人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线教学设计及反思，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
通过双曲线画法的分析，掌握双曲线的定义；
理解双曲线标准方程的推导过程，进一步掌握利用坐标法求曲线方程，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法；
掌握双曲线标准方程的两种形式，会运用待定系数法求双曲线的标准方程；
通过参与课堂活动，激发学生学习数学的兴趣，提高审美能力，培养勇于探索的精神.

二、教学重难点
重点：双曲线的定义和标准方程.
难点：双曲线标准方程的推导过程.

三、教学过程
(一)创设情境
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线,如发电厂冷却塔的外形､美丽的花瓶、台灯的光束等.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
师生活动：教师展示有关双曲线的实物图,引导学生发挥想象力，找到更多优美的双曲线.
设计意图：通过直观感知，引导学生了解生活中的双曲线，激发学生探究双曲线的兴趣，使学生主动、积极地参与到教学中来，为后续的学习做好准备.
(二)探究新知
任务1：双曲线的定义
探究：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点,在平面内,取定点F1,F2,以点F1为圆心､线段PA为半径作圆,再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
思考1：随着P点的运动，两圆交点M满足什么条件？其轨迹是什么形状？
答：MF1+MF2=AB，轨迹是椭圆.
思考2：两圆一定相交吗？当满足什么条件时，两圆相交？
答：如果PA−PB≤F1F2AB，两圆不相交，不存在交点轨迹.
探究：改变条件：在AB0,b>0)------------②
总结：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x,y)都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点(x,y)与双曲线的两个焦点F1−c,0 , F2c,0的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1−c,0 , F2c,0的双曲线，这里c2=a2+b2.
思考：类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
答：设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c ,且双曲线上的动点M满足MF1−MF2=2a，其中c>a>0 ，以F1,F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示，此时，双曲线的方程是y2a2−x2b2=1 (a>0,b>0)
总结：
思考：如何根据双曲线的标准方程判断双曲线焦点的位置？
答：在双曲线的标准方程中，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.
总结：对双曲线标准方程的认识：
(1)只有当双曲线的两焦点F1，F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时，得到的方程才是双曲线的标准方程.
(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件.这里b2=c2−a2，与椭圆中b2=a2−c2不同，且椭圆中a>b>0，双曲线中a，b大小关系不确定.
(3)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数是正的，则焦点在x轴上；若y2项的系数是正的，则焦点在y轴上.
(4)双曲线的标准方程都可化为一个统一的形式，即mx2+ny2=1(mn0,b>0.
由2c=10，2a=6，得c=5，又a=3，因此b2=52−32=16.
所以，双曲线的标准方程为x29−y216=1.
总结：求双曲线标准方程的方法：
(1)定义法：如果已知双曲线上一点到两焦点距离的差(或其绝对值)，可确定a的值，再根据焦点坐标或焦距得到c的值，利用b2=c2−a2 求出b(或b2)的值，就可得到双曲线的标准方程.
(2)待定系数法：求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法类似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a,b的值，若焦点位置不确定，可分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，或者将双曲线方程设为mx2+ny2=1(mn0，
由题意可得9a2=1−62a2−−32b2=1，解得a2=9b2=3,
因此，所求双曲线的标准方程为x29−y23=1；
(2)由双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1 a>0,b>0，
由双曲线的定义可得2a=4 5，则a=2 5，所以，双曲线的标准方程为y220−x2b2=1，
将点2,−5的坐标代入双曲线的标准方程得−5220−22b2=1，解得b=4，
因此，所求双曲线的标准方程为y220−x216=1．
设计意图：通过课堂练习,进一步巩固本节课的内容，提高学生解决问题的能力.
(五)归纳总结
回顾本节课的内容,你都学到了什么?
设计意图：通过对本节内容进行反思、归纳、总结，达到深化知识理解、构建知识网络、领悟思想方法的目的.
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x2a2−y2b2=1a>0,b>0
y2a2−x2b2=1a>0,b>0
焦点
F1(−c,0),F2(c,0)
F1(0,−c),F1(0,c)
a,b,c的关系
b2=c2−a2
椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a,
(2a>|F1F2|)
|MF1|−|MF2|=2a,
(2ab>0)
x2a2−y2b2=1a>0,b>0
焦点在y轴上
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
y2a2−x2b2=1a>0,b>0
a,b,c的关系
b2=a2−c2
b2=c2−a2
一般方程
mx2+ny2=1
(m>0，n>0且m≠n)
mx2−ny2=1(mn