BE//AC，连接OE，则OE的长是_____．
【答案】13
【解析】
【分析】由证四边形OBEC是平行四边形，再由菱形的性质得OC，OB，AC⊥BD，由勾股定理得BC，证平行四边形OBEC是矩形，即可得出结论．
【详解】解：∵CE//BD，BE//AC，
∴四边形OBEC平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝＝13，
∵四边形OBEC是平行四边形，
∴平行四边形OBEC是矩形，
∴OE＝BC＝13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．
15. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可．
【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．
四边形是菱形，，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共6小题，共55分）
16. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解答即可；
（2）利用因式分解法解答即可；
【小问1详解】
解：
或
解得：
【小问2详解】
解：
或
解得：
【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法．
17. 阅读下面的例题：分解因式：．
解：令得到一个关于的一元二次方程，
，
．
解得，；
．
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
（1）已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 ；
（2）将代数式分解因式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中给出的求根法的定义即可得出答案；
（2）先令，得到一个关于的一元二次方程，用求根公式求出它的两根，然后代入即可．
【小问1详解】
解：代数式对应的方程解为和7，
代数式分解后为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：令，得到一个关于的一元二次方程，
，
，
，
解得，，
．
【点睛】本题主要考查的是求根法因式分解，公式法解一元二次方程，对于二次三项式的因式分解有：，其中、是的两根，理解并掌握题目中的求根法因式分解是解题的关键．
18. 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．

（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．
【答案】（1）见解析；（2）DG＝．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AF=FC，即可得结论；
（2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
根据勾股定理，得
AE＝＝＝5，
∵四边形AECF是菱形，
∴EC＝AE＝5，
∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
∵DG⊥AE，
∴∠DGA＝∠B＝90°，
∴△ADG∽△EAB，
∴＝，即＝，
∴DG＝．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
19. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．
（1）饲养场另一边BC=____米（用含x的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．
【答案】（1）48-3x；（2）10.
【解析】
【分析】（1）用（总长+3个1米的门的宽度）-3x即为所求；
（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，
【详解】（1）由题意得：（48-3x）米．
故答案是：（48-3x）；
（2）由题意得：x（48-3x）=180
解得x1=6，x2=10
【点睛】此题考查一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20. 如图，已知菱形中，对角线与交于点，延长到点，使，延长到点，使，顺次连接点，，，，且，．

（1）求菱形的面积；
（2）求证：四边形是矩形；
（3）求四边形的周长及面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）四边形的周长为；四边形的面积为
【解析】
【分析】（1）直接由菱形的面积公式求解即可；
（2）先证四边形是平行四边形，再证对角线相等，即可得出结论；
（3）由三角形中位线定理得出的长，再由矩形的性质得， ，即可求解．
小问1详解】
解：∵，，
∴菱形的面积为；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问3详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形的周长，
四边形的面积．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21. 数学课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动．

（1）操作判断
小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下：
步骤①：如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤②：连接，．可以判定的形状是： ．（直接写出结论）
小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：
如图2，先类似小明的步骤①，得到折痕后把纸片展平；在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的一点处，连接．
小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由．
（2）迁移探究
小明受小华的启发，继续利用正方形纸片进行探究，过程如下：
如图3，第一步与步骤①一样；然后连接，将沿折叠，使点落在正方形内的一点处，连接并延长交于点，连接，可以得到： （直接写出结论）；同时，若正方形的边长是4，可以求出的长，请你完成求解过程．
（3）拓展应用
如图4，在矩形中，，．点为上的一点（不与点重合，可以与点重合），将沿着折叠，点的对应点为落在矩形的内部，连接，，当为等腰三角形时，可求得的长为 ．（直接写出结论）
【答案】（1）等腰三角形；见详解
（2）45；，求解过程见详解
（3）或
【解析】
【分析】（1）由折叠可知，是的垂直平分线，可得是等腰三角形；连接，由折叠的性质可得，，易得为等边三角形，即可得证；
（2）先由“”可证，可得，进而求出；利用勾股定理构造方程可求的长；
（3）由折叠的性质和勾股定理分类讨论，求解即可．
【小问1详解】
解：由折叠可知，是的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形；
故答案为：等腰三角形．
如下图，连接，

由折叠可知，，，，
即是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，，
∴；
【小问2详解】
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可知，，，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，，
∴中，可有，
即，
解得，
即的长为．
【小问3详解】
如图①，若，
由折叠可知，
∵，
∴此种情况不存在；

如图②，若，

∵，
∴在的垂直平分线上，
过点作于点，的延长线交于点，则有，
∴，
∴，
∴，
设的长为，则，，
∴在中，可有，
即，
解得，
即的长为；
如图③，若，过点作于点，的延长线交于点，则有，

由，得，
解得，
∴，
设的长为，在中，可有，
即，
解得，
即的长为：．
故答案为：或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理、矩形的性质、正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关性质解决问题是解题的关键．
22. 如图1，在正方形和正方形中，点在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究与的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且度．探究与的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】（1），
（2），
（3）问题（2）中两个结论仍成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）延长交于点，可证，可得，，可证是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，，即可求解；
（2）延长交于点H，可证，可得，，可证是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，，即可求解；
（3）由全等三角形的性质可求，，由等腰三角形的性质可求解．
【小问1详解】
解：如图1，延长交于点，

∵四边形和四边形是正方形，
，，，，
，
∵点P是的中点，
，
又，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
又，
，，
；
【小问2详解】
猜想：线段与的位置关系是，；
理由如下：∵P是线段DF的中点，
如图2，延长到交于点H，

∵点P是的中点，
，
由题意可知，
，
，
在和中，
，
，
，，
∵四边形是菱形，，
，，
，
是等腰三角形，
又，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
（2）中得到的两个结论仍成立，
理由如下：如图3，延长到H，使，连接，，，

是线段的中点，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
∵四边形是菱形，
，，点A、B、G又在一条直线上，
，
∵四边形菱形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
，，
，，
，
，
．
1
1.1
1.2
1.3
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29